数学分析(Ⅱ)试题与参考答案

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数学分析(2)期末试题课程名称数学分析(Ⅱ)适用时间试卷类别1适用专业、年级、班应用、信息专业一、单项选择题(每小题3分,3×6=18分)1、下列级数中条件收敛的是().A.1(1)nnB.1(1)nnnC.21(1)nnnD.11(1)nnn2、若f是(,)内以2为周期的按段光滑的函数,则f的傅里叶(Fourier)级数在它的间断点x处().A.收敛于()fxB.收敛于1((0)(0))2fxfxC.发散D.可能收敛也可能发散3、函数)(xf在],[ba上可积的必要条件是().A.有界B.连续C.单调D.存在原函数4、设()fx的一个原函数为lnx,则()fx()A.1xB.lnxxC.21xD.xe5、已知反常积分20(0)1dxkkx收敛于1,则k()A.2B.22C.2D.246、231ln(ln)(ln)(1)(ln)nnxxxx收敛,则()A.xeB.xeC.x为任意实数D.1exe二、填空题(每小题3分,3×6=18分)1、已知幂级数1nnnax在2x处条件收敛,则它的收敛半径为.2、若数项级数1nnu的第n个部分和21nnSn,则其通项nu,和S.3、曲线1yx与直线1x,2x及x轴所围成的曲边梯形面积为.4、已知由定积分的换元积分法可得,10()()bxxaefedxfxdx,则a,b.5、数集(1)1,2,3,1nnnn的聚点为.6、函数2()xfxe的麦克劳林(Maclaurin)展开式为.65三、计算题(每小题6分,6×5=30分)1、(1)dxxx.2、2lnxxdx.3、220(0)aaxdxa.4、200coslimsinxxtdtx.5、201sin2xdx.四、解答题(第1小题6分,第2、3小题各8分,共22分)1、讨论函数项级数21sinnnxn在区间(,)上的一致收敛性.2、求幂级数1nnxn的收敛域以及收敛区间内的和函数.3、设()fxx,将f在(,)上展为傅里叶(Fourier)级数.五、证明题(每小题6分,6×2=12分)1、已知级数1nna与1nnc都收敛,且,1,2,3nnnabcn,证明:级数1nnb也收敛.2、证明:2200sincosnnxdxxdx.66试题参考答案与评分标准课程名称数学分析(Ⅱ)适用时间试卷类别1适用专业、年级、班应用、信息专业一、单项选择题(每小题3分,3×6=18分)⒈B⒉B⒊A⒋C⒌D⒍D二、填空题(每小题3分,3×6=18分)⒈2⒉2,=2(1)nuSnn⒊ln2⒋1,abe⒌1⒍201,(,)!nnxxn三、计算题(每小题6分,6×5=30分)1.解111(1)1xxxx1(1)dxxx(3分)11()1dxxxlnln1.xxC(3分)2.解由分部积分公式得231lnln3xxdxxdx3311lnln33xxxdx(3分)33111ln33xxxdxx3211ln33xxxdx3311ln39xxxC(3分)3.解令sin,[0,]2xatt由定积分的换元积分公式,得220aaxdx2220cosatdt(3分)6768220(1cos2)2atdt2201(sin2)22att2.4a(3分)4.解由洛必达(L'Hospital)法则得200coslimsinxxtdtx20coslimcosxxx(4分)0limcosxx1(2分)5.解201sin2xdx220(sincos)xxdx(2分)20sincosxxdx4204(cossin)(sincos)xxdxxxdx(2分)2404(sincos)(sincos)xxxx222.(2分)四、解答题(第1小题6分,第2、3小题各8分,共22分)1.解(,),xn+(正整数)22sin1nxnn(3分)而级数211nn收敛,故由M判别法知,21sinnnxn在区间(,)上一致收敛.(3分)2.解幂级数1nnxn的收敛半径111limnnRn,收敛区间为(1,1).(2分)易知1nnxn在1x处收敛,而在1x发散,故1nnxn的收敛域为[1,1).(2分)01,(1,1)1nnxxx(2分)逐项求积分可得0001,(1,1)1xxnndttdtxt.即101ln(1),(1,1).1nnnnxxxxnn(2分)3.解函数f及其周期延拓后的图形如下函数f显然是按段光滑的,故由收敛性定理知它可以展开为Fourier级数。(2分)由于()fx在(,)为奇函数,故0,0,1,2,nan…,而1sin11coscosnbxnxdxxnxnxdxnn1(1)2nn(4分)所以在区间(,)上,11sin()2(1).nnnxfxxn(2分)6970五、证明题(每小题5分,5×2=10分)1.证明由1nna与1nnc都收敛知,级数1()nnnca也收敛。(1分)又由,1,2,3nnnabcn,可知,0,1,2,3,nnnnbacan从而由正项级数的比较判别法知1()nnnba收敛,(2分)于是由(),1,2,3,nnnnbbaan知级数1nnb收敛.(2分)2.证明令2xt,则2tx.(1分)由定积分的换元积分公式,得0202sinsin()2nnxdxtdt-(2分)2200sin()cos2nntdttdt20cosnxdx(2分)

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