一道圆与椭圆综合问题研究

一道圆与椭圆综合问题研究已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为12(1,0),(1,0)FF，P为椭圆C上任意一点，且12cosFPF的最小值为1.3（1）求椭圆C的方程；（2）动圆222(23)xytt与椭圆C相交于,,,ABCD四点，当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积。解：(1)设1122,PFrPFr，所以22212121242coscrrrrFPF，所以222222121212121212124()242cos122rrcrrrrcbFPFrrrrrr当21212()2rrrr即12rra时，12cosFPF最小，此时222113ba，所以22123aa，解得223,2ab，所以椭圆方程为22132xy。（2）动圆与椭圆的中心都有原点，所以只需求出交点坐标就可以表达出矩形ABCD的面积。由22222132xytxy得222236,62xtyt，由220,0xy得223t，所以222221616(36)(62)Sxytt225196[()]24t所以当252t时，2S取得最大值196()244，所以max26.S