利息度量

利息的度量（Measurementsofinterest）2在日常生活中：如何度量速度？距离/时间瞬时速度？如何度量死亡率？死亡人数/期初生存人数死亡力？如何度量利率？利息/本金利息力（连续复利）？31.1利息的基本函数利息（interest）的定义：借用他人资金所需支付的成本，或出让资金所获得的报酬。利息存在的合理性资金的稀缺性时间偏好资本生产力4关于利息的几个基本概念本金（principal）：初始投资的资本金额。累积值（accumulatedvalue）：过一段时期后收到的总金额。利息（interest）——累积值与本金之间的差额。5积累函数(Accumulationfunction)累积函数：时刻0的1元本金在时刻t的累积值,记为a(t)。性质：a(0)=1；a(t)通常是时间的增函数；当利息是连续产生时，a(t)是时间的连续函数。当利息是跳跃产生时，a(t)是间断函数。注：一般假设利息是连续产生的。6例：常见的积累函数（1）常数：a(t)=1（2）线性：a(t)=1+0.1t（3）指数：a(t)=(1+0.1)t上述3个函数是否满足积累函数的性质？702468101214161820-1012345()(10.1)tat()10.1att()1at对应哪些实例？810ta(t)累积函数？对应哪些实例？9金额函数（Amountfunction）金额函数：时刻0投资k个单位本金在时刻t的积累值，记为A(t)。性质A(0)=k；A(t)=k·a(t),k0,t≥010利息（interest）的数学定义从投资之日算起，在第n个时期末所获得的利息金额：利息金额I(n)在整个时期内产生，但在最后时刻实现（支付、得到）。在时间段[t1,t2]内所获得的利息金额为()()(1),1InAnAnn1221(,)()()IttAtAt111.2实际利率（effectiverateofinterest）实际利率i等于某一时期开始时投资1单位本金，在此期间末获得的利息：实际利率i是某个时期获得的利息金额与期初本金之比：(1)(0)iaa(1)(0)(1)(0)(1)(0)(0)(0)aaAAIiaAA当期利息＝期初本金12实际利率经常简称为利率，用百分比表示，如8%；利息是在期末支付的；本金在整个时期视为常数；通常的计息期为标准时间单位，如年、月、日。若无特别说明，实际利率是指年利率。实际利率可对任何时期来计算。第n个时期的实际利率为()(1)()(1)(1)nAnAnIniAnAn注：13例：把1000元存入银行，第1年末存款余额为1020元，第2年末存款余额为1050元，求第一年和第二年的实际利率分别是多少？14解：(0)1000,(1)1020,(2)1050(1)(1)(0)20(2)(2)(1)30AAAIAAIAA2(2)302.94%(1)1020IiA1(1)202%(0)1000IiA问题：整个存款期间的实际利率是多少？整个存款期间的年平均实际利率是多少？（后面讨论）151.3单利(simpleinterest)假设在期初投资1，在每个时期末得到完全相同的利息金额i，这种计息方式称为单利，i称为单利率。特点：只有本金产生利息，而利息不会产生新的利息。单利的积累函数满足下述性质：(0)1(1)1()1aaiatit16单利的一个直观性质：相同长度的时期产生相同金额的利息。从时间t到时间t＋s所产生的利息等于从时间0到时间s所产生的利息。()()()1,0,0atsatasts当t为非整数时，单利的累积函数：0stt+s17假设a(t)可导，由导数的定义有0()()()limatatat在上式中，用s代替t，并在等式两端从0到t积分，即得00()(0)ttasdsads0()(0)limaa(0)a()(0)(0)atata()(0)(0)1(0)atatata18()1(0)atta现在只需求出)0(a，即可求得单利条件下的累积函数若令t=1，则由上式有)0(1)1(aa而由前面可知，a(1)=1+iia)0(因此a(t)=1+it上述推导过程没有限制t为正整数，因此对一切大于零的时间t都是成立的。19单利的累积函数20常数的单利并不意味着实际利率(effectiverate)是常数！1(1)ini问题:为什么在每个时期所获的利息金额相等，而实际利率却越来越小呢？因此，实际利率是n的递减函数。()(1)(1)nananian(1)[1(1)]1(1)ininin单利与实际利率的关系：21例若每年单利为8％，求投资2000元在4年后的积累值和利息。累积值为：所得利息的金额为(4)2000(148%)2640A2640200064020008%4利息金额＝本金利率时期22单利的应用:t的确定,t=投资天数/每年的天数（1）精确单利，记为“实际/实际”（actual/actual），即投资天数按两个日期之间的实际天数计算，每年按365天计算。（2）银行家规则(banker’srule)，记为“实际/360”，即投资天数按两个日期之间的实际天数计算，而每年按360天计算。（3）“30/360”规则，即在计算投资天数时，每月按30天计算,每年按360天计算。两个给定日期之间的天数按下述公式计算：212121360()30()()YYMMDD其中支取日为Y2年M2月D2日，存入日为Y1年M1月D1日。23例：若在1999年6月17日存入1000元，到2000年3月10日取款，年单利利率为8％，试分别按下列规则计算利息金额：（1）“实际/实际”规则（2）“30/360”规则（3）“实际/360”规则24（1）从1999年6月17日到2000年3月10日的精确天数为267（应用EXCEL），因此利息金额为（2）根据“30/360”规则，投资天数为因此利息金额为（3）根据“实际/360”规则计算的利息金额为26710000.0858.52365360130(36)(1017)26326310000.0858.4436026710000.0859.3336025单利的缺陷：不满足一致性令t=t1+t2则含义：分两段投资将产生更多利息。问题：分段越来越多，产生的利息是否会越来越多？1212212()()(1)(1)1(1)()atatitititittitat261.4复利(compoundinterest)在单利情形下，前期的利息没有在后期产生利息。复利：利息收入被再次计入下一期的本金，即所谓的“利滚利”。例：假设年初投资1000元，年利率为5％，则年末可获利50元，因此在年末有1050元可以用来投资。如果按照1050元来计算，将在明年末获得利息为52.5元，比只按照1000元投资要多获得利息2.5元。27复利的积累函数考虑期初投资1，它在第一年末的积累值为1＋i;余额1＋i可以在第二期初再投资，在第二期末积累值将达到(1+i)+(1+i)i=(1+i)2;在第三期末将达到(1+i)2+(1+i)2i=(1+i)3一直持续下去……，对于整数时期t，积累函数为()(1)tati28对于非整数t，复利的累积函数()()(),0,0atsatasts设a(t)可导，则由导数的定义得0()()'()limsatsatats0()()()limsatasats0()1()limsasats()'(0)ata如何求出a(t)的表达式？'()'(0)()ataat直观性质：29因此，'()ln()'(0)()atdataatdt将t换成r，并将等式两边从0到t积分，有00ln()'(0)ttdardradrdrln()ln(0)'(0)atataln()'(0)atta注：a(0)=1求出即可！(0)a30ln(1)'(0)aa()(1)tati可见，对于非整数t，同样有ln()ln(1)atti(1)1ai若取t=1,则有又因为故'(0)ln(1)ai因此由ln()'(0)atta可以求得ln()'(0)atta31复利的累积函数32常数的复利率意味着实际利率也为常数(1)11ii()(1)(1)nananian11(1)(1)(1)nnniii复利与实际利率的关系33单利与复利之间的关系（假设单利和复利的年利率相等）单利的实际利率逐期递减，复利的实际利率保持恒定。当0t1时，单利比复利产生更大的积累值。当t1时，复利比单利产生更大的积累值。当t=1或0时，单利和复利产生相同的累积值。00.511.511.522.533.544.555.5复利单利34•单利累积函数：是一条直线•复利累积函数：一阶导数大于0，二阶导数也大于0。下凸曲线。•两个交点：0和1。00.511.511.522.533.544.555.5复利单利35363700.20.40.60.811.21.41.61.8211.21.41.61.822.22.42.6xa(x)单利和复利的累积函数的比较（i=60%)复利单利38例按复利和单利分别计算，当年利率为11％时，初始投资多少元才能使第5年的本金和利息总和积累到1000元?(1511%)1000645.16XX5(111%)1000593.47XX39ExerciseItisknownthat1000investedfor4yearswillearn250.61ininterest,i.e.,thatthevalueofthefundafter4yearswillbe1250.61.Determinetheaccumulatedvalueof3500investedatthesamerateofcompoundinterestfor13years.40Solution:411.5贴现（discount）问题：在期初投资多少，才能在年末的累积值为1?这是一个求现值的过程，即贴现过程，与累积过程互逆。时刻t的1个单位在时刻0的价值称为贴现函数，用a-1(t)表示。0t1a(t)a-1(t)142贴现函数(discountfunction)单利的贴现函数复利的贴现函数11()(1)atit1()(1)tati43单利和复利的现值比较：金额为100.20.40.60.811.21.41.61.8200.10.20.30.40.50.60.70.80.91t1/a(t)i=10%compoundinterestsimpleinterest4400.20.40.60.811.21.41.61.8200.10.20.30.40.50.60.70.80.91t1/a(t)i=40%compoundinterestsimpleinterest单利和复利的现值比较：金额为145注：除非特别申明，今后一概用复利计算现值。(1+i)t为时刻零的1元在时刻t的累积值。vt=(1+i)-t为时刻t的1元在时刻零的现值。46iv11ti)1((1+i)累积因子：accumulationfactort年累积因子：t-yearaccumulationfactor贴现因子：discountfactorvtt年贴现因子：t-yeardiscountfactor几个术语：47实际贴现率：d(effectiverateofdiscountwithcompoundinterest)实际贴现率等于一个时期的利息收入与期末累积值之比：期末累积值-期初本金实际贴现率＝期