2016年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小高组a卷)

第1页（共13页）2016年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组A卷）一、填空题（每题10分，共80分）1．计算：7﹣（2.4+1×4）÷1＝．2．中国北京在2015年7月31日获得了2022年第24届冬季奥林匹克运动会的主办权．预定该届冬奥会的开幕时间为2022年2月4日，星期．（今天是2016年3月12日，星期六）3．如图中，AB＝5厘米，∠ABC＝85°，∠BCA＝45°，∠DBC＝20°，AD＝厘米．4．在9×9的格子纸上，1×1小方格的顶点叫做格点．如图，三角形ABC的三个顶点都是格点．若一个格点P使得三角形PAB与三角形PAC的面积相等，就称P点为“好点”．那么在这张格子纸上共有个“好点”．5．对于任意一个三位数n，用表示删掉n中为0的数位得到的数．例如n＝102时＝12．那么满足＜n且是n的约数的三位数n有个．6．共有12名同学玩一种扑克游戏，每次4人参加，且任意2位同学同时参加的次数不超过1．那么他们最多可以玩次．7．如果2×38能表示成k个连续正整数的和，则k的最大值为．8．两把小尺子组成套尺，小尺可以沿着大尺滑动．大尺上每一个单位都标有自然数，第一把小尺将大尺上的11个单位等分为10，第二把小尺将大尺上9个单位等分为10，两把小尺的起点都为0，都分别记为1至10．现测量A，B两点间距离，A点在大尺的0单位处，B点介于大尺的18与19单位之间，将第一把小尺的0单位处于B点时，其单位3怡好与大尺上某一单位相合．如果将第二把小尺的0单位处置于B点，那么第二把小尺第2页（共13页）的第个单位怡好与大尺上某一单位相合．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9．复活赛上，甲乙二人根据投票结果决出最后一个参加决赛的名额．投票人数固定，每票必须投给甲乙二人之一．最后，乙的得票数为甲的得票数的，甲胜出．但是，若乙得票数至少増加4票，则可胜甲，请计算甲乙所得的票数．10．如图，三角形ABC中，AB＝180厘米，AC＝204厘米，D、F是AB上的点，E，G是AC上的点，连结CD，DE，EF，FG，将三角形ABC分成面积相等的五个小三角形，则AF+AG为多少厘米．11．某水池有甲、乙两个进水阀，只打开甲注水，10小时可将空水池注满；只打开乙，15小时可将空水池往满．现要求7个小时将空水池注满，可以只打开甲注水若干小时，接着只打开乙注水若干小时，最后同时打开甲乙注水．那么同时打开甲乙的时间是多少小时？12．将一个五边形沿一条直线简称两个多边形，再将其中一个多边形沿一条直线剪成两部分，得到了三个多边形，然后将其中一个多边形沿一条直线剪成两部分，…，如此下去．在得到的多边形中要有20个五边形，则最少剪多少次？三、解答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）13．（15分）如图，有一张由四个1×1的小方格组成的凸字行纸片和一张5×6的方格纸，现将凸字形纸片粘到方格纸上，要求凸字形纸片的每个小方格都要与方格纸上的某个小方格重合，那么可以粘出多少种不同的图形？（两图形经旋转后相同看作相同图形）第3页（共13页）14．（15分）设n是正整数，若从任意n个非负整数中一定能找到四个不同的数a，b，c，d使得a+b﹣c﹣d能被20整除．则n的最小值是多少？第4页（共13页）2016年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组A卷）参考答案与试题解析一、填空题（每题10分，共80分）1．计算：7﹣（2.4+1×4）÷1＝2．【分析】先算小括号里面的乘法，再算小括号里面的加法，然后算括号外的除法，最后算括号外的减法．【解答】解：7﹣（2.4+1×4）÷1＝7﹣（2.4+）÷1＝7﹣÷1＝7﹣＝2故答案为：2．2．中国北京在2015年7月31日获得了2022年第24届冬季奥林匹克运动会的主办权．预定该届冬奥会的开幕时间为2022年2月4日，星期五．（今天是2016年3月12日，星期六）【分析】首先分析2016年的3月12日到2022年的3月13日是星期几，然后再根据3月12向前推理出2月4日即可．【解答】解：依题意可知：平年365天是52个星期多1天．润年是52个星期多2天．2016年3月12到2022年3月12日经过了5个平年1个闰年，向后推的天数为1+1+1+1+1+2＝7．恰好为星期六．那么2022年的2月4日到2022年的3月12日．经过24+12＝36天．36÷7＝5…1．从星期六前推前天．说明2022年的2月4日是星期五．故答案为：五第5页（共13页）3．如图中，AB＝5厘米，∠ABC＝85°，∠BCA＝45°，∠DBC＝20°，AD＝5厘米．【分析】首先根据题意可知∠ABC＝85°，∠BCA＝45°．那么根据三角形内角和为180度可知∠A＝50°．继续推理即可．【解答】解：依题意可知：∠ABC＝85°，∠BCA＝45°．那么∠A＝50°．∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝85°﹣20°＝65°∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝180°﹣50°﹣65°＝65°；∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD＝5故答案为：54．在9×9的格子纸上，1×1小方格的顶点叫做格点．如图，三角形ABC的三个顶点都是格点．若一个格点P使得三角形PAB与三角形PAC的面积相等，就称P点为“好点”．那么在这张格子纸上共有6个“好点”．【分析】如下图这样，经过A点和BC边的中点画一条直线，交方格图于E点和F点，可以证得D、E、F三点都是好点；过AB点作平行线，与原来的三角形组成平行四边形，得到平行四边形ACBI，可以证得I、H、G三点也是好点．第6页（共13页）【解答】解：（1）△BDA与△CDA等底等高，所以面积相等；（2）△ABE与△ACE的面积都等于平行四边形ABCE的一半，所以面积相等；（3）△ABF的面积＝△BDF的面积﹣△BDA的面积，△CAF的面积＝△CDF的面积﹣△CDA的面积，又因为△BDA与△CDA面积相等，所以△ABF的面积＝△CAF的面积；（4）△ABI和△ACI的面积都等于平行四边形ACBI面积的一半，所以相等；（5）△ABH的面积是△ABI面积的一半，△ACH的面积是△ACI的面积的一半，所以△ABH与△ACH面积相等；（6）△AGB和△AGC有相同底AG，这条底边上的两个三角形高是相等的，所以这两个三角形面积相等．故此题的好点一共有6个．5．对于任意一个三位数n，用表示删掉n中为0的数位得到的数．例如n＝102时＝12．那么满足＜n且是n的约数的三位数n有93个．【分析】按题意，能满足＜n且是n的约数的三位数n，有两种：第一种，十位为0，第二种，个位为0，然后再计算个数．【解答】解：根据分析，第一种，十位为0的三位数中，能满足是n的约数的n只有：105、108、405，三个数删掉0后得：15、18、45分别为105、108、405的约数；第二种，个位为0的三位数共有：9×10＝90个，删掉0后均能满足是n的约数，故满足题意的三位数n有90个，综上，满足题意的三位数一共有90+3＝93个．故答案是：93．6．共有12名同学玩一种扑克游戏，每次4人参加，且任意2位同学同时参加的次数不超过1．那么他们最多可以玩9次．【分析】首先分析可以将同学们进行标好，然后枚举即可．【解答】解：依题意可知：将学生进行编号1﹣12．如果是1﹣4一组，5﹣8一组，9﹣12一组下一组就没有符合题意的了，那么要求尽可能第7页（共13页）多分组．即第一次是1，2，3，4．第二次是1，5，6，7．第三次是2，5，8，9．第四组是3，6，8，10．第五组是4，5，8，11．第六组是3，5，9，10．第七组是4，6，9，11第八组是1，7，9，12第九组是2，6，10，12．故答案为：97．如果2×38能表示成k个连续正整数的和，则k的最大值为108．【分析】设k个连续正整数的首项为n，则末项为n+k﹣1．则k个连续正整数的和＝（n+n+k﹣1）•k÷2＝2×38，利用质因数分解即可解决问题．【解答】解：设k个连续正整数的首项为n，则末项为n+k﹣1．则k个连续正整数的和＝（n+n+k﹣1）•k÷2＝2×38，所以（2n+k﹣1）•k＝22×38，所以k的最大值为108＝22×33，此时2n+k﹣1＝35，n＝68，故k的最大值为108．故答案为108．8．两把小尺子组成套尺，小尺可以沿着大尺滑动．大尺上每一个单位都标有自然数，第一把小尺将大尺上的11个单位等分为10，第二把小尺将大尺上9个单位等分为10，两把小尺的起点都为0，都分别记为1至10．现测量A，B两点间距离，A点在大尺的0单位处，B点介于大尺的18与19单位之间，将第一把小尺的0单位处于B点时，其单位3怡好与大尺上某一单位相合．如果将第二把小尺的0单位处置于B点，那么第二把小尺的第7个单位怡好与大尺上某一单位相合．第8页（共13页）【分析】根据题意可：第一把小尺与大尺的单位比是11：10，第一把小尺的单位3，相当于大尺的单位3.3（根据比例求得）大尺3.3与18.7才能相加得整数，所以小尺的0对的大尺的单位是18.7．耶第二把小尺子以0单位为起点，在1到10之间找的单位对应大尺上的整数，必须是大尺的18.7加上几点3，就是说加上的这个数的小数位是3．根据大尺与第二把小尺的单位比9：10求得第二把小尺是7时，大尺的单位数才出现点3．【解答】解：11：10＝？：3？＝3.3那B点处在单位18与19之间的应是：18.718.7只有加上一个末位上是3的数（令其为X）才能凑整十数．？是在1一10之间的自然数，所以只有？＝7符合条件．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9．复活赛上，甲乙二人根据投票结果决出最后一个参加决赛的名额．投票人数固定，每票必须投给甲乙二人之一．最后，乙的得票数为甲的得票数的，甲胜出．但是，若乙得票数至少増加4票，则可胜甲，请计算甲乙所得的票数．【分析】乙得票数至少增加4票，则甲必至少减少4票，此时才能使乙胜甲，可以设一个未知数，列出关系式，求出解．【解答】解：根据分析，设甲得票数为x，则乙的得票数为，由题意得：⇒⇒x＜168，又∵x为正整数，且也为正整数∴x＝147，x＝126，即：①甲得票数是147票，乙的得票数是140票；②甲得票数是126票，乙的得票数是120票．故答案是：甲147票，乙140票．或，甲126票，乙120票．10．如图，三角形ABC中，AB＝180厘米，AC＝204厘米，D、F是AB上的点，E，G是AC上的点，连结CD，DE，EF，FG，将三角形ABC分成面积相等的五个小三角形，则AF+AG为多少厘米．第9页（共13页）【分析】高一定，对应底的比等于面积比，根据五个小三角形面积相等，所以S△ADC＝4S△DBC，所以AD＝4BD＝4×（180÷5）＝144（厘米）；同理，可求AE、AF、AG的长度，进而求出AF+AG的长度即可．【解答】解：在△ABC中，因为S△ADC＝4S△DBC，所以AD＝4BD＝4×（180÷5）＝144（厘米）；在△ADC中，因为S△ADE＝3S△EDC，所以AE＝3EC＝3×（204÷4）＝153（厘米）；在△ADE中，因为S△AFE＝2S△EFD，所以AF＝2DF＝2×（144÷3）＝96（厘米）；在△AFE中，因为S△AFG＝S△GFE，所以AG＝GE＝153÷2＝76.5（厘米）；所以，AF+AG＝96+76.5＝172.5（厘米）；答：AF+AG为172.5厘米．11．某水池有甲、乙两个进水阀，只打开甲注水，10小时可将空水池注满；只打开乙，15小时可将空水池往满．现要求7个小时将空水池注满，可以只打开甲注水若干小时，接着只打开乙注水若干小时，最后同时打开甲乙注水．那么同时打开甲乙的时间是多少小时？【分析】可以先求得甲、乙每小时注的水量，即为、，总时间为7小时，同时开的时候，不难求出时间．【解答】解：根据分析，设水池注满时水的总量为1份，甲、乙每小时注水的速度分别为份/时、份/时，则甲乙同时开的时候总速度为+＝，设刚开始只打开甲a小时，接着打开乙b小时，最