2.1.2异面直线所成的角习题课

2.1.3异面直线所成角习题课一、预备知识角的知识正弦定理a=2RsinAa=2RsinASABC=21bcsinA余弦定理ABCbcacosA=bcacb2222ABCbca二、数学思想、方法、步骤：解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化归与转化，即把空间的角转化为平面的角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得。3.步骤：①作（找）②证③算1.数学思想：（2）补形法可扩大平移的范围②借助于平面平移（1）平移法①常用中位线平移2.异面直线所成角的两种求法：1、在正方体AC1中，M,N分别是A1A和B1B的中点，求异面直线CM和D1N所成的角？ABDCA1B1D1C1MN巩固练习:2、在正方体AC1中，M是B1B的中点，求异面直线A1M和B1D1所成的角？ABDCA1B1D1C1M巩固练习:3、在正方体AC1中，M,N分别是A1A和B1B的中点，求异面直线A1C1和BD1所成的角？ABDCA1B1D1C1巩固练习:取BB1的中点M，连O1M，则O1MD1B，如图，连B1D1与A1C1交于O1，于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角）O1MDB1A1D1C1ACB解：为什么？解法二：方法归纳：补形法把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。F1EFE1BDB1A1D1C1AC解法二：如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面连结A1E，C1E，则A1C1E为A1C1与BD1所成的角(或补角)，F1EFE1BDB1A1D1C1ACBC1的长方体B1F，ADCBA1D1C1B1练习1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a.O为底面中心，F为DD1中点E在A1B1上,(1)求AF与OE所成的角OEFNADCBA1D1C1B1(2)若M为A1B1的中点，N为BB1的中点，求异面直线AM与CN所成的角；NMFE4．A为正三角形BCD所在平面外一点，且AB=AC=AD=BC=a，E、F分别是棱AD、BC的中点，连结AF、CE，如图所示，求异面直线AF、CE所成角的余弦值。ABCDEFG解：连结DF，取DF的中点G，连结EG，CG，又E是AD的中点，故EG//AF，所以∠GEC（或其补角）是异面直线AF、CE所成的角。.4321aAFEG.43232121aABDFFG.47)21()43(2222aABABFCFGCG.32cosGECEGC中用余弦定理得在∴异面直线AF、CE所成角的余弦值是324．A为正三角形BCD所在平面外一点，且AB=AC=AD=BC=a，E、F分别是棱AD、BC的中点，连结AF、CE，如图所示，求异面直线AF、CE所成角的余弦值。ABCDEFP另解:延长DC至P,使DC=CP，E为AD中点，∴AP//EC。故∠PAF(或其补角)为异面直线AF、CE所成的角。,23aAF.27120cos222aPCFCPCFCPF.32aECAP.32cos,PAFPAF得中应用余弦定理∴异面直线AF、CE所成角的余弦值是32练习1：如图，P为ΔABC所在平面外一点，PC⊥AB，PC=AB=2，E、F分别为PA和BC的中点。（1）求证：EF与PC为异面直线；（2）求EF与PC所成的角；（3）求线段EF的长。ABCPEF解：假设EF与PC不是异面直线,则EF与PC共面由题意可知其平面为PBC,,,PPBCPEPBCPAPBCPABCEPBC平面平面即平面共面平面这与已知P为ΔABC所在平面外一点矛盾练习1.如图，P为ΔABC所在平面外一点，PC⊥AB，PC=AB=2，E、F分别为PA和BC的中点。（1）求证：EF与PC为异面直线；（2）求EF与PC所成的角；（3）求线段EF的长。ABCPEFMMEF为EF与PC所成的角或其补角1111,,,22////MEPCMFABMEFPCABEMMFMEPCMFAB中EF与PC所成的角为45练习1.如图，P为ΔABC所在平面外一点，PC⊥AB，PC=AB=2，E、F分别为PA和BC的中点。（1）求证：EF与PC为异面直线；（2）求EF与PC所成的角；（3）求线段EF的长。ABCPEFM1111,,,22////MEPCMFABMEFPCABEMMFMEPCMFAB中222EFEMMFADCBFE2.在三棱锥A-BCD中AD=BC=2a，E，F分别是AB，CD的中点EF=，求AD和BC所成的角a3M∠EMF=120ºAD和BC所成的角为60º切记:别忘了角的范围!!PABCMN3.空间四边形P-ABC中，M，N分别是PB，AC的中点，PA=BC=4，MN=2，求PA与BC所成的角？E变：PA=BC=4，PA与BC所成的角为60º,求MN=？4.已知空间四边形ABCD中，AB=AC=AD=BC=BD=CD=a,M、N分别是BC、AD的中点BCDMNA（1）求异面直线AB、MN所成的角。o4.已知空间四边形ABCD中，AB=AC=AD=BC=BD=CD=a,M、N分别是BC、AD的中点BCDMNAo（1）求异面直线AB、MN所成的角。（2）求异面直线AB、CD所成的角。4.已知空间四边形ABCD中，AB=AC=AD=BC=BD=CD=a,M、N分别是BC、AD的中点BCDMNA（1）求异面直线AB、MN所成的角。（2）求异面直线AB、CD所成的角。（3）求异面直线AM、CN所成的角。E变式1.已知空间四边形ABCD中，AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点BCDMNA（1）MN=AD,求异面直线AD与BC所成的角。（1）MN=AD,求异面直线AD与BC所成的角。2232变式2.如图，在三棱锥D－ABC中，DA⊥平面ABC，∠ACB=90°，∠ABD=30°，AC=BC，求异面直线AB与CD所成的角的余弦值。ABCD变式3．如图，a、b为异面直线，直线a上的线段AB=6cm，直线b上的线段CD=10cm，E、F分别为AD、BC的中点，且EF=7cm，求异面直线a与b所成的角的度数．ABCDEFab定角一般方法有：（1）平移法（常用方法）小结：1.求异面直线所成的角是把空间角转化为平面角，体现了化归的数学思想。2.用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角θ的范围：（1）当cosθ＞0时，所成角为θ（2）当cosθ＜0时，所成角为π－θ（3）当cosθ=0时，所成角为90o（2）补形法化归的一般步骤是：定角求角