振动与波习题课

振动与波习题课一、基本概念1、振幅：振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。2、周期：振动物体完成一次完整振动所需要的时间。3、频率：单位时间内振动物体完成完整振动的次数4、相位：表示谐振动状态的最重要的物理量5、波长：振动相位相同的两个相邻波阵面之间的距离是一个波长6、波速：单位时间某种一定的振动状态(或振动相位)所传播的距离称为波速2221Aw7、平均能量密度：能量密度的平均值。8、平均能流密度：能流密度的平均值。uI二、基本规律1、简谐振动的动力学方程00222222dtdxdtxd2、简谐振动的运动方程)cos(tAx)cos(0t3、由初始条件确定A4、简谐振动的能量221kAEEEPk)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsinAAAAtg5、同方向、同频率简谐振动的合成：22020vxA00tanxv6、一维简谐波的波动方程：])(2cos[])(cos[xTtAuxtAy减弱加强,2,1,0)12(,2,1,02)(21212kkkkrr7、波的干涉：频率相同、振动方向相同、初位相差恒定。减弱加强2,1,02)12(2,1,021kkkkrr8、驻波：振幅、传播速度都相同的两列相干波，在同一直线上沿相反方向传播时叠加而形成的一种特殊的干涉现象.x波腹波节AAkk2,1,02max02.1,04)12(minAkk*9、多普勒效应：so'vvuu振动与波振动波0222xdtxd)cos(tAx)tan(120022020xvvxATT旋转矢量法)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsinAAAAtg)2cos(])(cos[xtAuxtAyTuuIA222121211212,2,1,0)12(,2,1,02)(2AAAkkAAAkkrr减弱加强x波腹波节AAkk2,1,02max02.1,04)12(minAkk三、基本题型1、已知运动方程求相应物理量。2、会证明简谐振动的方法，并求出谐振动的周期。3、已知一些条件给出谐振动的运动方程。4、已知波动方程求相应物理量。5、已知一些条件给出波动方程。6、能解决波的干涉问题。1.把一单摆从平衡位置拉开,使悬线与竖直方向成一小角度,然后放手任其摆动,如果从放手时开始计算时间,此角是否是振动的初相?单摆的角速度是否是振动的角频率?t=0角是振幅，振动初相位为0答：振动的角频率单摆的角速度单摆的角速度不是振动的角频率.,0)cos(00tt000lg)sin(00tdtd2.把单摆从平衡位置拉开,使摆线与竖直方向成角,然后放手任其振动,试判断图中所示五种运动状态所对应的相位.12/23543/2t=T/2t=T/4t=3T/4t=Tt=054321它们所对应的相位分别为:0,/2,,3/2,2.xO)cos(0tAxX0mk1k23.如图所示,两个轻弹簧的劲度系数分别为,当物体在光滑斜面上振动时.(1)证明其运动仍是简谐运动;(2)求系统的振动频率.k1k2k1k2要证明一系统作简谐振动,须分析受力,看是否满足简谐振动的受力特征(或动力学方程).建立如图(2)所示的坐标,设系统的平衡位置为原点,沿x轴物体受弹力和重力的分力.利用串联时各弹簧受力相等,分析在任一位置时受力和位移关系.即可证.分析证:设平衡时两弹簧伸长分别为x1x2,则由物体受力平衡,有按图所取坐标,原点取在平衡位置,物体沿x轴移动x时,两弹簧与分别被拉伸,即''21xx和''21xxx将(1)代入(2),得考虑(3)与x的表达式,得则物体作简谐振动,频率对物体分析受力,有X0mk1k2221sinxkxkmg)()()(sin222111222xxkxxkxxkmgF2211xkxkFkxxxkkkkF)(212121mkkkkmk)(212122121mm(a)(b)讨论(1)由结果可见,倾角θ与弹簧是否作简谐运动及频率无关.弹簧无论水平、斜置还是竖直悬挂,物体均作简谐运动.其频率相同.固有频率.(2)如振动系统并联(a)或如图(b)所示,频率均为1k2k2k1kmkkkkmk)(212122121mkk212124.一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅(1)物体在正方向端点；(2)物体在平衡位置、向负方向运动；(3)物体在向负方向运动；(4)物体在求以上各种情况的运动方程．分析：要确定简谐运动方程，在已知振幅、频率的情况下，关键是确定初相位，通常有两种方法：1、解析法；2、旋转矢量法。mA2100.2,0,5.0时当周期tsT处，mx2100.1处，向正方向运动。mx2100.1(1)物体在正方向端点(2)在平衡位置、向负方向运动012,4/2,100.2而初相sTmA解由题给条件知可采用分析中的两种不同方法来求．.,.sin,cos,0),cos(00000000xAAxttAx的取值必须同时考虑时当;0,1cos,000则时Ax;2,0;2,0cos,000000取因则时x处，向负方向运动。物体在mx2100.1)3(;3,0;3,5.0cos,100.1000020取因则时mx处，向正方向运动。）物体在（mx2100.14;34,0;3,5.0cos,100.1000020取因则时mxx1324旋转矢量法：分别画出四个不同初始状态的旋转矢量图，如图所示，它们所对应的初相分别为：则各相应状态下的运动方程为：2/A2/Am34)4(3)3(2)2(0)1(0000确定后，，初相，角频率振幅0Atx4cos100.2)1(2)3/4cos(100.2)3(2tx)2/4cos(100.2)2(2tx)3/44cos(100.2)4(2tx5.某振动质点的曲线如图所示，试求：(1)运动方程；(2)点对应的相位；(3)到达点相应位置所需的时间。分析：写出运动方程，首先确定振幅、频率、初相位，曲线的最大副值即振幅,另外两个量的通常求法：1、解析法，2、旋转矢量法。而旋转矢量法一般比较方便.振动中常见的两类问题运动方程振动曲线txPP(a)(b)mA10.0时的旋转矢量，如图。和stt4010解(1)质点振动振幅而由振动曲线可画出)3/5(3/00或由图可见初相则运动方程，得（,24/5,3/2/)101stt)3/245cos(10.0tx知识点:(2)图(a)中点的位置是质点从处运动到正向的端点处．对应的旋转矢量图如图所示．1.由振动曲线求运动方程;2.应用旋转矢量法.P2/A0)0(,3/00PptP相位为的点时当初相取2)0(,3/500PptP相位为的点时当初相取sttPP6.1,3/)0((3)由旋转矢量图可得空盘振动系统由于下落物体的加入，振子质量发生变化，则系统的周期发生变化，初始条件也发生变化。物体落在盘中，与盘做完全非弹性碰撞,由动量守恒可确定共同初速度，这也是系统的初速度。但在确定初始时刻的位移时，应注意新振动系统的平衡位置应是盘和物体悬挂在弹簧上的平衡位置。因此，新振动系统的初始位移，就是空盘的平衡位置相对新系统平衡位置的位移。6.如图所示．一劲度系数为A的轻弹簧．其下挂有一质量为m1的空盘,现有一质量为m2的物体从盘上方高为h处自由落到盘中．并和盘粘在一起振动,问：(1)此时的振动周期与空盘作振动的周期有何不同?(2)此时的振幅为多大?m2h分析:解:（1）空盘时和物体落入盘中后的振动周期分别为：（2）取新系统的平衡位置为坐标原点，初始位移为空盘时的平衡位置相对粘上物体后新系统平衡位置的位移。可知:即振动周期变大了.m2hm2xox0l1l2TTkmT/2/21kmmT/)(2/221由动量守恒为物体下落至盘时的速度位移式中空盘静止时弹簧的伸长量物体粘在盘上后静止时弹簧的伸长量关键：确定相对于新的平衡位置的初始位移延伸：用机械能守恒怎样求？gmmkhkgmxA)(21)/(2122020kgml/11kgmml/)(212gh2kgmgkmmkgmllx2211210ghmmmmmm22122120谐振子系统的周期，只与弹簧的劲度系数和振子的质量有关，粘土下落后振子的质量发生变化，周期也发生变化。粘土如何下落，不影响周期，粘土下落时将改变振动系统的初始状态，因此对振幅有影响。7.如图所示．劲度系数为k的轻弹簧，系一质量为m1的物体,在水平面上作振幅为A的简谐运动．有一质量为m2的粘土，从高度h处自由下落．正好在(a)物体通过平衡位置时，(b)物体在最大位移处时．落在物体上.分别求：(1)振动周期有何变化?(2)振幅有何变化?m1m2h分析:解：（2）粘土下落后的两种不同情况中，系统在水平方向的动量都守恒，机械能守恒。（1）下落前的周期：下落前后周期：（a）：平衡位置时，粘土落在物体前后，系统的振幅和速度分别为：vvAA表明增加粘土后,物体的振幅变小了.kmT/2/21kmmT/)(2/221TT2122121mkA2212)(2121mmAk)(211mmmAmmmA211（b）：物体正好在最大位移时粘土落在物体上，由动量守恒知在水平方向共同速度为零,即初始条件与不落上时相同,因而振幅不变.此题还可以根据公式求振幅，留作练习。m1m2hAA2020)/(xA8.如图所示．一劲度系数为k＝3.12×102N·m-1的轻弹簧，一端固定,另一端连接一质量为m1＝0.30kg的物体A上,A放置在光滑的水平桌面上,物体A上再放置质量为m2＝0.20kg的物体B．己知A、B间静摩擦因数为0.50,求两物体间无相对运动时,系统振动的最大能量．BA分析:振动系统的总能量与振幅的平方成正比。为求A、B两物体无相对运动时的最大能量，只需确定此条件下的振幅，因最大加速度为2Aamax故根据A、B间的最大静摩擦力求出是确定振幅的关键maxa无相对滑动时，A、B两物体参与振动的角频率为物体B在静摩擦力作用下运动，由动力学方程得:振动系统的最大能量为：可得：BA解：)/(21mmkmax22max22Amamgm2maxmax21kAEJkmmgE322122max1062.92/)(9.已知两同方向、同频率的简谐运动的运动方程分别为x1=(0.05m)cos[(10s-1)t+0.75];x2=(0.06m)cos[(10s-1)t+0.25].求：(1)合振动的振幅及初相：(2)若有另一同方向、同频率的简谐运动x3=(0.07m)cos[(10s-1)t+3],则3为多少时,x1+x3的振幅最大?又3为多少时，x2+x3的振幅最小?分析:可采用解析法和旋转矢量法求解：由旋转矢量合成可知，两个同方向、同频率的简谐运动的合成仍为一简谐运动，其角频率不变。