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华北水利水电学院题目线性代数发展简史课程名称：线性代数专业班级：电子信息工程2012154成员组成：姓名姓名姓名联系方式：2013年10月25日摘要：代数学可以笼统地解释为关于字母运算的学科。线性代数是高等代数的一大分支，是研究如何求解线性方程组而发展起来的。线性代数的主要内容有行列式、矩阵、向量、线性方程组、线性空间、线性变换、欧氏空间和二次型等。关键词：行列式矩阵向量线性方程组二次型英文题目AbriefhistoryofthedevelopmentoflinearalgebraAbstract:Algebracanbebroadlyinterpretedasacomputingdisciplineletters.Linearalgebraisabranchofhigheralgebra,isthestudyofhowtosolvethelinearequationsandthedevelopmentof.Themaincontentoflinearalgebraisdeterminant,matrix,vector,linearequations,linearspace,lineartransformationinEuclideanspace,andtwotimeetc.Keywords:DeterminantMatrixVectorLinearequationThetwotype正文：1引言由于研究关联着多个因素的量所引起的问题，则需要考察多元函数。如果所研究的关联性是线性的，那么称这个问题为线性问题。历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展，这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。最初的线性方程组问题大都是来源于生活实践，正是实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。另外，近现代数学分析与几何学等数学分支的要求也促使了线性代数的进一步发展。2发展简史2.1行列式行列式的出现已有300余年，1683年日本数学家关孝和在＜解伏题之法)中首先引人此概念。1693年，莱布尼兹(G．W．工ezbniz)著作中亦有行列式叙述，世人们仍认为此概念在西方源于数学家柯西(A．LCaMchy)。1750年，克莱姆(Gcramer)出版的(线性代数分析导言＞一书中已给出行列式的今日形式。1841年，雅谷比(c．GJaMM在(论行列式形成与性质)一书中对行列式及其性质、计算作了较系统的阐述。此后．范德蒙(A．TvandeMondl)、裴蜀(E．Be肋Mt)、拉普拉斯(P．sMdeI品PLace)等人在行列式研究中也作了许多工作，但行列式在当今线性代数中似已被淡化，原因是：首先它的大多数功能已被矩阵运算取代，而矩阵(代数)理论与计算已相当成熟；再者是电子计算机的出现与飞速发展，已省去人们许多机械而繁琐的计算。然而行列式也有其自身的魅力：技巧性强、形式漂亮，因而它在历年考研中不断出现。行列式的主要应用是：求矩阵(或向量组)的秩；解线性方程组；求矩阵特征多项式等。行列式与矩阵有着密不可分的连带关系，尽管它们本质上不是一回事(短阵是数表，而行列式是数)。2.2矩阵矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。英国数学家凯莱(A.Cayley,1821-1895)一般被公认为是矩阵论的创立者，因为他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。1858年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论。文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭，剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学，三年后他转从律师职业，工作卓有成效，并利用业余时间研究数学，发表了大量的数学论文。1855年，埃米特(C.Hermite,1822-1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来，克莱伯施(A.Clebsch,1831-1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849-1917)的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。1854年，约当研究了矩阵化为标准型的问题。1892年，梅茨勒(H.Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题，这主要是适用方程发展的需要而开始的。矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论。而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。矩阵及其理论现已广泛地应用于现代科技的各个领域。2.3向量与线性方程组向量概念是由复数概念扩张而来。1843年哈密顿(w．RHsmil仍n)的“四元数”概念引入的同时，引入了向量概念，从而开创它的计算与理论研究。1844年，德国数学家格拉斯(G．H．Grassmann)发表＜线性扩张论＞，提出“n维超复数”概念。即n元有序数组，相当于今天的向量概念。此外他还定义了超复数的运算，且将Euclid几何的许多概念拓广至高维空间。向量空间的现代定义是内皮亚诺(GPeano)于1888年引入的。不久，以函数乃至线性变换为元素的抽象向量空间随之建立，即1906午法国数学家费雷歇(M．Frechet)开创了抽象空间研究，包括无穷维向量空间(如今空间维数概念已拓至分数，产生“分形”这门新的数学分支）。线性方程组的解法，早在中国古代的数学著作《九章算术方程》章中已作了比较完整的论述。其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵施行初等行变换从而消去未知量的方法，即高斯消元法。在西方，线性方程组的研究是在17世纪后期由莱布尼茨开创的。他曾研究含两个未知量的三个线性方程组组成的方程组。麦克劳林在18世纪上半叶研究了具有二、三、四个未知量的线性方程组，得到了现在称为克莱姆法则的结果。克莱姆不久也发表了这个法则。18世纪下半叶，法国数学家贝祖对线性方程组理论进行了一系列研究，证明了齐次线性方程组有非零解的条件是系数行列式等于零。19世纪，英国数学家史密斯(H.Smith)和道奇森(C-L.Dodgson)继续研究线性方程组理论，前者引进了方程组的增广矩阵和非增广矩阵的概念，后者证明了个未知数个方程的方程组相容的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相同。这正是现代方程组理论中的重要结果之一。大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组。因此在线性方程组的数值解法得到发展的同时，线性方程组解的结构等理论性工作也取得了令人满意的进展。现在，线性方程组的数值解法在计算数学中占有重要地位。2.4二次型二次型也称为“二次形式”，数域上的元二次齐次多项式称为数域上的元二次型。二次型是我们线性代数教材的后继内容，为了我们后面的学习，这里对于二次型的发展历史我们也作简单介绍。二次型的系统研究是从18世纪开始的，它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论。将二次曲线和二次曲面的方程变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状，这个问题是在18世纪引进的。柯西在其著作中给出结论：当方程是标准型时，二次曲面用二次项的符号来进行分类。然而，那时并不太清楚，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项。西尔维斯特回答了这个问题，他给出了个变数的二次型的惯性定律，但没有证明。这个定律后被雅可比重新发现和证明。1801年，高斯在《算术研究》中引进了二次型的正定、负定、半正定和半负定等术语。二次型化简的进一步研究涉及二次型或行列式的特征方程的概念。特征方程的概念隐含地出现在欧拉的著作中，拉格朗日在其关于线性微分方程组的著作中首先明确地给出了这个概念。而三个变数的二次型的特征值的实性则是由阿歇特(J-N.P.Hachette)、蒙日和泊松(S.D.Poisson,1781-1840)建立的。柯西在别人著作的基础上，着手研究化简变数的二次型问题，并证明了特征方程在直角坐标系的任何变换下不变性。后来，他又证明了个变数的两个二次型能用同一个线性变换同时化成平方和。1851年，西尔维斯特在研究二次曲线和二次曲面的切触和相交时需要考虑这种二次曲线和二次曲面束的分类。在他的分类方法中他引进了初等因子和不变因子的概念，但他没有证明“不变因子组成两个二次型的不变量的完全集”这一结论。1858年，魏尔斯特拉斯对同时化两个二次型成平方和给出了一个一般的方法，并证明，如果二次型之一是正定的，那么即使某些特征根相等，这个化简也是可能的。魏尔斯特拉斯比较系统的完成了二次型的理论并将其推广到双线性型。3结束语线性代数的发展是漫长的，但它的实用性让数学研究者们一直在不懈的探索。线性代数的更好发展会让我们更容易的解决实际问题，当然，这需要更多学者的不懈努力。参考文献[1]线性代数[M].北京：科学出版社，2007[2]邓辉文.线性代数[M].北京：清华大学出版社，2008.07[3]孙洪波.线性代数[M].北京：高等教育出版社，2010.07