材料力学弯曲强度

北京建筑大学力学系第五章弯曲强度材料力学北京建筑大学力学系§5-1纯弯曲及其变形§5-2纯弯曲时梁横截面上的正应力§5-3横力弯曲时梁横截面上的正应力弯曲正应力强度条件§5-7提高梁弯曲强度的主要措施北京建筑大学力学系§5-1纯弯曲及其变形弯曲构件横截面上的（内力）应力内力剪力FS弯矩M剪应力t正应力s北京建筑大学力学系某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。aaABFSMxx纯弯曲(PureBending):§5-1纯弯曲及其变形北京建筑大学力学系§5-2纯弯曲时梁横截面上的正应力一、纯弯曲时梁横截面上的正应力变形几何关系物理关系静力学关系北京建筑大学力学系1.梁的纯弯曲实验①横向线(mm、nn）变形后仍为直线，但有相对转动，仍垂直于梁变形后的轴线。（一）变形几何关系：MMmmnnaabbmmnnaabb②纵向线(aa、bb)变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。§5-2纯弯曲时梁横截面上的正应力北京建筑大学力学系弯曲变形与受力的假设——平面假设①梁的横截面在梁弯曲变形后仍保持为平面，且仍与变形后的梁轴线垂直。②梁的纵向纤维为单向应力状态，互无挤压。—横截面上只有正应力§5-2纯弯曲时梁横截面上的正应力北京建筑大学力学系纵向对称面中性层中性轴中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。中性轴：中性层与横截面的交线。§5-2纯弯曲时梁横截面上的正应力北京建筑大学力学系2.变形几何关系取一微段dxbbo1o2do2O1O'b'bdxmnmn变形前'm'n'm'n变形后12OOdx''()bbyd''lbbdxldxyd()yddydyddy§5-2纯弯曲时梁横截面上的正应力北京建筑大学力学系（二）物理关系：yEEssxsx§5-2纯弯曲时梁横截面上的正应力北京建筑大学力学系（三）静力学关系：yxzsdAyz0xF0AydAzMsMdAyMAzs0NAFdAs()0yMF()zMFMyEsddzAAEyEEAyAS00d0zASyA中性轴z必通过横截面形心横截面对中性轴的静矩§5-2纯弯曲时梁横截面上的正应力北京建筑大学力学系yAMzdAsAEyzdAyzEI横截面对y轴和z轴的惯性积0y轴和z轴是横截面的主形心轴zAMydAs2AEydAzEI横截面对中性轴的惯性矩M1zMEI其中EIz表征杆件抵抗弯曲变形的能力，称为抗弯刚度。§5-2纯弯曲时梁横截面上的正应力北京建筑大学力学系zMyIs由该式可知横截面上各点正应力大小与各点到中性轴的距离成正比，中性轴上各点正应力为零，离中性轴最远点正应力最大。maxsmaxszCzCyxzsdAyz上述分析是在平面假设下建立的，对于横力弯曲，由于横截面上还有剪力，变形后截面会发生翘曲，平面假设不再成立。当截面尺寸与梁的跨度相比很小时，翘曲很小，仍可按平面假设分析，上面公式仍可使用。§5-2纯弯曲时梁横截面上的正应力北京建筑大学力学系【例】长为的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F，已知h=0.18m，b=0.12m，y=0.06m，a=2m，F=1.5kN。试求C截面上K点的正应力。FABlaCKz2h2hyb解：C截面的弯矩CMFa3310Nm截面对中性轴的惯性矩312zbhI-440.58310m代入应力公式CKzMyIs343100.06)0.58310（-3.09MPa（拉应力）§5-2纯弯曲时梁横截面上的正应力北京建筑大学力学系§5-3弯曲正应力强度条件梁某截面上的最大正应力maxzMWsWz称为抗弯截面模量反映截面形状和尺寸对弯曲强度的影响。单位：m3。maxmaxyIMzsmaxzzIWy等截面梁的最大正应力maxmaxmaxzMyIsmaxzMW北京建筑大学力学系⑴矩形截面⑵圆形截面⑶环形截面CzdzCbh/2h/2zdCD312zbhI464zdI)1(32443DdDWz26zbhW323dWz§5-3弯曲正应力强度条件北京建筑大学力学系梁要安全工作，必须满足正应力强度条件正应力强度条件：对于等截面梁maxmaxzMWss根据强度条件可进行下述工程计算：⑴强度校核；⑵设计截面尺寸；⑶确定容许荷载。max[]ssmax[]zMWsmax[]zMWs§5-3弯曲正应力强度条件北京建筑大学力学系【例】一矩形截面的简支木梁，梁上作用有均布载荷，已知：l=4m，b=140mm，h=210mm，q=3kN/m，弯曲时木材的许用正应力[σ]=10MPa。试校核该梁的强度。qABlbh解：画出梁的弯矩图＋M图281ql2max8qlM3221210N/m4m83=410Nm26zbhW2210.14m0.21m6-23=0.10310mmaxmaxzMWs3-33410Nm=0.10310m=3.88MPas满足强度条件§5-3弯曲正应力强度条件北京建筑大学力学系【例】针对上题，试求梁能承受的最大载荷qmax。qABlbh解：由强度条件＋M图281qlmaxzMWs2max8qlMzWs28zWqls6-232281010Pa0.10310m=4m=5.15kN/mmax=5.15kN/mq§5-3弯曲正应力强度条件北京建筑大学力学系【例】简支梁上作用两个集中力，已知：l=6m，F1=15kN，F2=21kN。如果梁采用热轧普通工字钢，钢的许用应力[σ]=170MPa，试选择工字钢的型号。1FAB3l3l3l2F解：画出梁的弯矩图M图、34kNm38kNmmaxzMWs363.810Nm=17010Pa-33=0.22310m3=223cm320237cmzaW钢选择20a工字钢AFBF17kNAF19kNBF§5-3弯曲正应力强度条件北京建筑大学力学系【例】一T形截面的外伸梁如图所示，已知：l=0.6m，a=40mm，b=30mm，c=80mm，F1=24kN，F2=9kN，材料的许用拉应力[σt]=30MPa，许用压应力[σc]=90MPa。试校核梁的强度。1FAB2l2l3l2FCDaabczb1y2yC解：画出梁的弯矩图M图AFBF24kNBF9kNAF2.7kNm1.8kNmCyAyAyAA()(2)22(2)cbbbcabbbcabb38mm172mmy238mmy§5-3弯曲正应力强度条件北京建筑大学力学系1FAB2l2l3l2FCDaabczb1y2yCzzzIII321()122bccybc322(2)()(2)122abbbyabb540.57310mmax2.7kNmCMM校核应力max1.8kNmBMM§5-3弯曲正应力强度条件北京建筑大学力学系C截面，上压下拉,max2tCCzMyIs,max1cCCzMyIs3-542.710Nm0.038m0.57310m17.9MPa3-542.710Nm0.072m0.57310m33.9MPaB截面，上拉下压,max1tBBzMyIs,max2cBBzMyIs3-541.810Nm0.072m0.57310m22.6MPa3-541.810Nm0.038m0.57310m11.9MPa§5-3弯曲正应力强度条件北京建筑大学力学系综上,max,max=22.6MPattBss,max,max=33.9MPaccCsstscs满足强度要求§5-3弯曲正应力强度条件北京建筑大学力学系§5-7提高梁弯曲强度的主要措施梁的设计主要依据正应力强度条件，即sszWMmaxmax可从降低最大弯矩Mmax和增大抗弯截面模量Wz来考虑提高梁的强度。北京建筑大学力学系一、降低梁的最大弯矩a)、合理布置梁的最大弯矩ABl/2l/2FABFl/4l/2l/4⊕⊕Fl/4Fl/8M图M图§5-7提高梁弯曲强度的主要措施北京建筑大学力学系b)、合理改变支座位置通过改善梁的受力情况，以降低梁的最大弯矩，从而提高梁的正应力强度。qABlABqql2/24ql2/8⊕⊕M图M图2l/3l/6l/6ql2/72ql2/72§5-7提高梁弯曲强度的主要措施北京建筑大学力学系二、梁合理的截面形状maxzzIWy梁的抗弯截面模量Wz与截面尺寸和形状有关，截面面积相同的情况下，Wz越大截面形状越合理。下面对矩形、方形、圆形截面加以比较。§5-7提高梁弯曲强度的主要措施北京建筑大学力学系zhbCaaCzdzCzzWW矩方矩形截面比方形截面好zzWW方圆方形截面比圆形截面好2366bha2hbhhaaa133632ad22684aadd43ad4221.1833dd§5-7提高梁弯曲强度的主要措施北京建筑大学力学系zzz以矩形截面梁为例，横截面的正应力沿截面高度线性分布，当上下边缘的应力达到容许应力时，中性轴附近材料远比容许应力，没能充分发挥材料作用，若将这部分材料移到离中性轴较远处，就可极大地提高梁的承载能力。故工字形截面、槽形截面、T形截面均比矩形截面好。§5-7提高梁弯曲强度的主要措施北京建筑大学力学系对于等截面梁，按强度条件只有Mmax截面上的最大正应力才达到[s]，而其它截面上的最大正应力均没达到[s]。三、变截面梁若采用变截面梁，使各截面上的最大正应力同时达到[s]，此梁工程上称为等强度梁。max()()zMxWxss()()zMxWxs§5-7提高梁弯曲强度的主要措施北京建筑大学力学系变截面梁F悬臂凉台ABq吊车梁§5-7提高梁弯曲强度的主要措施北京建筑大学力学系§5-4矩形截面梁的切应力切应力分布和方向假设：dxxFS(x)+dFS(x)M(x)yM(x)+dM(x)FS(x)dx①切应力与剪力方向平行；②矩中性轴等距离处，切应力相等。切应力沿横截面宽度均匀分布dxx1s2s北京建筑大学力学系§5-4矩形截面梁的切应力1mn1dx22ttxt’tbFN2FN112dxmnyxz平衡条件：0xF120NNSFFFysdAy1'SFbdxt21NNFF研究方法：分离体平衡。北京建筑大学力学系§5-4矩形截面梁的切应力*11NAFdAst’tbFN2FN112dxmnyxzysdAy1*1AzMydAI*1AzMydAI*zzMSI*22NAFdAs*1(d)AzMMydAI*dzzMMSI**1zASydA—面积A*对横截面中性轴的静矩***'zzzzzzSMdMMbdxSSdMIIIt*'zzSdMIbdxt'sdMFdxtt*szzFSIbtA*为横截面上距中性轴为y的横线以外部分的面积北京建筑大学力学系§5-4矩形截面梁的切应力*szzFSIbt为截面求应力那点到截面边缘所围面积对中性轴的静矩。*zSA*btmax***zSAy2222361()()424sszFFhhyybhIt由上式可知，横截面各点切应力是各点坐标y的2次函数，切应力的大小沿截面高度呈抛物线分布。中性轴上切应力最大，上下边缘切应力为零。zy1()[()]222hhbyyy22()24bhymax3322ssFFbhAt北京建筑大学力学系§5-4矩形截面梁的切应力【例】一矩形截面简支梁如图所示，已知l=3m，h=160mm，b=100mm，h1=40mm，F=3kN，试求m—m截面上K点的切应力。F3lAB3l3lFmm6lbhzK0y1h*A解：m—m截面的剪力3kNSFF截面对中性轴的惯性矩312zbhI-440.34110m3.09MP