空间解析几何(精品课件)

引言几何与代数间最早的桥梁是由17世纪笛卡尔和费马建立的平面解析几何.解析几何利用代数方法来研究几何图形的性质.解析几何为微积分的出现创造了条件.几何向量是研究空间解析几何的工具；也是研究数学中其它一些分支、力学及三维计算机图形学、三维游戏设计等学科的工具.1715年，瑞士伯努力将平面解析几何推广到空间解析几何.1.向量的概念及其表示1).向量：2).向量的长度或模：3).自由向量：4).相等向量：5).负向量：6).零向量：既有大小又有方向的量,AB,,,,ab,AB,a只考虑向量的大小和方向不计较起点位置长度相等且方向相同长度相等且方向相反0或长度为零，方向任意//方向相同或相反8).平行(共线)向量：7).单位向量：长度为1一.空间向量的线性运算第三章几何空间§3.1-2空间向量及空间坐标系2.向量的加法1).平行四边形法则2).三角形法则3).运算性质:③②结合律,,①交换律④首尾相接多边形法则OAABBCGHOHOAABOBOAB向量的减法运算性质:三角不等式ABADDB（减数指向被减数）DBABAD（后项减去前项）,注:当平行时，等式成立。ADB第三章几何空间§3.1-2空间向量及空间坐标系3.向量与数量的乘法（数乘）1).定义：m注:①m=m=0或=.2).运算性质②(1)=.③单位向量：长度为1的向量模：mm方向：00,0mmm与相同,若与相反,若任意若0,非零向量的单位化：③分配律②结合律1mnmn①;mnmnmmm向量的伸缩//0第三章几何空间§3.1-2空间向量及空间坐标系例1.设P,Q分别是ABC的BC,AC边的中点,AP与BQ交于点M.证明:ABCMAM=AP.23PQABCST往证点S与点T重合,即PQ2,BCBP证明：可知ASAT1233ABAQ13ASAPAP23,ASAP设2,ACAQ23BTBQ23ABBQ13ABBPACCP13ABAC1233ABABBQABBTAT第三章几何空间§3.1-2空间向量及空间坐标系1.向量的概念及其表示：方向和大小2.向量的加法向量的减法平行四边形、三角形、多边形法则ABADDB3.数乘向量的伸缩0,向量的单位化：一.空间向量的线性运算§3.1-2空间向量及空间坐标系二.共线、共面向量的判定三.空间坐标系四.空间向量线性运算的坐标表示五.空间向量的数量积第三章几何空间§3.1-2空间向量及空间坐标系二.共线、共面向量的判定1.共线、共面向量的定义123点O,A1,A2,…,As在同一直线上.1,2,…,s共线:12sOA1A2As点O,A1,A2,…,As在同一平面上.1,2,…,s共面:OA1A2A3二.共线、共面向量的判定2.共线的判定定理3.1设向量1,向量2与1共线存在唯一的实数k使得2=k1.推论3.1向量1,2共线存在不全为零的实数k1,k2使得k11+k22=.//,注：设向量1,向量2与1共线2可由1唯一的线性表示.第三章几何空间§3.1-2空间向量及空间坐标系1231,2共线存在唯一的实数k使得2=k1当1=,2时,1,2共线但2k1?k0？不一定二.共线、共面向量的判定2.共线的判定定理3.1设向量1,向量2与1共线存在唯一的实数k使得2=k1.2可由1唯一的线性表示.推论3.1向量1,2共线存在不全为零的实数k1,k2使得k11+k22=.存在一个向量可由另一个向量线性表示.//,第三章几何空间§3.1-2空间向量及空间坐标系123注：向量1,2不共线k11+k22=只有零解，即k1=k2=0.任何一个向量都不能由另一个向量线性表示.二.共线、共面向量的判定推论3.2向量1,2,3共面存在不全为零的实数k1,k2,k3,使得k11+k22+k33=.注：若向量1,2不平行,则向量3与1,2共面3可由1,2唯一的线性表示.1323.共面的判定定理3.2若向量1,2不平行,则向量3与1,2共面存在唯一的有序实数组(k1,k2),使得第三章几何空间§3.1-2空间向量及空间坐标系3=k11+k22.k11k22定理3.2若向量1,2不平行,则向量3与1,2共面存在唯一的有序实数组(k,l),使得3=k1+l2.3可由1,2唯一的线性表示.推论3.2向量1,2,3共面存在不全为零的实数k1,k2,k3,使得k11+k22+k33=.存在一个向量可由其余向量线性表示.注：向量1,2,3不共面k11+k22+k33=只有零解，即k1=k2=k3=0推论3.2向量1,2,3共面1,2,3线性无关3.共面的判定第三章几何空间§3.1-2空间向量及空间坐标系1,2,3线性相关.任何一个向量都不能由其余向量线性表示.(但不知是哪个向量)例2.§3.1-2空间向量及空间坐标系d二.共线、共面向量的判定2与1()共线∃唯一实数k使得2=k12可由1唯一线性表示2与1共线∃不全为零的k1,k2使得k11+k22=2与1线性相关1,2不平行,3与1,2共面3可由1,2唯一线性表示重点和难点在直线上任意一个向量都可以由直线上一个非零向量唯一的线性表示.在平面上任意一个向量都可以由平面上两个不共线向量唯一的线性表示.在空间上任意一个向量都可以由空间上三个不共面向量唯一的线性表示.1.线性表示(1)在直线上任意一个向量都可以由直线上一个非零向量唯一的线性表示.(2)在平面上任意一个向量都可以由平面上两个不共线向量唯一的线性表示.定理3.3在空间中取定三个不共面的1,2,3,则对空间中任一向量都存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得=x1+y2+z3.∃实数k1,k2,k3,使得=k11+k22+k33.1,2不平行,3与1,2共面3可由1,2唯一线性表示.第三章几何空间§3.1-2空间向量及空间坐标系(3)在空间上任意一个向量都可以由空间上三个不共面向量唯一的线性表示.定理3.3在空间中取定三个不共面的1,2,3,则对空间中任一向量都存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得=x1+y2+z3.321OPQM123xyzOPOMMQQP111213212223xyzxyz唯一性：121122123xxyyzz123121212,,,,,.xxyyzz不共面第三章几何空间§3.1-2空间向量及空间坐标系右(左)手仿射坐标系.321O=x1+y2+z3=(x,y,z)1.仿射坐标系{O;1,2,3}坐标原点;坐标向量(基);坐标轴;坐标(分量);三.空间坐标系第三章几何空间§3.1-2空间向量及空间坐标系Ⅶ-,-,-Ⅱ-,+,+III-,-,+Ⅵ-,+,-xyzⅤ+,+,-Ⅷ+,-,-Ⅳ+,-,+•坐标原点•坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z轴(竖轴)o•坐标面•卦限(八个)xoy面面yozⅠ+,+,+2.空间直角坐标系{;,,}Oijk坐标分解式:,,OPxiyjzkxyzP(x,y,z)的向径第三章几何空间§3.1-2空间向量及空间坐标系设=(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2),则k1+k2例3.设两个定点为P1(x1,y1,z1)与P2(x2,y2,z2),求向量P1P2的坐标.xyzP1P2OP1P2=OP2OP1=(x2,y2,z2)(x1,y1,z1)=(x2x1,y2y1,z2z1).=(k1x1+k2x2,k1y1+k2y2,k1z1+k2z2).后项减前项四.空间向量线性运算的坐标表示第三章几何空间§3.1-2空间向量及空间坐标系例4.设两个定点为P1(x1,y1,z1)与P2(x2,y2,z2),若点P(x,y,z)把有向线段P1P2分成定比,即P1P=PP2(1),求分点P的坐标.xyzP1POP2OPOP1=(OP2OP)OP=OP1+OP21+y=y1+y21+,x=x1+x21+,z=z1+z21+.第三章几何空间§3.1-2空间向量及空间坐标系AA1.两个非零向量之间的夹角0,02.投影的概念ABu五.空间向量的数量积第三章几何空间§3.1-2空间向量及空间坐标系BBBBAA1.两个非零向量之间的夹角0,02.投影的概念ABu0,020,2若若(注意投影是一个有正负的数)向量AB在轴u上的投影为其中为向量AB与轴u的夹角.(AB)u=||AB||cos五.空间向量的数量积第三章几何空间§3.1-2空间向量及空间坐标系u投影的性质投影的应用(AB)u=||AB||cosuA’B’ABCC’(AB+BC)u=(AB)u+(BC)u与,共面∃唯一实数k,l使得=k+l=+当,？何时？第三章几何空间§3.1-2空间向量及空间坐标系CCCCC且||||=||||=1kcos?FSFSF物理背景：一物体在常力的作用下，沿直线运动产生的位移为时，则力所做的功是:FS抽去物理意义，就是两个向量确定一个数的运算.cosWFSFS称为数量积SSF第三章几何空间§3.1-2空间向量及空间坐标系3.两个向量的数量积(点积、内积)1).物理背景2).两个非零向量之间的夹角3).数量积的定义0,cosWFSFS注:·=0=或=或(,,⊥)cos⊥第三章几何空间§3.1-2空间向量及空间坐标系SSF点不能省略4).内积的性质(1)正定性:2=·=||||20且2=0=(2)对称性:·=·(3)(m)·=m(·)=·(m)(4)分配律：(+)·=·+·(5)线性性：(k+l)·=k·+l·(6)Schwartz不等式：|·|≤||||||||(7)三角不等式:||||-||||≤||||≤||||+||||(8)||+||2+||-||2=2(||||2+||||2)注:数量积不满足消去律,即·=·,⇏=.应为·(-)=0⊥(-).cos第三章几何空间§3.1-2空间向量及空间坐标系(2)设=(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2),则5).直角坐标系下向量内积的计算{;,,}Oijk222(1)1,0ijkijjkki例5.已知||||=3,||||=6,∠(,)=π/3,(3λ)⊥(+2),求λ.解：(3λ)·(+2)=032+(6λ)·2λ2=03·9+(6λ)||||||||cosπ/32λ·36=0