武汉理工大学试卷纸(实变函数-A卷2006)

武汉理工大学考试试题纸（A卷）课程名称实变函数与泛函分析专业班级2006题号一二三四五六七八九十总分题分备注:学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题一、选择题（每小题3分，共12分）1、设E是闭区间0,1中的无理点集，则（）.A1mE；.B0mE；.CE是不可测集；.DE是闭集。2、设E是可测集，A是不可测集，0mE，则EA是（）.A可测集且测度为零；.B可测集但测度未必为零；.C不可测集；.D博雷尔(Borel)集。3、设mE，nfx是E上几乎处处有限的可测函数列，fx是E上几乎处处有限的可测函数，则nfx几乎处处收敛于fx是nfx依测度收敛于fx的（）.A必要条件；.B充分条件；.C充分必要条件；.D无关条件。4、设fx是E上的可测函数，则（）.Afx是E上的连续函数；.Bfx是E上的勒贝格可积函数；.Cfx是E上的简单函数；.Dfx可表示为一列简单函数的极限。二、填空题：（每小题3分，共１８分）1、设nER，0nxR，如果0x的任何邻域中都含有E的点，则称0x是E的聚点。2、设nER，若E是有界点集，则E至少有一个聚点。3、设fx是E上的可测函数，0mA，则fx是EA上的函数。4、设在E上，nfx依测度收敛于fx，则存在nfx的子列)(xfnk，使得)(xfnk在E上，收敛于fx。5康托集的测度是6n维欧氏空间Rn的基数是三、计算题与证明题（每小题10分，共70分）1、设1710[10[sin)(32xxxxxxxf）中的无理数，是）中的有理数，是，求]1,0[)(dxxf2、设E是函数0101sin1xxxy当，，当的图形上的点所作成的集合，在R2内讨论E的导集,E的开核与E的闭包.3、设fx是1R上的实值连续函数，a是任意给定的实数，证明Gxfxa是开集。4、证明：由直线上某些互不相交的开区间作为集合A的元素，则A至多为可数集。5、设Q为有理数集，)]3,2()1,0[(QA，用定义证明：A的外测度为零。6、用定义证明：函数114.3)10[3)10[1)(xxxxf当区间的无理数，为当区间的有理数，为当是可测函数7、(1）证明：)1,0(中的所有实数构成一个不可数集。（2）设Q为有理数集，证明)1,0(Q是不可数集。武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸|课程名称实变函数与泛函分析（A卷）|一、ACBD(每小题3分)装二、无穷，无穷，可测，几乎处处、0，c(每小题3分)|三、1.]1,0[)(dxxf=dxxEx12sin+23Edxx=]1,0[3dxx=1/4（按等式3分，7分，10分）|2.E’=E20),0(yy（3分），0E(3分)'EE（4分）|3，如果G为空集合,则显然G为开集合(3分)如果G不为空集合,Gx0,则axf)(0,因为连续函数的保不等式性,则有),(0xU,x),(0xU使得)(xfa,(7分)所以,GxU),(0故,x0是内点,G是开集(10分)|4，在每个开区间B可以取一个有理数ra，，Bra3分arQ（有理数集）7分A=B最多是可数集。10分钉5，设可数集为A=,,,21nrrr对于任意0，对于ir，取一个区间，使得ir（)2/,2/11iiiirr区间长度为i2/，3分覆盖A的区间长度之和为（)2/12/12/12n=7分由的任意性，可知m*A=010分|63a.14E[fa]=可测3分14.33aE[fa]=3.14,可测5分31a}1{]1,0[][中的无理数afE7分a1,E[fa]=[0,1]可测10分故函数可测|7，（1）反证法,利用实数的正规表示.假设(0,1)可数,(0,1)=nrrr,,,213分naaar112111.0……………………nr=0.nnnnaaa21……………………….5分可以找到一个实数不同于上面的所有数iaaa21.0|取ia1211iiiiaa当当矛盾7分（2）反证法如果)1,0(Q是可数集，则(0,1)可数,矛盾10分