曲面积分的概念与性质.

一、曲面积分的概念与性质二、曲面积分的计算三、两类曲面积分之间的联系第一型曲面积分的计算第二型曲面积分的概念第二型曲面积分的计算第一型曲面积分的概念示小曲面块iS(,,)iiiiS的面积，为中任意一点，12{,,}nTSSS...,iS其中为曲面块的分割，表一、第一型曲面积分的概念类似第一型曲线积分,当质量分布在某一曲面块S，量为极限i||||01lim(,,),niiiTiS||||TTiS为分割的细度，即为诸中的最大直径.且密度函数在S上连续时，曲面块S的质(,,)xyziS(,,)(1,2,,),iiiin上任取一点若存在极限||||01lim(,,),niiiiTifSI定义在S上的函数.对曲面S作分割T,它把S分成n个小曲面块记小曲面块(1,2,,),iiSinS以iS1||||maxiinTS的直径，的面积,分割T的细度在定义1设S是空间中可求面积的曲面,为(,,)fxyz且与分割的取法无关,则称此极限为(,,)iiiT及上的第一型曲面积分,(,,)fxyzS在(,,)d.(1)SIfxyzS记为当cos0时n所指的一侧是上侧当cos0时n所指的一侧是下侧第二型曲面积分的概念有向曲面通常我们遇到的曲面都是双侧的例如由方程zz(xy)表示的曲面分为上侧与下侧设n(coscoscos)为曲面上的法向量当cos0时n所指的一侧是上侧当cos0时n所指的一侧是下侧第二型曲面积分的概念有向曲面通常我们遇到的曲面都是双侧的例如由方程zz(xy)表示的曲面分为上侧与下侧设n(coscoscos)为曲面上的法向量类似地如果曲面的方程为yy(zx)则曲面分为左侧与右侧在曲面的右侧cos0在曲面的左侧cos0如果曲面的方程为xx(yz)则曲面分为前侧与后侧在曲面的前侧cos0在曲面的后侧cos0闭曲面有内侧与外侧之分曲面在坐标面上的投影在有向曲面上取一小块曲面S用()xy表示S在xOy面上的投影区域的面积假定S上各点处的法向量与z轴的夹角的余弦cos有相同的符号(即cos都是正的或都是负的)我们规定S在xOy面上的投影(S)xy为类似地可以定义S在yOz面及在zOx面上的投影(S)yz及(S)zx0cos00cos)(0cos)()(xyxyxyS提示通过Si流向指定侧的流量近似为viniSiiiiniSnv1流向曲面一侧的流量设稳定流动的不可压缩流体的速度场由v(xyz)(P(xyz)Q(xyz)R(xyz))给出是速度场中的一片有向曲面函数v(xyz)在上连续求在单位时间内流向指定侧的流体的质量即流量•把曲面分成n小块S1S2Sn(Si也代表曲面面积)•在Si上任取一点(iii)•通过流向指定侧的流量近似为第二型曲面积分的定义设为光滑的有向曲面函数R(xyz)在上有界把任意分成n块小曲面S1S2Sn(Si也代表曲面面积)Si在xOy面上的投影为(Si)xy(i,i,i)是Si上任意取定的一点如果当各小块曲面的直径的最大值0时极限xyiiiiniSR))(,,(lim10总存在则称此极限为函数R(xyz)在有向曲面上对坐标x、y的曲面积分记作dxdyzyxR),,(即dxdyzyxR),,(xyiiiiniSR))(,,(lim10类似地可定义对坐标y、z的曲面积分和对坐标z、x的曲面积分dxdyzyxR),,(xyiiiiniSR))(,,(lim10•函数R(xyz)在有向曲面上对坐标x、y的曲面积分•函数P(xyz)在有向曲面上对坐标y、z的曲面积分yziiiiniSPdydzzyxP))(,,(lim),,(10•函数Q(xyz)在有向曲面上对坐标z、x的曲面积分zxiiiiniSQdzdxzyxQ))(,,(lim),,(10上述曲面积分也称为第二类曲面积分其中P、Q、R叫做被积函数叫做积分曲面第二型曲面积分的简写形式dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),,(),,(),,(在应用上出现较多的是dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),,(),,(),,(为简便起见这种合起来的形式简记为说明如果是分片光滑的有向曲面我们规定函数在上对坐标的曲面积分等于函数在各片光滑曲面上对坐标的曲面积分之和曲面积分的性质对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分类似的一些性质(1)如果把分成1和2则(2)设是有向曲面表示与取相反侧的有向曲面则RdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydz21RdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydz二、曲面积分的计算讨论如何把其它两个对坐标的曲面积分化为二重积分？设积分曲面由方程zz(xy)给出的在xOy面上的投影区域为Dxy函数zz(xy)在Dxy上具有一阶连续偏导数被积函数R(xyz)在上连续则有dxdyyxzyxRdxdyzyxRxyD)],(,,[),,(其中当取上侧时积分前取“”当取下侧时积分前取“”应注意的问题(3)曲面取哪一侧(2)向哪个坐标面投影(1)曲面用什么方程表示(4)积分前取什么符号dydzxdydzxdydzx22243dydzdydzayzyzDD02方体的整个表面的外侧{(xyz)|0xa0yb0zc}例1计算曲面积分dxdyzdzdxydydzx222其中是长把的上下面分别记为1和2前后面分别记为3和4左右面分别记为5和6解除3、4外其余四片曲面在yOz面上的投影为零因此dydzxdydzxdydzx22243dydzdydzayzyzDD02方体的整个表面的外侧{(xyz)|0xa0yb0zc}例1计算曲面积分dxdyzdzdxydydzx222其中是长把的上下面分别记为1和2前后面分别记为3和4左右面分别记为5和6解除3、4外其余四片曲面在yOz面上的投影为零因此dydzxdydzxdydzx22243dydzdydzayzyzDD02a2bc类似地可得acbdzdxy22abcdxdyz22于是所求曲面积分为(abc)abc例2计算曲面积分xyzdxdy其中是球面x2y2z21外侧在x0y0的部分把有向曲面分成上下两部分解2211:yxz(x0y0)的上侧2221:yxz(x0y0)的下侧1和2在xOy面上的投影区域都是Dxyx2y21(x0y0)于是21xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy152)1(12222xyxyDDdxdyyxxydxdyyxxy152)1(12222xyxyDDdxdyyxxydxdyyxxy三、两类曲面积分之间的联系设cos、cos、cos是有向曲面上点(xyz)处的法向量的方向余弦则dSRQPRdxdyQdzdxPdydz)coscoscos(两类曲面积分之间的联系也可写成如下向量的形式dSdnASA或dSAdnSA其中A(PQR)n(coscoscos)是有向曲面上点(xyz)处的单位法向量dSndS(dydzdzdxdxdy)称为有向曲面元An为向量A在向量n上的投影提示dSRQPRdxdyQdzdxPdydz)coscoscos(提示曲面上向下的法向量为(zxzy1)(xy1)所以221cosyxx2211cosyxdxdyyxdS221dSzxzzdxdydydzxz]coscos)[()(22例3计算曲面积分zdxdydydzxz)(2其中是曲面)(2122yxz介于平面z0及z2之间的部分的下侧解由两类曲面积分之间的关系可得dSzxzzdxdydydzxz]coscos)[()(22dxdyyxxxyxyx})1()(21])(41{[42222222提示例3计算曲面积分zdxdydydzxz)(2其中是曲面)(2122yxz介于平面z0及z2之间的部分的下侧解由两类曲面积分之间的关系可得dSzxzzdxdydydzxz]coscos)[()(22dxdyyxxxyxyx})1()(21])(41{[42222222422242222222)](21[)(4yxyxdxdyyxxdxdyyxxdSzxzzdxdydydzxz]coscos)[()(224222220)(4yxdxdyyxx例3计算曲面积分zdxdydydzxz)(2其中是曲面)(2122yxz介于平面z0及z2之间的部分的下侧解由两类曲面积分之间的关系可得dSzxzzdxdydydzxz]coscos)[()(22dxdyyxxxyxyx})1()(21])(41{[42222222422242222222)](21[)(4yxyxdxdyyxxdxdyyxx8)21cos(2020222rdrrrd8)21cos(2020222rdrrrddSzxzzdxdydydzxz]coscos)[()(22