《正方形》PPT

学习目标：1、了解正方形的定义；2、探究并掌握正方形的性质及判定；3、能利用正方形的性质及判定进行有关的推理与计算。回顾：平行四边形,矩形与菱形有哪些性质?平行四边形边:角:对角线:对边平行且相等对角相等,邻角互补对角线互相平分组卷网矩形角:四个角是直角对角线:对角线相等且互相平分边：对边平行且相等具有平行四边形所有性质菱形的性质菱形的性质边:四条边相等对角线:互相垂直平分分别平分两组对角对角相等,邻角互补具有平行四边形一切性质角：平行四边形情境一：观察体会矩形矩形矩形菱形矩形菱形平行四边形矩形菱形平行四边形矩形菱形平行四边形矩形菱形平行四边形矩形菱形平行四边形矩形菱形正方形平行四边形你能给正方形下一个定义吗？问题:情景二图中CD在平移时，这个图形始终是怎样的图形？当CD移动到CD位置，此时AD＝AB，四边形ABCD还是矩形吗？ABCDABCD正方形是特殊的矩形两组互相垂直的平行线围成矩形ABCD矩形正方形〃矩形一组邻边相等时变成怎样的图形呢?探究（一）菱形∟∟∟∟正方形探究（二）菱形有一个角是直角时变成怎样的图形呢?探究小结矩形正方形邻边相等发现：一组邻边相等的矩形叫正方形菱形一个角是直角正方形∟发现：一个角为直角的菱形叫正方形如何来给正方形下定义？-*/正方形定义+/1、有一个角是直角且邻边相等的平行四边形叫做正方形；2、有一个角是直角的菱形是正方形；3、有一组邻边相等的矩形是正方形正方形是特殊的平行四边形，又是特殊的菱形，特殊的矩形，你能猜出它具有怎样的性质？边对角线角正方形对边平行四边相等正方形的四个角都是直角正方形的对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。ABCDO正方形是中心对称图形，它也是轴对称图形正方形是一个完美的图形正方形性质边角对角线对称性图形语言文字语言符号语言ACDBACDBACDB∟∟∟∟O对边平行，四条边都相等四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角∵四边形ABCD是正方形∴AB∥CDAD∥BC,AB=BC=CD=AD∵四边形ABCD是正方形∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°∵四边形ABCD是正方形∴AC⊥BD,AC=BD,OA=OB=OC=OD,∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6=∠7=∠8轴对称图形中心对称图形12345678正方形是中心对称图形,对称中心为点O它也是轴对称图形,有4条对称轴(1)它具有平行四边形的一切性质两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分(2)具有矩形的一切性质四个角都是直角，对角线相等(3)具有菱形的一切性质四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角OABCD(A)(B)(C)(D)对称性总结：平行四边形、矩形、菱形、正方形的对称性平行四边形中心对称图形（对角线的交点）即是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）即是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）即是中心对称图形，又是轴对称图形（四条）正方形、矩形、菱形以及平行四边形四者之间的关系：有一组邻边相等且有一个角是直角(1)(2)(3)(4)四边形平行四边形矩形菱形正方形平行四边形矩形四边形菱形正方形平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系求证:正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.这是一道文字证明题,该怎么做?你会做吗?第一步:根据题意画出图形第二步:写出已知、求证第三步：进行证明ADCBO已知:如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O.求证:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO分析:利用正方形的性质,对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角.平分可以产生线段等量关系,垂直可以产生直角,于是可以得到四个全等的等腰直角三角形.ADCBO正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？拓展讨论:结论：分成八个等腰直角三角形，分别是△ABC、△ADC、△ABD、△BCD；△AOB、△BOC、△COD、△DOA.1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是()A、四个角相等.B、对角线互相垂直平分.C、对角互补.D、对角线相等.2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（）A、四条边相等.B、对角线互相垂直平分.C、对角线平分一组对角.D、对角线相等.BD2.下列说法正确的是（）A.四条边相等的四边形是正方形B.两条对角线互相垂直的矩形是正方形C.两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形D.两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形看一看，选一选想一想，填一填3.一个正方形的面积等于8，则其对角线的长为（）4.正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAC交BD于E，则DE的长为（）5.如图，已知正方形ABCD，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，连结DE，CE，则∠DEC=（）EBCDA例2.如图四边形ABCD和DEFG都是正方形，试说明AE=CG解：因为四边形ABCD是正方形根据正方形的四边相等，得AD=CD又知四边形DEFG也是正方形所以DE=DG又因为正方形的每个内角为90°所以∠ADE＋∠EDC＝∠CDG＋∠EDC所以∠ADE＝∠CDG所以三角形ADE可以看成是由三角形CDG绕着点D顺时针旋转90°得到。⊿AED≌⊿CGD所以AE=CGABCDEFG已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．求证：（1）AE=AF；（2）EA⊥AF．123练一练证明：（1）∵ABCD是正方形∴AD=AB，∠ADE=∠ABF=90°在△ABF与△ADC中AD=AB∠ADE=∠ABF=90°DE=BF∴△ABF≌△ADE（SAS）∴FA=EA,∠1=∠3（2）∵∠2+∠3=90°∴∠1+∠2=90°∴EA⊥FA123ACBDE１．若O点移动至E点时，连接AE、CE，你有那些结论？想一想：该怎样证明这些结论？O变一变如图所示，正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F。试说明：AP=EFABCDPEF解:连接PC∵PE⊥BC，PF⊥DC而四边形ABCD是正方形∴∠FCE=90°∴四边形PECF是矩形∴PC=EF又∵四边形BAPC是以BD为轴的轴对称图形∴AP=PC∴AP=EF3.一正方形对角线长为4,则它的面积为．8ABCD1．正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的__________________2.一正方形边长为4,则它的面积为．16等腰直角三角形4.正方形ABCD的面积是9cm2。则AB=________AC=___________3cmcm23变式训练2：•已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形CFDE是正方形．6.如图，已知正方形ABCD内有一个△BEF，AB=6，AF︰FD=1︰2，E为DC的中点，求△BEF的面积。ABCDFE7.如图，正方形ABCD的对角线的长为10，M是AB边上的一点，且ME⊥AC于E，MF⊥BD于F，则ME+MF=（）FEMCBAD例题赏析4.在正方形ABCD中,AC是对角线,AE平分∠BAC,试猜想AB、AC、BE之间的关系，并证明你的猜想．GFEDABC练习5．如图(5)，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交AF于H。求证：(1)△ACF≌△DCB(2)BH⊥AF证明：•已知：如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，正方形A′B′C′D′的顶点A′与点O重合，A′B′交BC于点E，A′D′交CD于点F.•(2)若正方形A′B′C′D′绕点O旋转某个角度后，OE=OF吗？两正方形重合部分的面积怎样变化？为什么？由（1）（2）可以得到什么结论？FEO(A')ABCDB'D'C'活动与探索6.如图，正方形OPQR的一个顶点O是边长为2的正方形ABCD对角线AC与BD的交点，则两正方形重合部分的面积是ADBCOPQR7、如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一个动点，求DN+MN的最小值。ABCDMN大显身手7、如图，四边形ABCD.DEFG都是正方形，连接AE.CG。（1）求证：AE=CG（2）观察图形，猜想AE与CG的位置关系，并证明你的猜想。ABDECGF归纳1.正方形是中心对称图形，轴对称图形。2.正方形的四条边都相等。3.正方形的四个角都相等。4.正方形的对角线互相垂直平分且相等，且每一条对角线平分一组对角。OABCD有一组邻边相等并且有一个角是直角平行四边形是正方形的对边平行且相等每条对角线平分一组对角对角线相等对角线互相垂直对角线互相平分四个角都是直角对角相等四条边都相等性质正方形菱形矩形平行四边形图形小结√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√