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其余的比较简单，大家可以自己考虑。3.坐标系{B}的位置变化如下：初始时，坐标系{A}与{B}重合，让坐标系{B}绕AB的描述变为对PZ轴旋转角；然后再绕XB旋转角。给出把对矢量PB描述的旋转矩阵。解：坐标系{B}相对自身坐标系（动系）的当前坐标系旋转两次，为相对变换，齐次变换顺序为依次右乘。A对PAAB描述有PTPB；A其中TRot(z,)Rot(x,)B。9.图2-10a示出摆放在坐标系中的两个相同的楔形物体。要求把它们重新摆放在图2-10b所示位置。（1）用数字值给出两个描述重新摆置的变换序列，每个变换表示沿某个轴平移或绕该轴旋转。（2）作图说明每个从右至左的变换序列。（3）作图说明每个从左至右的变换序列。解：（1）方法1:如图建立两个坐标系{1xyz}o2xyz，与2个楔块相固联。o、{}111222图1：楔块坐标系建立（方法1）对楔块1进行的变换矩阵为：T1Rot(y,90)Rot(z,90)；对楔块2进行的变换矩阵为：o0ooT2Trans(3,0,4)Rot(z,90)TRot(x,90)Rot(z,180)；21000其中010502T；0010000100100012所以：1000T；10100T21001000400010001对楔块2的变换步骤：①绕自身坐标系X轴旋转90；②绕新形成的坐标系的Z轴旋转180；③绕定系的Z轴旋转90；④沿定系的各轴平移(3,0,4)。方法2：如图建立两个坐标系{o1xyz}、{o2x2y2z2}与参考坐标系重合，两坐标系111与2个楔块相固联。图1：楔块坐标系建立（方法2）对楔块1进行的变换矩阵为：T1Rot(y,90)Rot(z,90)；对楔块2进行的变换矩阵为：oooT2Trans(2,0,9)Trans(4,0,0)Rot(y,90)Rot(x,180)Rot(z,90)；00100012所以：1000T；101001000T。2010900010001备注：当建立的相对坐标系位置不同时，到达理想位置的变换矩阵不同。（2）、（3）略。4.图3-11给出一个3自由度机械手的机构。轴1和轴2垂直。试求其运动方程式。解：方法1建模：如图3建立各连杆的坐标系。图3：机械手的坐标系建立根据所建坐标系得到机械手的连杆参数，见表1。表1：机械手的连杆参数连杆iaidii190oL01120L02230003该3自由度机械手的变换矩阵：0TAAA；3123c0s11Lccs11220Lc22s0cLs1111A；10100sc0Ls2222A；2001000010001cs0033sc0033A；300100001cc1c23css123cc1s23cs1c23s1Lc11Lc2c120T3sc1sc2c233scss1223s3sc1ss2s233scs1c2c233cLsLs11120L2s2c120001方法二进行建模：坐标系的建立如图4所示。图4：机械手的坐标系建立根据所建坐标系得到机械手的连杆参数，见表2。表2：机械手的连杆参数连杆i1ai1dii10001290oL01230L023cs00cs01122L1sc0011A；100100010A；2sc002200010001cs033L2sc0033A；300100001cc1c23cs1scc2312s3cs1c23s1Lc11Lc2c120T3sc1sc2c233scs1s2s233sc1ss2s233scs1c2c233cLsLs11120L2s2c1200015.图3-12所示3自由度机械手，其关节1与关节2相交，而关节2与关节3平行。图中所示关节均处于零位。各关节转角的正向均由箭头示出。指定本机械手各连杆的坐标系，然后求各变换矩阵0T，11T和22T。3解：对于末端执行器而言，因为单独指定了末端执行器的坐标系，则要确定末端执行器与最后一个坐标系之间的变换关系。方法1建模：按照方法1进行各连杆的坐标系建立，建立方法见图5。图5：机械手的坐标系建立连杆3的坐标系与末端执行器的坐标系相重合。机械手的D-H参数值见表3。表3：机械手的连杆参数连杆iaidii190o0L1L1220L03230L043末端执行器0004注：关节变量12340。将表3中的参数带入得到各变换矩阵分别为：1000100L300100T；1010LL1201001T；2001000010001100L4100001002T；300103T末0010010000010001方法2建模：按照方法2进行各连杆的坐标系建立，建立方法见图6。图6：机械手的坐标系建立3自由度机械手的D-H参数值见表4。表4：机械手的连杆参数连杆i1ai1dii100L1L21290o00230L033末端执行器0L044注：关节变量01。234将表4中的参数带入得到各变换矩阵分别为：1000100001000T；1001LL1200101T；2010000010001100L3100L401002T；300103T末001001000001000101046.已知坐标系{C}对基座标系的变换为：0013C；对于基座标系的微分10000001平移分量分别为沿X轴移动0.5，沿Y轴移动0，沿Z轴移动1；微分旋转分量分别为10.，0.2和0。（1）求相应的微分变换；（2）求对应于坐标系{C}的等效微分平移与旋转。解：（1）对基座标系的微分平移：d[0.5,0,1]T；对基座标系的微分旋转：[0.1,0.2,0]T；000.20.5011.00.10.1001；00000.2000.5相应的微分变换：dcc0.1000.200.100.50000（2）由相对变换C可知n、o、a、p，cdxn((p)d)0.5c；dyo((p)d)0.5c；dza((p)d)0c；o0.1；a0.2ccn0xyz对应于坐标系{C}的等效微分平移：d[0.5;0.5;0]cc；微分旋转：[0;0.1;0.2]。7.试求图3.11所示的三自由度机械手的雅可比矩阵，所用坐标系位于夹手末端上，其姿态与第三关节的姿态一样。解:设第3个连杆长度为L。31）使用方法1建模，末端执行器的坐标系与连杆3的坐标系重合，使用微分变换法。图7：机械手的坐标系建立表5：D-H参数表连杆iaidii190oL01120L02230003c()s()02323Lccs0223301scLs()()0232322T；300102sc00333T；T3E30010；00010001由上式求得雅可比矩阵：L2s003Lc2300TJ000000；0000112）使用方法2建模，使用微分变换法。图8：机械手的坐标系建立表6：D-H参数表连杆i1ai1dii10001290oL01230L023c(2)3s(2)0LLcc31223s30L200101T；3s()c()0Ls2323222sc0033T；30010000100013；T3E由上式求得雅可比矩阵：0Ls2300Lc230TJL1s(2Lc2)320000；c()0023011