直角坐标系下二重积分的计算

第二讲直角坐标系下二重积分的计算•内容提要直角坐标系下二重积分的计算•教学要求理解和熟练掌握二重积分的计算。预备知识：(1)曲顶柱体体积：VDdyxf),((2)在直角坐标下，Ddxdyyxf),()(xAxxoabyVD),(yxfzDdyxf),(二重积分.)(badxxA(3)平行截面面积为已知的立体的体积oxy)(1xy)(2xyab如果积分区域为bxaxyxD)()(:21（1）X－型区域1.对积分区域的讨论：xX-型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.1.直角坐标系下二重积分的计算oxy如果积分区域为dycyxyD)()(:21（2）Y－型区域Y-型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.可以用平行于坐标轴的直线(3)一般区域：1D2D3D把D分解成有限个x--型区域或y--型区域oxy)(1yx)(2yxcdy)(02x)(01x,义根据二重积分的几何意2.二重积分的计算公式：,型时为先讨论积分区域xDDdxdyyxf),(二重积分V,型区域为由于积分区域xD,],[0xba区间上任意固定一点在作平行过0x,其截面为曲边梯形其面积bxaxyxD)()(:21如何计算.面的平面于yozozxy),(yxfzDab0x)(0xA)(0xA),(yxfz0Ddxdyyxf),(：用另一种方法求V)()(),(02010xxdyyxf)(xA,的公式积根据截面面积已知的体V则badx)()(21),(xxdyyxfdxdxdyyxfbaD),(从而)()(21),(xxdyyxf通常写成：Dbadxdxdyyxf),()()(21),(xxdyyxf即把二重积分化为,积分先对y积分后对x的二次积分xab)(1x)(2x)(xAozxy),(yxfzD，上任意一点一般地，过xba],[轴的平面作垂直于x)()(),(xxdyyxf21badxxA)(面积与柱体相交得到的截面如果积分区域为[y--型]：dycyxyD)()(:21oxy)(1yx)(2yxcdDdxdyyxf),(即把二重积分化为,积分先对x积分后对y.的二次积分类似的有：dcdy)()(21),(yydxyxfdydc)()(),(yydxyxf21Ddxdyyxf),(通常写成：计算二重积分需要注意以下几点：(1)在计算二重积分时，首先根据已知条件确定积分区域D是x--型还是y--型区域，由此确定将二重积分化为先y后x的二次积分还是先x后y的二次积分。(2)当积分区域D既是x--型区域，又是y--型区域时，把二重积分化为二次积分时，就有两种积分顺序：)()(21),(),(xxDbadyyxfdxdxdyyxf先y后x)()(21),(yydcdxyxfdy先x后yoyx(3)如果用平行于坐标轴的直线与积分区域D的321),(),(),(DDDdxdyyxfdxdyyxfdxdyyxf则必须分割区域D221DDDD1D2D3D根据二重积分的性质Ddxdyyxf),(交线多于两个交点，如图。Dydxdyx21计算二重积分例10,11yxD为矩形区域其中oxy111,:的图形先画区域解D解法一：D为X--型区域二重积分化为先y后x的二次积分Dydxdyx211102221dxyx11221dxx3111102ydyxdxdxydyx][11102dxydyx][11102oxy111解法二：D为Y--型区域1011:yxD二重积分化为先x后y的二次积分Dydxdyx21011331dyxy1032ydy3110112ydxxdy][10112dxxydy例2求Ddxdyyx)(2，其中D是由抛物线2xy和2yx所围平面闭区域.解求两曲线的交点22yxxyDdxdyyx)(21022)(xxdyyxdxdxxxxxx)](21)([42102140332xy2yxoxy11将D化为X--型区域10:2xxyxD),,(,),(1100x2xy2yxoxy11yDdxdyyx)(21022)(yydxyxdydyyyy)3134(36102314033将D化为Y--型区域10:2yyxyD1047254171315234yyyxdxdyyxD)(3计算二重积分例.,,,所围成是由直线其中xyxyxxD321,:的图形先画区域解DD为X--型区域:Dxyx321xxdxdyyxD)(213xxdyyxdx)(dxyxyxx213221dxx2126141xyxy32xyo是由直线其中区域计算二重积分例DdxdyyxD,224所围成及双曲线1,2xyxyx解：画出积分区域D的图形.oyxxy21xy求出各个交点，如图212将D化为X--型区域:D22dxdyyxDdxyxxx12121)(2xx11213)(dxxx49xyx121xdyyxdxxx12221将D化为Y--型区域21DDDdxdyyxdxdyyxdxdyyxDDD21222222这样计算量就比X--型区域的计算量大的多因此，计算二重积分时，要适当的选择积分区域。oyxxy21xy2122x111D2D:1D121y21xy:2D21y2xy,dxyD计算例5，是由抛物线其中区域2yxD.所围成的区域直线2xy:解D为y--型区域:Dxy221yxyo),(11),(242xy2yx12,的图形先画区域DdxyD2122yyxydxdydyyxyy2122221dyyyy2152221])([8452yoyx)1,1()1,0(xy解将D化为X--型区域:DDydxdye21012xydyedx.无法求出从而1012xydyedxx1无法用初等函数表示,dyey2dyey2无法积分.1yx10xDydxdye2计算二重积分例6是由直线其中区域D.,,围成的区域xyyx10Dydxdye2yydxedy0102dyyey102)(2102ydey)11(21eoyx)1,1()1,0(将D化为Y--型区域:Dyydxdye010210221yeyx010yxy21解积分区域由两个y--型区域构成.),(的积分顺序交换积分例2211117xxdyyxfdx:2D:1D转化积分区域为Y--型区域2211yxy01y积分区域为X--型区域:D11x2211xyx11yxy1110y221111xxdyyxfdx),(221101yydxyxfdy),(yydxyxfdy1110),(2D1Dxyo11解由原积分知，积分区域为两个Y--型区域和xxdyyxfdxI2211),(故转化积分区域为X--型区域ydxyxfdyI212141),(yydxyxfdy),(121交换下列积分例8.的顺序121xxyx2xyxoy21411212xy12141yyx21121yyxy22xxyxyo例9改变积分xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2解积分区域由两个X--型区域构成1020:21xxxyD2120:2xxyD转化积分区域为Y--型区域10211:2yyxyD102112),(yydxyxfdy原式故1xy22D12的次序.二重积分在直角坐标下的计算（在积分中要正确选择积分次序）小结.),(),()()(21DbaxxdyyxfdxdyxfDdcyydxyxfdydyxf)()(21),(),(［Y－型］［X－型］xy1oyx11解积分区域为X--型区域积分可知由xdyyxfdx1010),(:D（如图）ydxyxfdy1010),(故原式转化积分区域为Y--型区域:D围成由xyyxx1,0,1,010yyx1010xxy10xdyyxfdx1010),(改变积分的次序.练习