常微分方程与动力系统

书书书常微分方程与动力系统（奥）ＧｅｒａｌｄＴｅｓｃｈｌ著金成桴　译机械工业出版社　　本书介绍常微分方程和动力系统先从几个简单的明显可求解的方程开始，接着证明初值问题的基本结果：解的存在唯一性，可延拓性，以及关于初始条件的依赖性．进一步，考虑线性方程，费洛凯（Ｆｌｏｑｕｅｔ）定理和自治线性流然后，在复域中讨论线性方程的费罗贝尼乌斯（Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ）方法，以及对包括振动理论的施图姆刘维尔（ＳｔｕｒｍＬｉｏｕｖｉｌｌｅ）型边值问题的研究接下来引入动力系统的概念，并对连续系统和离散系统讨论稳定流形的稳定性以及哈特慢—格曼伯曼（ＨａｒｔｍａｎＧｒｏｂｍａｎ）定理等随后证明庞加莱本迪克松（ＰｏｉｎｃａｒéＢｅｎｄｉｘｓｏｎ）定理，并研究几个来自经典力学，生态学以及电路工程中的平面系统的例子此外，还讨论了吸引子，哈密顿（Ｈａｍｉｌｔｏｎ）系统，ＫＡＭ定理和周期解．最后，介绍混沌以迭代区间映射为基础，并以同宿轨道的斯梅尔伯克霍夫（ＳｍａｌｅＢｉｒｋｈｏｆｆ）定理和梅利尼科夫（Ｍｅｌｎｉｋｏｖ）方法结束．本书的许多重要内容在一般的微分方程教科书中是不介绍的．它可作为数学、物力、力学的大学生，研究生和教师们的常微分方程和动力系统教科书或参考书．也可供相关人员参考使用．关键词　常微分方程　动力系统　施图姆刘维尔（ＳｔｕｒｍＬｉｏｕｖｉｌｌｅ）方程　图书在版编目（ＣＩＰ）数据　　常微分方程与动力系统／（奥）特切（Ｔｅｓｃｈ１，Ｇ）著；金成桴译—北京：机械工业出版社，２０１１４　ＩＳＢＮ９７８－７－１１１－３３３０５－０　　Ⅰ①常…　Ⅱ①特…②金…　Ⅲ①常微分方程②动力系统（数学）　Ⅳ①０１７５１②０１９　　中国版本图书馆ＣＩＰ数据核字（２０１１）第０１７３５５号　　机械工业出版社（北京市百万庄大街２２号　邮政编码１０００３７）　策划编辑：韩效杰　责任编辑：韩效杰　版式设计：霍永明　责任校对：　封面设计：　　　　责任印制：杨　曦　北京京丰印刷厂印刷　２０１１年　月第　版·第　次印刷　１８４ｍｍ×２６０ｍｍ·　印张·　千字　０００１—　册　标准书号：ＩＳＢＮ９７８－７－１１１－３３３０５－　定价：　００元　　凡购本书，如有缺页、倒页、脱页，由本社发行部调换　电话服务网络服务　社服务中心：[phone]销售一部：[phone]销售二部：[phone]门户网：ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗｃｍｐｂｏｏｋｃｏｍ教材网：ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗｃｍｐｅｄｕｃｏｍ　读者服务部：[phone]封面无防伪标均为盗版序本书起源于我在维也纳大学２０００年夏和２０００／０１年冬所讲授的“常微分方程”，“动力系统和混沌”课程的讲义自那以后，针对几年的教学反馈，对它进行了几次重写和修改本书强调用动力系统观点对常微分方程领域给出“封闭”式介绍但是，它也包括某些古典的课题，诸如复平面中的微分方程和边值施图姆刘维尔（ＳｔｒｕｍＬｉｏｕｖｉｌｌｅ）问题本书对读者仅要求懂微积分，复变函数与线性代数的某些基本知识，这些应该包含在通常的教科书中．另外，我也尝试说明如何利用计算机系统，如Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ，以帮助研究微分方程．当然任何类似的软件都可以应用手稿中发现的某些错误我已经改正．因此你可从ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｍａｔ．ｕｎｉｖｉｅ．ａｃ．ａｔ／ｇｅｒａｌｄ／ｆｔｐ／ｂｏｏｋｏｄｅ／确认你有最新版本．你也可以从Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ说明书中找到我们这本书中的命令以及一些附加材料．致谢我要感谢我的学生，ＡｄａＡｋｅｒｍａｎ，ＫｅｒｓｔｉｎＡｍｍａｎｎ，ＪｒｇＡｒｎｂｅｒｇｅｒ，ＰａｏｌｏＣａｐｋａ，ＡｎｎａＧｅｙｅｒ，ＡｈｍｅｄＧｈｎｅｉｍ，ＨａｎｎｅｓＧｒｉｍｍＳｔｒｅｌｅ，ＫｌａｕｓＫｒｎｃｋｅ，ＡｌｉｃｅＬａｋｉｔｓ，ＪｏｈａｎｎａＭｉｃｈｏｒ，ＡｎｄｒｅａｓＮéｍｅｔｈ，ＳｉｍｏｎＲβｌｅｒ，ＲｏｂｅｒｔＳｔａｄｌｅｒ，ＦｌｏｒｉａｎＷｉｓｓｅｒ，以及我的同事ＥｄｗａｒｄＤｕｎｎｅ，ＫｌｅｍｅｎｓＦｅｌｌｎｅｒ，ＤａｎｉｅｌＬｅｎｚ和ＪｉｍＳｏｃｈａｃｋｉ，他们指出一些打印稿中的错误和提出了改进的建议最后，没有书可完全避免错误所以，你如果发现错误，或者有什么意见和建议（不管多么小）请让我知道ＧＴｅｓｃｈｌ奥地利，维也纳译　者　序本书作者ＧＴｅｓｃｈｌ是维也纳大学数学系教授．他个人兴趣广泛（应用泛函分析，非线性动力学，应用代数几何，线性与非线性偏微分方程等）．这本《常微分方程与动力系统》是他针对高年级本科生和研究生用动力系统观点写的常微分方程教材．其起点并不高但介绍的内容面较宽又有一定深度，是与一般常微分方程不同的教科书．大家知道，常微分方程的发展历史大致经历了三个阶段：早期的古典理论，包括微分方程的初等积分法，初值问题与边值问题，线性方程等；中期的稳定性与定性理论，包括李雅谱诺夫（Ｌｙａｐｕｎｏｖ）稳定性理论以及庞家菜（Ｐｏｉｎｃａｒé）与本迪克松（Ｂｅｎｄｉｘｓｏｎ）的极限环论和定性理论；现代的动力系统与混沌理论．当然三个时期的发展也互相有穿插，尤其后两个阶段．本书以严格的数学理论，独特的处理方式在这本大学教科书中介绍了上面三个时期的主要内容．许多在一般常微分方程教科书中没有介绍或者介绍不够详细的内容在本书都可以看到．例如在古典理论中的二阶线性方程求级数解的费罗贝尼乌斯（Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ）方法和复域中的微分方程，边值问题中的施图姆刘维尔（ＳｔｕｒｍＬｉｏｕｖｉｌｌｅ）理论，动力系统中的庞加莱—本迪克松（ＰｏｉｎｃａｒéＢｅｎｄｉｘｓｏｎ）理论，稳定和不稳定流形的存在性定理以及哈特曼格罗伯曼（ＨａｒｔｍａｎＧｒｏｂｍａｎ）定理，梅利尼科夫（Ｍｅｌｎｉｋｏｖ）方法等以及它们的证明．纵观全书读者可以看到在这本篇幅有限的教科书中还包含了如平面和空间的微分方程定性理论以及离散系统和连续系统中的混沌理论的重要部分．本书另一个重要特点是对常微分方程在许多学科中的应用介绍得比较广泛，除了通常在力学和电路工程等方面的典型应用以外，还介绍了常微分方程在哈密顿（Ｈａｍｉｌｔｏｎ）系统、量子力学、相对论力学等学科中的简单应用．对在经典力学中的应用也比一般教科书中丰富许多．另外，本书也简单介绍了微分方程求解的计算机模拟．由于作者力求用数学基础理论证明定理，读者不难发现书中用了不少后续数学知识，例如集合论，实复分析和一般拓扑．这无疑给初学者带来了一定的困难，好在其中大部分都有介绍，有的虽然在前面没有介绍但在后面有说明．有些没有说明的估计读者还没有接触过的概念我以译者注的形式作了介绍．书中的问题有些是正文中相对比较简单的内容，有些则可能要求有一定的抽象思维能力．书中有些内容的叙述带有一定的启发性，有助于培养读者的独立思考能力．本书可作为大学数学、物理等高年级学生的教科书和教师的教学参考书，部分内容也可作为研究生教材．尽管本书还没有正式出版，鉴于它有上面的明显特色，为促进数学专业方向的基础教育工作，并承蒙获得作者许可先出版本书的中文版．最后，感谢本书出版过程中提供帮助的人们，也感谢我妻子何燕俐对我工作的理解支持和关心．金成桴·Ⅴ·译　者　序目　　录序译者序第１部分　古典理论第１章　引言!!!!!!!!!!!!　１１　牛顿（Ｎｅｗｔｏｎ）方程!!!!!!　１２　微分方程的分类!!!!!!!!　１３　一阶自治方程!!!!!!!!!　１４　求明显解!!!!!!!!!!!　１５　一阶方程的定性分析!!!!!!　１６　一阶周期方程的定性研究!!!!第２章　初值问题!!!!!!!!!　２１　不动点定理!!!!!!!!!!　２２　基本的存在唯一性结果!!!!!　２３　一些推广!!!!!!!!!!!　２４　关于初始条件的依赖性!!!!!　２５　解的可延拓性!!!!!!!!!　２６　欧拉（Ｅｕｌｅｒ）方法与佩亚诺（Ｐｅａｎｏ）定理!!!!!!!第３章　线性方程!!!!!!!!!　３１　矩阵指数!!!!!!!!!!!　３２　一阶线性自治系统!!!!!!!　３３　ｎ阶线性自治方程!!!!!!!!　３４　一般的一阶线性系统!!!!!!　３５　线性周期系统!!!!!!!!!　３６　附录：若尔当（Ｊｏｒｄａｎ）标准形!!!!!!!!!!!!第４章　复域中的微分方程!!!!!　４１　基本的存在唯一性结果!!!!!　４２　二阶方程的费罗贝尼乌（Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ）方法!!!!!!!!　４３　含有奇点的线性系统!!!!!!　４４　费罗贝尼乌斯（Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ）方法!!!!!!!!!!!!!第５章　边值问题!!!!!!!!!　５１　引言!!!!!!!!!!!!!　５２　紧对称算子!!!!!!!!!!　５３　正则施图姆刘维尔（ＳｔｕｒｍＬｉｏｕｖｉｌｌｅ）问题!!!!!!　５４　振动理论!!!!!!!!!!!　５５　周期算子!!!!!!!!!!!第２部分　动力系统第６章　动力系统!!!!!!!!!!　６１　动力系统!!!!!!!!!!!　６２　自治方程的流!!!!!!!!!　６３　轨道与不变集!!!!!!!!!　６４　庞加莱（Ｐｏｉｎｃａｒé）映射!!!!!　６５　不动点的稳定性!!!!!!!!　６６　李雅谱诺夫（Ｌｉａｐｕｎｏｖ）方法稳定性!!!!!!!!!!!!　６７　一维牛板（Ｎｅｗｔｏｎ）方程!!!!第７章　不动点附近的局部性态!!!　７１　线性系统的稳定性!!!!!!!　７２　稳定流形和不稳定流形!!!!!　７３　哈特曼格罗伯曼（ＨａｒｔｍａｎＧｒｏｂｍａｎ）定理!!!!!　７４　附录：积分方程!!!!!!!!!第８章　平面动力系统!!!!!!!　８１　庞加莱本迪克板（ＰｏｉｎｃａｒéＢｅｎｄｉｘｓｏｎ）定理!!!!　８２　生态学中的例子!!!!!!!!　８３　电路工程中的例子!!!!!!!第９章　高维动力系统!!!!!!!　９１　吸引集!!!!!!!!!!!!　９２　洛伦茨（Ｌｏｒｅｎｚ）方程!!!!!!　９３　哈密顿（Ｈａｍｉｌｔｏｎ）力学!!!!!　９４　完全可积的哈密顿（Ｈａｍｉｌｔｏｎ）系统!!!!!!!!!!!!!　９５　Ｋｅｐｌｅｒ问题!!!!!!!!!!!　９６　ＫＬＭ定理第３部分　混　　沌第１０章　离散动力系统!!!!!!!　１０１　逻辑斯蒂（Ｌｏｇｉｓｔｉｃ）方程!!!!　１０２　不动点与周期点!!!!!!!!　１０３　线性差分方程!!!!!!!!!　１０４　不动点附近的局部性态!!!!!第１１章　一维离散动力系统!!!!　１１１　倍周期!!!!!!!!!!!!　１１２　夏尔科夫斯基（Ｓａｒｋｏｖｓｋｉｉ）定理!!!!!!!!!!!!!　１１３　关于混沌的定义!!!!!!!!　１１４　康托尔（Ｃａｎｔｏｒ）集和帐篷映射!!!!!!!!!!!!!　１１５　符号动力学!!!!!!!!!!　１１６　奇怪吸引子／排斥子与分形集!!!!!!!!!!!!　１１７　作为混沌源的同宿轨道!!!!!第１２章　周期解!!!!!!!!!!　１２１　周期解的稳定性!!!!!!!!　１２２　庞加莱（Ｐｏｉｎｃａｒé）映射!!!!　１２３　稳定流形与不稳定流形!!!!!　１２４　自治扰动的梅利尼科夫（Ｍｅｌｎｉｋｏｖ）方法!!!!!!!!　１２５　非自治扰动的梅利尼科夫（Ｍｅｌｎｉｋｏｖ）方法!!!!!!!!第１３章　高维系统中的混沌!!!!　１３１　斯梅尔Ｓｍａｌｅ马蹄!!!!!!!　１３２　斯梅尔伯克霍夫ＳｍａｌｅＢｉｒｋｈｏｆｆ同宿定理!!!!!!!!　１３３　同宿轨道的梅利尼科夫（Ｍｅｌｎｉｋｏｖ）方法!!!!!!!!参考文献!!!!!!!!!!!!!!记号术语表!!!!!!!!!!!!!索引!!!!!!!!!!!!!!!!!·Ⅶ·目　　录书书书第１部分　古典理论第１章　引　　言１１　牛顿（Ｎｅｗｔｏｎ）方程我们从物理学中一