线性系统-第8和第9章

§1多项式矩阵描述(PMD:PolynomialMatrixDescription)一、描述表达式：例：u(t)－输入y－输出取1，2为状态阻抗：R,电容：CS1，电感：LS取回路的方程：0)()13112()(31)()(31)()3123(2121sSSssSsusSsSS状态：)(03)()(169111690)()169()()(3)()()169(2122221212suSssSSSSsSSssSussSS输出：)(0)()(20)(2)(212sussssssY推广一般的形式：1、PMD:)()()()()()()()()(susWssRsYsusQssPmmsP)(,pmsQ)(,mqsR)(,pqsW)(PMD假设：)(1sP存在唯一解PMD与传递函数阵)(sG：)()()()(1susQsPs)()()()()()(1susWsQsPsRsY)()()()()(1sWsQsPsRsGPMD与),,(CBA:设upECxyBuAxx)(，微分算子dtdp令x(0)=0,取拉氏变换，取)()(sxs)()(,)(,)(),()(),,,()()()()()()()(sEsWCsRBsQAsIsPPMDECBAsusEsCsysBusAsI的特例：是故PMD与MFD：)()()()()()()()()()()()()()()()()()]()()([)()()();()()()(11111susEssNsysussDsIusDssusEsIusDsNsusEsDsNsysDsNsEsDsNsGMFD令严真的。其中，为设右所以右MFD也是PMD的特例：)()(),()()(),()(sEsWsNsRIsQsDsP二、不可简约PMD：称PMD（P(s),Q(s),R(s),W(s)）不可简约，必有右互质左互质，)(),()(),(sRsPsQsP。当PMD可简约时，意味着{P(s),Q(s)}或{P(s),R(s)}中包含非单模阵的最大公因子，通过适当变换，将可简约的PMD转换成不可简约的PMD：可简约PMD中，存在三种情况：（1）不是右互质左互质，)(),()(),(sRsPsQsP。（2）右互质不是左互质，)(),()(),(sRsPsQsP。（3）不是右互质不是左互质，)(),()(),(sRsPsQsP。只考虑情况（1），现求出{（P(s),R(s)}的一个最大右公因式F(s),则)()()(),()()(sFsRsRsFsPsP，其中右互质)(,)(sRsP引入非奇异)(),()()(sFssFsPMDsusWssRsysusQssP是不可简约的)()()()()()()()()(因为rank[P(s),Q(s)]=rank)(),(sQsP，右互质)(),(sQsP上式为不可简约PMD。注意；不可简约的非唯一性不可简约性因为)(),(),(),(sWsRsQsP，故存在单模阵U(s),V(s))()()()()()(),()()()(sVsRsRsQsUsQsVsPsUsP)(),(),(),(sWsRsQsP也是不可简约的。§2PMD的互质性与的能控能观性),,(CBA一．PMD的),,CBA（实现定义：对PMD：为它的一个实现称2)()(,,,(1)()()()()()()()()(DpECxyBuAxxpECBAsusWssRsysusQssP必有两种描述传递函数阵相同：能控能观维数最低称最小实现实现的非唯一性),,()()()()()()(11CBAsEBAsICsWsQsPsR定理8-1：(PMD的最小实现定理)给定PMD)(),(),(),(sWsRsQsP，且degdetP(s)=n，当且仅当PMD不可简约，),,(CBA的维数为n,必为最小实现（证明从略）即：dim(A)=degdetP(s)=n二、互质性与能控能观的等价定理8-2：对PMD)(),(),(),(sWsRsQsP和它的一个最小实现),,(CBA：完全能观右互质完全能控左互质CAsRsPBAsQsP,)(),(,)(),(推论1：能控能观最小描述),,(CBA不可简约：最小描述右互质右互质，PMDsRsPsQsP)(),()(),(推论2：对于MFD：能控性左互质同理，能观的为右互质为严格真的其中),,()(),()()()(,)(),()(),()()()(111CBAsNsDsNsDsGCAsNsDsDsNsDsNsGLLLL推论3：右互质能观左互质能控传递函数阵CAsICABAsIBAsEBAsICsGpECBA,,,,)()())(,,,(1§3.系统矩阵1．对给定PMD：称系统矩阵矩阵分块矩阵：)()()()()()(0)()()()()()()()()()()()()()()(sWsRsQsPsSsysussWsRsQsPsusWssRsysusQssP2．对状态空间描述：))(,,,(pECBA系统矩阵：)()(sECBAsIsS3．MFD的系统矩阵右MFD：0)()()()()()()()()(1sNIsDsSsusEsuIsDsNsypp左MFD：0)()()(qLLIsNsDsS4．系统矩阵统一描述用增广矩阵：)()(0)()(000)()()()()(sWsRsQsPIsWsRsQsPsSeeeeee---调整增广矩阵的维数的等同特性：和原)(sSSe①的不可简约性等价和)()(sSsSe②右互质右互质左互质左互质)(),()(),()(),()(),(sRsPsRsPsQsPsQsPeeee③)(),(sSsSe有相同的传递函数阵和分母多项式，即：)(det)(det)()()()()()()()(11sPsPsWsQsPsRsWsQsPsReee§4传输零点和解耦零点一．PMD的极点1．对给定PMD的极点其极点定义：)()()()()(,)(),(),(),(1sWsQsPsRsGsWsRsQsP2．令的一个最小实现为)())(,,,(sGpECBAG(s)的极点=det(sI-A)=0的根3．当PMD不可简约时)(),(),(),(sWsRsQsP极点：detP(s)=0的根，即：使P(s)降秩的s值。二．PMD的传输零点，即(G(s))的零点1．当PMD)(),(),(),(sWsRsQsP不可简约使矩阵)()()()(sWsRsQsP降秩的s的值；2．若))(,,,(sECBA是PMD的最小实现使矩阵)(sECBAsI降秩的s的值。三．解耦零点对PMD)(),(),(),(sWsRsQsP可简约时，使detP(s)=0的s的值，或使)()()()(sWsRsQsP降秩的s值，分为两种情况。1．输入解耦零点设PMD)(),(),(),(sWsRsQsP)(),(sRsP右互质，但)(),(sQsP不是左互质TTsHsQsP0)()()(初等变换H(s)为非单模阵输入解耦零点：detH(s)=0的根，使[P(s),Q(s)]降秩的s值。左互质)(),()()()(),()()(sQsPsQsHsQsPsHsP物理意义：设)(detdeg)(),(),(),())(,,,(sPnsWsRsQsPPMDsECBA的一个实现且为不可控非左互质可观右互质),()(),(),()(),(BAsQsPCAsRsP按结构分解：uBxxAAAxxccccccc0012不可控阵cA的特性)(),(sQsP非左互质。的的影响，称与输入解耦不受而的根uAsHAcici)(0)(det)(1．输出解耦零点0)()()()(),()(),()(),(),(),(sFsRsPsRsPsQsPsWsRsQsPPMD单模阵则非右互质左互质，中，F(s)为非单模阵所以输出解耦零点为detF(s)=0的根，使)()(sRsP降秩的s值且的根0)(det)(sFAobi物理意义：观测变量与输出无关，故和输出解耦。注意：①引入解耦零点，对PMD广义零极点规定：解耦零点的零点传递函数零点解耦零点的极点传递函数极点)()(sGPMDsGPMD②仅当G(s)非奇异，解耦零点和传输零点使)()()()(sWsRsQsP降秩的所有s值。§5严格系统等价一．定义：两个多项式描述：系统矩阵)()()()()(,)()()()()(2222211111sWsRsQsPsSsWsRsQsPsS若维数不同，用增广系统矩阵。两个系统矩阵)(1sS和)(2sS严格等价的充分必要条件：存在单模阵U(s)和V(s)满足，使,)(,)(pmsYmqsXmm：)(~)(1)()()()(0)()()()()()()(0)(2122221111sSsSsWsRsQsPIsYsVsWsRsQsPIsXsUpq记：二、严格系统等价变换的性质结论1：给定两个系统矩阵)(1sS和)(2sS严格等价则：①具有相同的传递函数阵②detP2(s)=kdetP1(s),k不为0③维数相同证明：将式1展开2222111111121)()()(WRQPWXQYRXPVXPRVQYVPVUP2)()()()(21sPsVsPsU3因为U(s),V(s)为单模阵（detU(s)=k1,detV(s)=k2）所以)(det)(det21sPsPk4得证②)(detdeg)(detdeg21sPsP5得证③)()()()()()()()(11111221222sWsQsPsRsWsQsPRsG证毕结论2：严格等价下，互质性，能控能观性不变。即：左互质左互质)(),()(),(1122sQsPsQsP右互质右互质)(),()(),(1122sRsPsRsP)(,,,))(,,,22221111pECBApECBA（和为两个严格等价系统的状态空间描述，则：能观右互质右互质能观能控左互质左互质能控1111222211112222,,,,,,,,CACAsICAsICABABAsIBAsIBA结论3：两个动态方程),,,(),,,(22221111ECBAECBA和等价的充分必要条件是：11112222~ECBAsIECBAsI结论4：不论传递函数阵G(s)是否为真的,其所有的互质分式（左右表达式）均严格等价。结论5：给定传递