传染病模型及其应用

本科毕业论文题目传染病模型及其应用院部数学与信息科学学院专业数学与应用数学指导教师评阅教师班级姓名学号2013年5月1日目录摘要..................................................................................................................IAbstract:...........................................................................................................I1引言..............................................................................................................12模型建立......................................................................................................12.1SARS模型的基本假设..........................................................................................22.2模型一，SIR模型.................................................................................................22.3模型二，基于SIR的改进模型............................................................................33.模型求解.......................................................................................................43.1SIR模型的求解......................................................................................................43.2改进SIR模型求解.................................................................................................54结果分析.......................................................................................................65模型的改进与推广.......................................................................................6结束语..............................................................................................................6参考文献..........................................................................................................6致谢..................................................................................................................8内江师范学院本科毕业论文I摘要：用数学模型帮助发现传染病的传播机理来预测传染病的发展趋势已成为控制和预防传染病的主流方法，“非典”给我国社会的发展和人民身体的健康带来了不可估量的损失,如何进行有效的防治,一直是我国理论专家和实践工作者普遍关心的问题，本文以经典的传染病模型（SIR模型）为参考，在其基础上进行改进，将总人口划分为以下五类：健康人、疑似患者、病人、感染后治愈、感染后不治身亡.以此建立一个新的SARS模型，该模型描述了各类人数随时间变化的变化规律.通过数值模拟，以及插值的方法，运用Matlab软件，分别求解出疑似患者和病人的日接触率，日治愈率和日死亡率.通过曲线拟合发现与实际数据非常吻合.本文最后还通过对参数隔离的扰动方式发现隔离措施对整个“非典”疫情的控制起着关键性的作用:隔离强度越大,采取隔离措施的时间越早,累计患病人数就越少,疫情就能越早受到控制.关键字：SIR模型；数值模拟；插值；参数隔离扰动Abstract:SARStoChina'ssocialdevelopmentandpeople'sphysicalhealthhasbroughtimmeasurableloss,howeffectivepreventionandtreatment,haslongbeenthetheoreticalexpertsandpractitionersaregenerallyconcernedabouttheproblem,thispaper,theclassicepidemicmodel(SIRmodel)asareference,basedonitsimprovement,thetotalpopulationisdividedintothefollowingfivecategories:healthypeople,suspectedpatients,patientscuredafterinfectionafterinfectionanddied.inordertoestablishanewmodelofSARS,themodeldescribesthevarioustypesoftime-dependentchangesinthenumberoflawbynumericalsimulation,andinterpolationmethods,theuseofmatlabsoftware,respectively,tosolvethesuspectedcontactwithpatientsandpatientsontheratecurerateanddailymortality.,bythecurvefittingtheactualdatafoundingoodagreementwiththispaperandfinallythroughtheparameterperturbationmethodthatisolatedquarantinemeasuresfortheentireSARSepidemiccontrolplaysakeyrole:thegreatertheintensityofisolation,quarantinemeasurestakensooner,thelessthecumulativenumberofpatients,thesoonertheepidemicundercontrol.Keywords:SIRmodel；numericalsimulation；interpolation；parametersofisolateddisturbances内江师范学院本科毕业论文11引言人类历史上曾多次遭受危害及其严重的传染病的威胁。近几年发生的一些传染病，如非典型性肺炎（SARS），高致病性禽流感（H5N1），甲型（H1N1）流感等，均对生命健康和社会生活造成了很大影响[1]。特别是在2002年冬到2003年春天，SARS传染病突然侵袭了大半个中国,给国民经济和人民的正常活动都造成了很大的影响，由于人们对此种传染病的传播机理还不太清楚，因而一度引起了人们心理上的恐慌。因此，预防和控制传染病的研究就显得极其重要。其实对传染病的描述和预测是人们由来已久的话题，最早使用的完全是总结经验型的统计方法。在漫长的研究过程中，人们不断地吸收最新数学和物理成果，使统计方法不断得到改进，因此这种曾在历史上起过很大作用的方法直到今天仍然是重要的研究手段[2]。目前，对传染病的研究有4种方法：描述性研究[3]、分析性研究[4]、实验性研究[5]和理论性研究[6]。在理论性研究中，数学模型起着极其重要的作用。它把传染病的主要特征通过假设、参数、变量和它们之间的联系清晰地揭示出来。数学模型的分析结果能提供许多强有力的理论基础和概念。用数学模型帮助发现传染病的传播机理，预测传染病的流行趋势已成为共识。纵观传染病的数学模型研究，我们可把它们分为两类：决定性模型[7]和网络动力学模型[8]。目前随着人工智能计算机技术的发展，网络动力学模型成为了新的研究热点[9-12]，但是决定论模型仍然具有非常重要的学术地位。本文主要就决定性模型介绍了SIR模型及SIR模型的改进。2模型建立在建模之前，需要对SARS传染病的传播规律进行具体的分析。首先，在不考虑城市流动人口和被隔离人口的情况下，我们将北京市总人口划分为以下五类：人群中染病后不治身亡者e、人群中染病后恢复并获得免疫力者r、人群中染病者2i、人群中染病后处在潜伏期者1i，并且121siire。在SARS病毒在北京的传播初期，病毒的高传染性并未显现，而且人们也没有意识到它的严重性，因而没有采取任何防护措施，小部分人开始被传染并处于潜伏期。当潜伏期过后，病毒开始爆发，此时的患者与人群接触，导致新一批的人被感染并处于潜伏期。当发病过后，部分患者得不到及时的医治而死亡。传染病传播的过程反复无常，难以控制，以至于在较短时间内感染人数会迅速增多。并且，随着时间的推移，发病人数也将不断增加，死亡人数迅速增加。这使得人们对于内江师范学院本科毕业论文2病毒开始感到恐慌，造成社会的负面影响。这引起了政府及相关部门的重视，并开始采取措施。虽然疫情得到了控制，但由于当时没有有效的抗病毒药物，因此疫情只能通过患者自主愈合和死亡。在该期间内，每天的发病和死亡人数都在不断减少，并最终降为零。根据上述对SARS传播机制的分析结论，建立如下SARS传播机制的流程图。2.1SARS模型的基本假设1）本文主要考察的是北京地区的疫情变化，且考察的时间相对较短，故我们视人口总量不变，不考虑人口的出生率和自然死亡率，即为一常数N.2）将SARS的传播途径视为与病人的有效接触，每个健康人变成病人的途径只能是与病人的有效接触.3）不考虑气候条件对SARS传播的影响.4）为了使模型简化，假设处于同一群体的每个个体与病人的日接触率及有效接触率相同.5）假设SARS疫情的爆发有个初始时间.2.2模型一，SIR模型在建立改进的SIR模型之前，先对基本的SIR模型进行描述。基于参考文献[3]中的5.1传染病模型的模型三（SIR），为了简便起见，考虑、1、2为常数，于是我们得到了类似于[3]中5.1传染病模型的方程组：121200()()(0),(0)dssidtdiksiidtdridtiiss，，，．健康人s疑似病人i1治愈r死亡e病人i2潜伏期者i1k内江师范学院本科毕业论文32.3模型二，基于SIR的改进模型以上一节基本的SIR模型为基础。首先，根据人群分类情况可得：12()()()()()1stititrtet，12()()()ititit．()it表示总的具备传染力的人数比例.设每个疑似病人每天有效接触的平均人数为1；每个病人每天有效接触的平均人数为2；疑似病人中实际感染了SARS病毒