风险管理与金融机构第3章

第三章VaR方法3.1远期与期货的定价一个农民想把他的牛卖掉，若t时刻牛价格为St，如果他签订一个在T（Tt）时刻卖牛的期货合同，在t时刻这个牛期货应该如何定价？若不计其他因素若牛能够在今日卖掉，获得现金，以无风险利率投资就获得利息。()rTtttFSe例9.1假定一个交易组合在6个月时的收益服从正态分布，分布均值为200万美元，标准差为1000万美元。对于6个月展望期，在99%置信度下的VaR为2130万美元。)()(%1VaRXPVaRXP213020033.2100001.001.0ZVaRZVaR例9.2假定一个1年的项目的最终结果介于5000万美元损失和5000万美元收益之间，5000万美元损失和5000万美元收益之间的任意结果具有均等的可能。项目的最终结果服从由-5000万美元到+5000万美元的均匀分布，损失大于-4900万美元的可能性为1%。对于1年的展望期，在99%置信度下的VaR为4900万美元。例9.3&9.4假定一个1年的项目有98%的概率收益为200万美元，1.5%的概率损失为400万美元，0.5%的概率损失为1000万美元。在这一累计分布下，对应于99%累计概率的点为400万美元，因此，对于1年展望期，在99%置信度下的VaR为400万美元。要求99.5%的置信水平下的VaR，这时，介于400万美元和1000万美元之间的任意一点的损失，均有99.5%的把握不会被超过。对于这一区间的任意数值V，损失超过V的概率均为0.5%。VaR在这一情形下不具有唯一性，一个合理的选择是将VaR设定为这一区间的中间值，这意味着，在99.5%置信度下的VaR为700万美元。99.9%的置信水平下VaR为1000万美元。例9.3&9.4的累计损失分布VaR与预期损失VaR展示了损失会糟成什么样；预期损失是指当市场条件变糟而触发损失时，损失的期望值为多大（有时被称为条件风险价值度CVaR；条件尾部期望(ES)；尾部损失）；CVaR=E[X|XVaR]两个具有同样VaR的投资组合，其预期损失却可能差距非常大；预期损失要比VaR有更好地性态，但计算更为复杂。101()()1ccyAVaRXVaRXdyc相同VaR不同期望损失VaRVaRVaR和资本金VaR被监管当局以及金融机构用来确定资本金的持有量。对于市场风险，监管人员所要求的资本金等于在10天展望期的99%VaR的一定倍数（至少3倍）。对于信用风险和操作风险，巴塞尔协议Ⅱ中，监管人员要求在资本金计算中采用1年展望期及99.9%的置信区间的VaR。一致性条件的风险度量VaR是最好的风险度量选择吗？好的风险度量应该满足下面的条件：单调性：如果在所有的不同情形下，第1个交易组合的回报均低于另一个交易组合，那么这里的第1个交易组合的风险度量一定要比另一个大。平移不变性：如果我们在交易组合中加入K数量的现金，交易组合所对应的风险度量要减少K数量。同质性：假定一个交易组合内含资产品种和相对比例不变，但内含资产的数量增至原数量的λ倍，此时新交易组合的风险应是原风险的λ倍。次可加性：两个交易组合合并成一个新交易组合的风险度量小于或等于最初两个交易组合的风险度量的和。CoherentRiskMeasureExample1Example2Example3WorstcaseriskmeasureExample4()[]XEX()[]cXVaRXmax()inf()XX()[]cXCVaRX例9.5假定两个独立贷款项目在1年内均有0.02的概率损失1000万美元，同时均有0.98的概率损失100万美元。展望期为1年，每个项目97.5%置信水平下的VaR为100万美元。将两个贷款叠加产生一个资产组合，组合有0.02*0.02=0.0004的概率损失2000万美元，并且有2*0.02*0.98=0.0392的概率损失1100万美元，有0.98*0.98=0.9604的概率损失200万美元。展望期为1年，组合97.5%置信水平下的VaR为1100万美元。单笔贷款所对应VaR的和为200万美元，贷款组合的VaR比单笔贷款VaR的和高900万美元，违反了次可加性。例9.7展望期为1年，每笔贷款97.5%置信水平下的VaR为100万美元。为了计算在97.5%的置信水平下的预期亏损，在2.5%的尾部分布中，有2%的概率损失为1000万美元，有0.5%的概率损失为100万美元。因此，在2.5%的尾部分布的范围内，有80%的概率损失为1000万美元，有20%的概率损失为100万美元，预期损失为0.8*1000+0.2*100=820万美元。将两个贷款组合到一起，在2.5%的尾部分布中，有0.04%的概率损失为2000万美元，有2.46%的概率损失为1100万美元，在2.5%的尾部分布的范围内，预期损失为(0.04/2.5)*2000+(2.46/2.5)*1100=1114.4万美元因为820+820=16401114.4，因此，预期亏损满足次可加性。例9.6考虑两笔期限均为一年，面值均为1000万的贷款，每笔贷款的违约率均为1.25%，当其中任何一笔贷款违约时，收回本金的数量不定，但我们知道回收率介于0～100%的可能性为均等。当贷款没有违约时，贷款盈利均为20万美元。为了简化讨论，假设如果任意一笔贷款违约，另一笔贷款一定不会违约。结果概率两笔贷款均不违约97.5%第一笔贷款违约，第二笔不违约1.25%第二笔贷款违约，第一笔不违约1.25%两笔贷款均违约0.00%例9.6首先考虑第一笔贷款，违约可能为1.25%，在违约发生的条件下，损失为0到1000万美元的均匀分布，这意味着有1.25%的概率损失大于0，有0.625%的概率损失大于500万美元，损失超过1000万美元的事件不会发生。损失超过200万美元的概率为1.25%*0.8=1%因此，1年期99%的置信水平下，每一笔贷款的VaR为200万美元。接下来考虑两笔贷款，每笔贷款违约的可能均为1.25%，并且两笔贷款不可能同时违约。因此，任何两笔贷款之中有一笔贷款违约的概率为2.5%，在违约发生的条件下，损失超过600万美元的可能性为40%。因此，损失大于600万美元的无条件概率为2.5%*40%=1%一笔贷款违约，另一笔贷款会有盈利20万美元，将这一盈利考虑在内，我们得出一年99%的VaR为580万美元。单独计算单一贷款所产生的VaR相加，得到VaR总和为400万美元，组合的VaR为580万美元，不满足次可加性。例9.8考虑两笔期限均为一年，面值均为1000万的贷款，每笔贷款的违约率均为1.25%，当其中任何一笔贷款违约时，收回本金的数量不定，但我们知道回收率介于0～100%的可能性为均等。当贷款没有违约时，贷款盈利均为20万美元。为了简化讨论，假设如果任意一笔贷款违约，另一笔贷款一定不会违约。结果概率两笔贷款均不违约97.5%第一笔贷款违约，第二笔不违约1.25%第二笔贷款违约，第二笔不违约1.25%两笔贷款均违约0.00%单笔贷款对应的VaR为200万美元，将展望期设为1年，在99%把握之下所对应的预期亏损等于在损失大于200万美元的条件之下，损失的期望值。已知损失服从0到1000万美元的均匀分布，因此，预期亏损为200万美元到1000万美元的均匀分布，即为600万美元。两笔贷款组合的VaR为580万美元，贷款组合的预期亏损等于损失大于580万美元条件下，损失的期望值。当一笔贷款违约时，另一笔贷款不可能违约，这时，贷款组合的价值介于20万美元的盈利及980万美元的损失之间的均匀分布，损失介于580万美元与980万美元之间的期望值为780万美元。因此，贷款组合的预期亏损为780万美元。单笔贷款对应的预期亏损之和为600+600=1200万美元，贷款组合的预期亏损为780万美元。因此，预期亏损满足次可加性。光谱型风险度量VaR对于第X个分位数设定了100%的权重，而对于其他分位数设定了0权重。预期亏损对于所有高于X%的分位数的所有分位数设定相同的权重。权重光谱型风险度量可以对分布中的其他分位数设定不同的比重。对于满足一致性条件的风险度量，其分位数的权重必须为非递减函数。越高的分位数，权重越大。正态分布假设最简单的假设是假定交易组合的价值变化在1天展望期服从正态分布，其组合价值变化的期望值为0。通过标准差很容易计算出VaRVaR=一个较长的T天展望期的VaR等于1天展望期VaR的倍。N个相互独立并且同分布的随机变量和的方差为单个方差的N倍。多个相互独立正态分布的和仍为正态分布。银行管理人员的交易管理行为较为活跃，因此对于银行每天计算交易组合的VaR就非常有意义。也经常会计算10天展望期的VaR。养老基金由于交易行为不太活跃，价值测算往往每个月进行一次。T)(1XN独立性假设对于独立同分布的投资组合，T天展望期的方差是1天展望期方差的T倍。如果存在自相关性的影响，其乘数就从T倍增加到定义为交易组合在第i天得价值变化，并假定与相关系数为。假定对于任意i，的方差为，则的方差为1322)3(2)2(2)1(2TTTTTiPiP1iPiP21iiPP2222)1(22自相关性的影响当存在一阶自相关性时T天的VaR同一天的VaR的比率。T=1T=2T=5T=10T=50T=2501.01.412.243.167.0715.811.01.452.333.317.4316.621.01.482.423.467.8017.471.01.552.623.798.6219.35持有期的选择和设定一般来说，在其他因素不变的情况下，持有期越长，组合面临的风险就越大，从而计算出的VaR值就越大，同时，持有期的选择还对VaR值的可靠性也产生很大影响。因此，持有期的选择和设定非常重要。持有期的选择和设定应考虑以下两个因素：•组合收益率分布的确定方式；•组合的市场流动性和头寸交易频繁程度。置信水平的选择置信水平的选取通常取决于操作目的。对于市场风险通常取99%的置信水平，对于信用风险和操作风险通常使用99.9%。一家银行要想保持自己的AA信用评级，在内部管理过程中通常就会采用高达99.97%的置信水平。因为在一年展望期内AA信用评级公司只有0.03%的破产可能。2.如果远期的标的资产提供确定的红利。假设红利是连续支付的，红利率为q。由于具有红利率q，该资产的价格才为St，它等价于价格为()()()()()qTtrTtrqTttttFSeeSe()qTttSe的无红利资产。由无红利的资产的定价公式可得敏感性分析()()()()()qTtrTtrqTttttFSeeSe()()()()(,)rqTtrqTtttttdFSrdSeSedr注意：（1）风险因素由两个，现货价格与无风险利率。（2）由于是指数函数，敏感性方程为非线性方程。例3.1假设2年期即期年利率（连续复利，下同）为10.5%，3年期即期年利率为11％，本金为100万美元的2年×3年远期利率协议的合同利率为11％，请问1.理论上,远期利率应为多少？该协议利率合理吗？2.该远期利率协议的价值是多少？11%310.5%212.0%(32)llssflsrtrtrtttstl0A()lskttAe()()0()()[]=[1]flslsssflsssrttkttrtkrttrtfAAeeeAee()()010.52(0.110.12)(32)[1]1,000,000[1]8065.31flssskrttrtfAeeee由此可见，由于协议利率低于远期利率（理论利率），这实际