探寻数学中无穷思想的发展史

长治学院学士学位论文1探寻数学中无穷思想的发展史数学与应用数学专业《07404302》姓名：程巧丽指导教师：秦少青【摘要】20世纪伟大的数学家希尔伯特说过“无穷是一个永恒的谜”，另一位伟大的数学家外尔说“数学是无穷的科学”。无穷作为一个极富迷人魅力的词汇，长期以来就深深激动着人们的心灵。彻底弄清这一概念的实质成为维护人类智力尊严的一种需要。而数学是“研究无限的学科”，因此数学就责无旁贷地担当起征服无穷的重任。在本文中将简要介绍一下数学中无穷思想的发展史。【关键词】微积分；悖论；无穷级数；实无穷与潜无穷。“无穷”这一概念自古以来在数学中一直占据着重要的位置，与其有关的运算法则也无时不受到的争计。从某种意义上说，“无穷”可算是数学当中最迷人的概念之一。正如数学家外尔所讲：“数学是研究无穷的科学”，因而数学与无穷结下了不解之缘，从初等数学到高等数学，是人们的认识由“有限”到“无限”的过程，由具体到抽象的过程。下文将要介绍的就是数学中无穷思想的巨大发展以及深刻变革，同时探寻它作为一种文化对人类物质生产与日常生活作出的启发与贡献。1.数学无穷思想的起源及萌芽时期1.1远在两千年以前，人们就已经产生了对数学无穷的萌芽认识。在我国，著名的《庄子》一书中有言：“一尺之棰，日取其半，而万世不竭。”从中就可体现出我国早期对数学无穷的认识水平。而我国第一个创造性地将无穷思想运用到数学中，且运用相当自如的是魏晋时期著名数学家刘徽。他提出用增加圆内接正多边形的边数来逼近圆的“割圆术”，并阐述道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”可见刘徽对数学无穷的认识已相当深刻，正是以“割圆术”为理论基础，刘徽得出徽率，而其后继者祖冲之更是得出了圆周率介于3.1415926与3.1415927之间的领先国外上千年的惊人成果。在国外，早在毕达哥拉斯关于不可公度量的发现及关于数与无限这两个概念的定义中已孕育了微积分学的关于无穷的思想方法。德谟克利特和柏拉图学派探索过无穷小量观念。欧多克索斯、安蒂丰、数学之神阿基米德所运用的穷长治学院学士学位论文2竭法已备近代极限理论的雏形，尤其是阿基米德对穷竭法应用之熟练，使后人感到他在当时就已接近了微积分的边缘。他对的估计的方法是以一种简单的观察为基础的：画出一个圆，然后用一系列边数越来越多的正多边形外切该圆。（在正多边形中，所有的边和角都相等。）每个多边形的周长略微大于圆的周长；然而随着我们不断增加边的数目，相应的多边形会越来越紧密地把该圆围起来（图1-1-1）。这样一来，如果我们能够得到这些多边形的周长，那么我们便可相当精细地逼近，阿基米德按照这种方法使用了具有6,12,24,48和96条边的多边形，他能够用已知方法计算出它们的周长。对96边形，他得到值3.14271。1.2出人意料的结论我们知道全体正整数有无穷多个，全体正偶数也有无穷多个，但是偶数是正整数的一部分。如果有人说：“全体正整数与全体正偶数一样多。”你一定会感到很奇怪，难道一部分和全体一样多吗？不仅如此，还有以下离奇的结论：“全体正整数与全体完全平方数一样多”；“三角形中位线上的点与三角形底边上的点一样多“。更让人吃惊的结论是：“一条只有一毫米（甚至更短些）长的线段上的点与整个空间上的点一样多。”对以上这些出人意料的结论，我们又怎样来理解呢？1.3问题解决的桥梁中学生都接触过“集合”的概念，“集合”是一个不加定义的原始概念。我们称每一组确定对象的全体形成一个集合，集合里各个对象叫做集合中的元素，由无穷多个元素组成的集合称为“无限集”。自然数集、正整数集、正偶数集、线段或直线上的点集都是“无限集”。要比较两个无限集的大小，也就是说看这两个集合中的元素哪个多。显然我们对两个“无限集”比较大小没有经验，但对“有限集”（由有限个元素组成的集合）比较大小却是有办法的——设法建立起两个集合中元素间的“一一对应”关系。而我们要比较两个无限集的元素的多少也不妨施用此办法：如果两个无限集的元素间能建立起某种“一一对应”关系，我们就说这两个无限集的元素“一样多”，即“一样多”的唯一意义是“可以一一对应”。有了这个定义，则前面提出的“出人意料”的结论，便可“迎刃而解”了。长治学院学士学位论文31.4“出人意料”结论的图示解读现在将前面提出的几个“出人意料”的结论建立起“一一对应”的图示后，就可知道他们之间的元素是否一样多了。1)全体正整数与全体正偶数一样多。图1-1-1长治学院学士学位论文4108642543212)全体正整数与全体完全平方数一样多。2222254321543213）三角形中位线上的点与三角形底边上的点一样多（图1-4-1）。图1－4－14）半圆周上的点与直线上的点一样多（图1-4-2）。BCDEFDBCEFAＰ1OＡＭＮＣＯCOMNBＢＡＡPA长治学院学士学位论文5图1－4－25）一条线段上的点与一条直线上的点一样多（图1-4-3）。图1－4－3但是建立起一条线段上的点与整个空间点的“一一对应”关系就比较复杂些，在这里不再论述了。2.微积分学的诞生及发展2.1无穷与悖论对于只熟知有限概念的古人来说，对“无限”这一概念是感到陌生和神秘的，下面说几个古人由“无限”概念引出的悖论：(1)芝诺悖论公元前5世纪中叶，古希腊大诡辩家芝诺(Zeno)能言善辩，提出过四个悖论，在数学史、哲学史、逻辑史上有着巨大的影响，现举三个如下：1)“运动是不存在的”。如图2-1-1，物体从A移动到B，按常理从A到达B之前必先到达AB的中点C，而要到达C之前又必须先到达AC的中点D，要到达D点前，又又必须先到达AD的中点E，……如此下去，显然有无穷多个这样的中间点，而要找出这无穷多个“中间点”，需要的时间也是无穷的，即永远也找不到距A最近的一个中间点。因而也就无法将物体从A移动到B，因此结论是“运动时不能的”。这显然是与常理相矛盾的，事实上用极限思想解释如下：设AB＝１则021limnn，即与A最近的中间点即为A自身，因此只需超越自己就算运动了。ＰＡＢＯＣＤＱ！1A1B1C1D2A2B2O2C2D长治学院学士学位论文62)阿基里斯悖论——“阿其里斯追龟不急”。假设乌龟和阿其里斯(阿其里斯是古希腊神话中的神行太保)赛跑。只要乌龟起跑点在阿其里斯的前一段距离，则阿其里斯就永远也追不上乌龟。芝诺是这样解释的：如图2－1－2，假设阿其里斯的速度是乌龟的10倍，又设乌龟在阿其里斯的前100米起跑，当阿其里斯跑了100米到达乌龟起跑点时，乌龟已向前爬行了10米，阿其里斯再跑10米乌龟又向前爬了1米……这样无限继续下去，阿其里斯与乌龟永远相隔一小段距离，这样不就是阿其里斯永远追不上乌龟吗?显然这是与常理相矛盾的。事实上，设＝啊V10米/秒，＝龟V1米/秒，AB＝100米，由vtS，得vst，则阿其里斯追上乌龟需要的时间为)(111.1110111001.01.0110101.0101101010100无穷递缩等比数列求和t即阿其里斯只需要不到12秒的时间就可以追上乌龟了。3）“飞矢不动”。理由是飞矢在任何一个时刻只占空间的一个特定位置，即在这一瞬间它就静止在这个位置上，所以飞矢的所谓运动只是许多静止的总和，因ＡＢＥＤＣ图２－1－1ＡＢ阿龟图２－1－2长治学院学士学位论文7而飞矢不可能动。现在我们知道物体在某一时刻是否运动只与它的瞬时速度有关，而与它所在的位置无关。(2)无穷数列和?1111111S一方面0)11()11()11(S另一方面1)11()11()11(1S那么岂不是0＝1吗？这一矛盾连傅里叶那样的数学家都困惑不解，甚至连欧拉这样的大数学家也犯下了如下的错误：欧拉由)(11132xxxx，令1x，得21)1(11111111S这不有成了1210吗？岂不是更加混乱了？事实上1111111S，这是一个首项为1，公比为－1的无穷等比数列的求和问题，因为公比1q，而11q，只有当公比1q时，(*)式才成立，因此此数列和不存在。2.2微积分学的诞生随着时代的发展，实践中提出了越来越多的数学问题，待数学家们加以解决，如曲线切线问题、最值问题、力学中速度问题、变力做功问题……初等数学方法对此越来越无能为力，需要的是新的数学思想、新的数学工具。不少数学家为此做了不懈努力，如笛卡尔、费马、巴罗……并取得了一定成绩，正是站在这些巨人的肩膀上，牛顿、莱布尼兹以无穷思想为据，成功运用无限过程的运算，创立了微积分学。这新发现、新方法的重要性使当时的知识界深感震惊，因而出现了一门崭新的数学分支：数学分析。这一学科的创立在数学发展史上翻开了崭新一页，谱写了光辉动人的乐章。2.3贝克莱悖论通往真理的路总是坎坷不平，布满了艰辛，探求无穷之径更绝非坦途。十七世纪后期，牛顿、莱布尼兹创立微积分学，成为解决众多问题的重要而有力的工具，并在实际应用中获得了巨大成功，然而，微积分学产生伊始，迎来的并非全长治学院学士学位论文8是掌声，在当时它还遭到了许多人的强烈攻击和指责，原因在于当时的微积分主要建立在无穷小分析之上，而无穷小后来证明是包含逻辑矛盾的。1734年，大主教贝克莱写了本《分析学家》的小册子，在这本小册子中，他十分有效地揭示了无穷小分析方法中所包含的这种逻辑矛盾。这就是所谓的“贝克莱悖论”。笼统地说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为零的问题”就实际应用而言，它必须既是零，又不是零。而从形式逻辑角度而言，这无疑是一个矛盾。贝克莱悖论，动摇了人们对微积分正确性的信念，在当时数学界引起了一定混乱，从而导致了数学史上所谓的第二次数学危机。由于由无穷大导出的一系列与常识相悖结论，因而对“无穷大”充满了恐惧，并对它尽量进行回避。这样持续了约两千年之久。直到1579年，法国数学家韦达发现了一个可以算出的无穷项乘积的公式：2222222222这个公式告诉我们继续相乘再继续相乘，以至无穷，它预示着无穷大再是不吉祥的东西，而是一个可以进入数学王国的数学概念。后一位英国数学家沃利斯(Ｊ.Wallis)在1656年也发现了一个涉及无穷大的求公式：77553316644222也正是这两位数学家首次使用了“”这个符号来表示无穷大。2.4重建微积分基础十八世纪富有成果然而欠严谨的工作，导致数学中出现了暂时的混乱局面。到十九世纪，批判、系统化和严密论证的必要时期降临了。使分析基础严密化的工作由法国著名数学家柯西迈出了第一大步。柯西于1820年研究了极限定义，并创造性地用极限理论把微积分学中的定理加以严格的系统的证明，使微积分学有了较坚实的理论基础，同时柯西也因之成为加固微积分学基础的第一位巨匠。但柯西工作中仍存在着两点主要的不足。其一，他的极限定义用了描述性语言“无限的趋近”“随意小”，不够精确。这一点由德国数学家魏尔斯特拉斯给出精确描述数列极限的“ε-δ”方法和函数极限的“ε-δ”方法，把微积分奠基于算术概念的基础上，获得了圆满解决。其二，他对单调有界定理的证明借助长治学院学士学位论文9了几何直觉。魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过自己独立深入的研究，都将分析基础归结为实数理论，并于七十年代各自建立了自己完整的实数体系，这样数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的无矛盾性，从而使微积分学这座人类数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基础之上。重建微积分学基础，这项重要而困难的工作就这样经过许多杰出学者的努力而胜利完成了。微积分学坚实牢固基础的建立，结束了数学中暂时的混乱局面，同时也宣布了第二次数学危机的彻底解决。极限理论、实数理论使微积分学建立在严格的逻辑基础之上，而实数论又可在自然数论和无穷集合论的基础上发展起来，进一步自然数论完全可在集合论中推出。这样一来，实数论的融贯性就归于集合论的融贯性，归结到集合论，看来数学绝对严格