平面向量数量积的坐标表示-模-夹角

一复习引入1.ab非零向量与的数量积的定义是什么？几何意义是什么？||||cos,ababab其中是与的夹角||cosb1BoBAba（1）a·b＝b·a；（2）(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；（3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c；2.平面向量的数量积满足的运算律？3.设向量a与b都是非零向量，则2(1)0;(2);(3).ababaaaaaaabab或3.平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的坐标表示，对向量的加、减、数乘运算带来了很大的方便.若已知向量a与b的坐标，则其数量积是唯一确定的，因此，如何用坐标表示向量的数量积就成为我们需要研究的课题.探究（一）：平面向量数量积的坐标表示oxyabijii1jjij101122,axiyjbxiyj则:已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标表示a·b?1122()()abxiyjxiyj2212122112xxixyijxyijyyj221,0,1iijj因为1212abxxyy所以两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.练习1：已知向量(3,1),a求:(1)(2)ab()()abab5ab()()5abab变式：已知向量(2,3),(,2),abxx4,3ab且则x=13-b=(1,-2)探究（二）：向量的模和夹角的坐标表示(1)向量的模设(,),axy则22222,axyaxy或2aaaaaa或；(2)设1122,)(,),AxyBxy（、222121))xxyy（（则AB（3）平行（4）垂直0babaab12120xxyy11221221,),(,),//0,(0)axybxyabxyxyb（设则设1122(,),(,),(0,0)axybxyab则(5)设是两个非零向量，其夹角为θ，若那么cosθ如何用坐标表示？,ab1122(,),(,)axybxycosabab121222221122xxyyxyxy例题讲解例1：设a=(5,-7),b=(-6,-4),求a·b及a、b间的夹角θ(精确到1°)解a·b=5×(-6)+(-7)×(-4)=-30+28=-2,747522a524622b03.052742cos926.1rad例2：已知向量(1,2),(,1).abx22abab与平行（1）当时,求x?22abab与垂直（2）当(2)22abab若与垂直，则7(12)(2)430,2xx得x=-2或22abab与垂直（2）当时,求x?2(12,4),2(2,3)abxabx解：(1)22abab若与平行，则13(12)4(2)0,2xxx得(1)(1,3),(1,1),,cosabab例3已知与的夹角求62cos.4abab变式：已知向量a＝(λ，－2)，b＝(－3，5)，若向量a与b的夹角为钝角，求λ的取值范围.1066(,)(,)355-+?U例4已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，试判断ABC的形状，并给出证明.A(1,2)B(2,3)C(-2,5)x0y.ABC是直角三角形)1,1()23,12(AB:证明)3,3()25,12(AC031)3(1ACABACAB思考：还有其他证明方法吗？向量的数量积是否为零,是判断相应的两条线段或直线是否垂直的重要方法之一90,C变式:已知ABC为直角三角形，AB=(1,3),AC=(2,k),求k值？90(C解：若，则CACB,CACB=0,-21)+(-k)(3-k)=0,k=1或2.练习已知i=(1,0),j=(0,1),与2i+j垂直的向量是[]A.2i-jB.i-2jC.2i+jD.i+2j已知a=(λ,2),b=(-3,5),且a和b的夹角是钝角,则λ的范围是[]310.310.310.310.DCBABA练习][,10,2,12范围为的取值则若已知mmmaaB1,,-1-.2,2.1,1.1,1.DCBA的夹角是多少？与则已知baba,13,13,3,1练习分析：为求a与b夹角，需先求a·b及|a||b|，再结合夹角θ的范围确定其值.0≤θ≤π13,13,3,1ba解413313ba22,2ba记a与b的夹角为θ22cosbaba又0≤θ≤π4知三角形函数值求角时,应注重角的范围的确定已知a＝(３,４),b＝(４,３),求x，y的值使(xa+yb)⊥a,且｜xa+yb｜=1.753524753524yxyx和练习小结)()(2211jyixjyixba2121yyxx.,22222121yxbyxaA、B两点间的距离公式:已知),,(11yxA),,(22yxB,)()(212212yyxxAB小结2.向量的坐标运算沟通了向量与解析几何的内在联系，解析几何中与角度、距离、平行、垂直有关的问题，可以考虑用向量方法来解决.02121yyxxba0//1221yxyxba222221212121cosyxyxyyxx