足球点球大战模型

足球点球大战模型李业钧王莹鄢标【摘要】本模型——足球点球大战模型——主要研究的是最大化地使得进球与扑球的效率提高。这就主要从射球员以及守门员两个方面研究。事实上，经过我们研究以及讨论之后，发现点球大战模型主要就是研究时间以及空间的函数关系问题。也就是说射球员应当以什么的初速度以及角度，使得足球在较短时间内射进球门并且守门员接不住。对于守门员应该以什么的角度以及弹跳初速度在最短时间内接住足球。这次我们采用的是几何模型以及相关的物理，人体生理学等知识，运用我们基本的初等数学以及少量的高等数学，统计学的知识，借用Matlab工具从而尽量的得到较为合理的模型。【关键词】球类运动学人体生理学几何模型概率模型1问题重述南非世界杯开赛在即，虽然目前我国足球运动水平差强人意，但作为世界第一运动的足球运动仍吸引亿万球迷的眼球。而比赛中的点球大战更是扣人心弦、摄人心魄的时刻。守门员可以通过在球门线左右移动、张开双臂、鱼跃等动作进行扑救，能否扑到点球和守门员的技术水平、身高和反应速度等相关。而罚球的球员能否射入点球和他射门的力度、角度和球的线路等有关。这方面国外有关专家进行了研究，2009年3月下旬，利物浦约翰莫里斯大学的体育运动科学总监蒂姆．凯布尔教授公布了一项号称“完美点球方程式”的方法，理论上球员只要按“完美点球方程式”罚点球，命中率就是100%。不考虑心理战等其他人为因素的影响。在遵守比赛规则的前提下分别从守门员和罚球员的角度建立你的数学模型说明如何有效地扑救点球和射入点球。2符号说明及模型假设2.1符号说明t0(i)————足球射入i区时的时间；f(t)_____足球运动时的阻力函数；V2i-----------足球进入i区域是的初速度；Θ1i—————足球进入i区域初速度的垂直角度；Θ2i—————足球进入i区域初速度的水平角度；d—————足球的直径；m—————足球的质量F—————射球员与足球相碰力度；t2—————射球员与足球的相碰时间；t3—————守门员的反应时间；h1—————守门员的身高；h2—————守门员的肩宽；h3—————守门员的下蹲身高；h4a—————守门员弯腰时的重心；h4b—————守门员站直时的重心；l—————守门员的手臂长度；V1min—————守门员的起跳最小速度；t4i—————守门员的跳跃i区的时间；b—————球门的长度；a—————球门的高度；L—————足球到球门的距离；2.2基本假设(1)守门员弯腰时的高度为身高的4\5*h，身高约为1.85m；(2)守门员的反应时间为t为0.1s;(3)守门员的最小初速度不变；（4）把球门分成9个区域，其中A，C区为守门员难点区域作为其中之一的A模型;而E,R区域作为B模型；（5）相对守门员而言，A区与C区一样，E区与R区一样；（6）人双手张开的长度约为人体的身高；（7）当双手伸直时，人体重心与人体站立时的重心不变，约为0.5*h1;（8）足球的直径约为21,65cm质量约为433gSdbSShhSShadbSa\)2\2\(*)276()(2\2\111321112422由相似三角形可得：3问题分析与模型建立3.1模型1（守门员接球模型）守门员要在短时间内作出反应并且接触球，那么，就一定要在几处特殊区域进行研究。经发现，如图所示，足球入射A(C)以及E(R)区较为特殊，需重点研究。3.1.1足球射进A（C)区域模型如图2所示，守门员到达A区的时间以及弹跳最小初速度计算如下：当守门员到达A区域，重心位移为S11。设初速度为V，其正交分解为两速度，一为垂直分速度V1a,水平分速度V1b.V1a分速度受重力加速度g影响。但人去到A区时，垂直分速度V1(t）=0m/s即：由相似三角形，求得重心水平位移S3：122gSVa也由此可得垂直位移S2:SShaSa11413)(则，守门员最长跳跃时间为t1max:gSt12max12守门员最小跳跃初速度v1min:2max113212min11tSVVa代入数据，求得解为：t1max=0.306sV11min=3.930m/s对此，我们搜集了有关人体生理运动学的资料，发现人体立定跳高的极限初速度为5.47m/s,而守门员的最小跳跃速度为3.93m/s，符合自然规律此模型合理。3.1.2足球射进G(I)区域模型如图所示，重心水平位移为S23:276222123hhdbS重心垂直高度为S22:22422hhSa假设初速度为v11min时，在平抛运动中，不能够达到理想重心点，因此，为在下降有效时间内达到，初速度需要加大。下降时间为t12:sgSt337.022222重心的水平速度，也就是最小初速度V12min为：smtSV/3986.62223min22然而，V22min5.47m/s这就使得G(I)区域有一个扑球空洞，假设守门员的弹跳速度为xm/s,据资料显示，草地的摩擦系数约为0.8gxtxS2222221解得x=3.6992m/s所需时间为t20为：sugxtt79.022203.1.3足球射进B区域模型如图所示，由于当守门员双手伸直时，总高度为H:mhhhH286.2276211重心上移位移为S32;mhdhhaSa139.0227642132则最长时间t33max为：sgSt167.023233起跳最少初速度V33为：smgtV/67.1max33min333.1.4足球射进D(F)E.H区域模型由于D(F)区域的高度与守门员的高度相差不大，则此区域的时间基本上是由守门员的自身的起跑速度为主，基本上球能从这些区域进球的可能性不大，（除非特殊情况以外，但不作为本次研究范围）。3.1.5守门员对9个区域的防守能力做评价由以上的分析所得，对9个区域做加权平均数。通过守门员的跳跃时间以及最小初速度分析所得如下数值：设跳跃时间难度系数占比例为50%，而跳跃初速度的难度系数占为50%守门员对各区域的防守难度系数鉴定表区域跳跃时间跳跃时间t(i)*10*50%起跳最小速度跳跃最小初速度v(i)*50%防御难度系数A0.3061.533.931.9653.495B0.1670.8351.670.8351.67C0.3061.533.931.9653.495D00000E00000F00000G0.793.953.69921.84965.7996H00000I0.793.953.69921.84965.7996iiktvvtvmtSvcdttdvvscftftva22221)(2)()(21由微分方程，解得而由上述的数据分析所得，守门员对G，I区域的防守难度较大，因此，射手只需向G,I区域进攻，则相对进球的几率增大。3.2模型2（射球员射球模型）由上述对守门员的分析，得知守门员要在最短时间里能够把足球射进球门。则问题转换为足球需要多大的初速度以及初始角度，能进入球门。这次我们同样用上诉的区域分析法，对各个区域进行分析归纳。但这次不能够像上诉所说的把左右两区等价，因为人类对射球的习惯分析所得，足球飞进左侧（A,D,G区域）的频率比飞进（C,F,I区域）的频率大一些。则足球向左区进球的速度比向右区进球的速度大一些。由于受到空气阻力的影响以及重力加速度的影响。已知空气阻力公式为：221SVCf（c为空气阻力系数;ρ为空气密度;s物体迎风面积;v为物体与空气的相对运动速度）又物理的分析假设以及牛顿第二定律：maF则可粗略计算每一秒的时间内足球因为阻力而减少的速度约为：41009.92kmsc其中mSLdbdaSAA796.112222222上式中,时间t不得超过ikvt213.2.1足球射进A与C区域的模型(1)如图所示，足球射进A区域的高度约为：mdaHA34.22当足球以最小初速度V0amin进入A区域时，即可设定为到达A区为再高点，即垂直末速度为0：ttAgtdtdtktvVH00001得出垂直初速度V0与时间t的关系：2221)1ln(1gtkvkHoA(1)又因为水平方向上水平初速度与时间t的关系为：aaktvvtv21211)((2)则足球飞跃初速度v为：221202aavvv足球到达A区域的水平位移为：L=22db那么足球在水平位移轨迹(x.y)与时间t以及水平速度v的函数关系：F(x,y,t,v)则足球到达A区域的轨迹方程为S（Zo=HA,F)S(x,y,z,t,v),球到达A区域的路程为：然而，射球员因该在守门员到达A区域前把球送到A区域，则时间的限制在t1max=0.306s;由此可以求得上式中的初速度VoasmVa/378.380则角度Θ=11.48度Θ1A=12.5Θ2A=18.4(2)当足球入射C区域时，由于人类的自身条件因素，假设其发球的初始速度为A区域的1.1倍的力才为A区域的发球速度，因而，难度系数应该比A区域多1。smVog/7.143.2.2足球射进G与I区域的模型(1)如图所示，足球射进G区的距离为L1:mLdbL56.11112212221同理，守门员在到达G区域的时候，时间t20=0.79s此时的足球最小初速度Vog约为:2020001001)()(ttLdtktvVdttvLdttvdLΘ1A=0Θ2A=18.4度(2)当足球射入I区域时，射手员的难度系数为G区域的1.01倍。3.2.3足球射进B区域的模型对于B区域的研究在垂直方向处，求出V垂：dttkvgdtdvdttdvtkvgttvv33330202)(垂V垂=15.446m/s在水平方向处的水平速度V平：1111)(330ldtktvvstvdtdsktvvtvtBBBBBB平初平初平平初平初平求得V平初B=65.89m/s那么.足球射进B区域所需要的初速度VOB为:smVvvBoB/7.66722垂平初初始角度Θ1A=12.5Θ2A=03.2.4足球射进其他区域的模型由于守门员对D(F)，E，H的防守能力较高，导致D（F),E,H的进攻相对能力较弱。因此，D(F),E,H区域不做系统性研究。3.2.5足球射进各区域进攻难度系数分析由上述的的数据表明，利用加权平均数。通过足球的发射角度以及最小初速度分析所得如下数值：进攻难度系数表区域足球初速度速度*80%水平角度水平角度*3*10%垂直角度垂直角度*3*10%进攻难度系数A38.37830.702418.45.5212.53.7539.9724B65.8952.7120012.53.7556.462C38.37830.702418.45.5212.53.7541.9724G14.711.7618.45.520017.28I14.711.7618.45.520019.28综上所述，射球员对于G，I区域的进攻难度最低，而对H,E区的难度系数最高，这是因为守门员的防守能力决定的。4模型的数据总结该模型的的表格，以及数据粗略地解答了防守与进攻的问题。由此得出以下结论：（1）综合性分析，对于区域G与I是守门员的恐惧区域。因为该两区域的是防守最薄弱，而进攻较强势。因此，射门员应该以G与I区进攻为主；（2）对于区域DEFH这几个区域，是守门员防守能力最强的区域，在理论情况之下，射球员应该尽量避免进攻这几个区域。（3）对于区域A与B，都是守门员以及射球员势均力敌的区域，比较的是个人的技能优势以及自身的敏捷能力。5模型的评价5.1模型的优点该模型以初等数学为主，具有简易性。而且利用的是物理知识以及生理学的知识，具有一定的可行性。再有的是，该模型能够把重点简洁的表达出来，又没有做过多的不必要的细节，突出模型的重点，切入点较为准确。5.2模型的不足该模型过于简单，有许多的数据有待考察。以及由于过于粗糙，精确度有待提高。再有，数据的合理性也是有待斟