直线和圆的复习

一．直线的方向向量、法向量、倾斜角、斜率之间的关系：tan2cossinsincoslkll1.已知直线的倾斜角为，则斜率（）直线的一个方向向量就是（，）直线的一个法向量就是(，）它们都是反映直线方向的量，它们之间有相互联系，可以相互转化，在一定条件下，已知其中一个，可以求出另外三个，如：2.,(0lvablnbablkaa已知：直线的一个方向向量为（，），则直线的一个法向量便是（，）直线的斜率时)时）（）（时）（）（的倾斜角直线0arctan0arctanababababl时），（便有：取向量上两点，而直线的方向为直线特别地，121212121221222111),,(),(),,(xxxxyykyyxxPPlyxPyxP时）（时）（的倾斜角直线），的一个法向量就是（直线），的一个方向向量就是（直线，则的斜率为已知：直线0arctan0arctan11)3kkkklklklkl二、直线方程的各种形式（1）点斜式方程（2）斜截式方程（3）两点式方程（4）截距式方程（5）一般式方程）（程，即得直线的点斜式方）（）（）是共线向量，）与（则（上任意一点直线且其斜率为经过点若已知直线直线的点斜式方程00000000001,),,(),,()1xxkyyyyxxkkyyxxyxPlkyxPl002)(0,),.PyPbybkxykxbby直线的斜截式方程在直线的点斜式方程中，特别地取为直线与轴交点即即得：于是得直线斜截式方程:这里就是直线在轴上的截距.000000003)(,)(,)//,,(,)()0.lvabPxylPxyPPvxxyyabttRabxxyyab直线的方向式方程若已知直线方向向量（，）且经过点直线上任一点则，故得直线方向式方程（）当时，也可写为l),(000yxP),(yxPxyttPP000004)cossincossinxxattRyybtabltlxxattRyyatlt直线的参数式方程直线的方向式方程可改写成如下参数式：式中（，）为直线的方向向量，为参变量特别地取方向向量为（，），为直线倾斜角此时，直线的参数式方程为：（），（）上式称为直线的标准参数方程在标准参数方程中，参变数具有几何意义，如图l),(000yxP),(yxPxyttPP0),(0)()(,),,()0(,,),,()500022000不同为零其中程为：于是得直线的点法式方则上任意一点直线）（的一个法向量为且已知直线上一点若直线直线的点法式方程BAyyBxxAnPPyxPlBABAnlyxPl006,0(,)CAxByAxByCAB）直线的一般式方程在直线的点法式方程中，记则直线方程具有如下的一般式其中不同为零121121121221122211100,//),(),(),,(7yyyyxxxxyyxxPPPPlyxPyxPyxPl两点式时，直线方程可以写成，当则上任意一点是直线两点，经过若已知直线）直线的两点式方程轴上的截距轴和在都不为零，分别是直线，式中：于是可得直线的截距式即得轴交于与轴交于设与相交，而不过原点，若直线与两坐标轴都在直线的两点式方程中直线的截距式方程yxbabyaxbyaaxbbPyaaPx1000)0(),,0()0(),0,()821三、平面内两直线关系（１）两直线平行的条件（２）两直线垂直的条件（３）两直线重合的条件（４）两直线相交的夹角（５）直线到直线的角（６）点到直线的距离（７）两平行直线间的距离（８）点与直线的位置关系212121222111122112212122221111////0:,0)1bbkkllbxkylbxkylCACABABAllCyBxAlCyBxAl，且则此时，即两直线斜率均存在：，：若，且则：若两直线平行的条件100:,0)2212122211121212122221111kkllbxkylbxkylBBAAllCyBxAlCyBxAl则此时，：，：若，则：若两直线垂直的条件2121212221111221122121222211110:,0)3bbkkllbxkylbxkylCACABABAllCyBxAlCyBxAl，且重合则此时，：，：若，且重合于则：若两直线重合的条件1111222212121222221122121221121211122212221212214)0,:0cos2tan1cos112tanlAxByClAxByCllAABBABABllABABAABBlykxblykxbkkkkllkk两直线相交的夹角若：与的夹角为，则当时（即不垂直于）又若：，：则当时（即不垂直于）121kk121212111122221221121211122221121212222211225)20,:0tantan1coslllllllAxByClAxByCABABAABBlykxblykxbkkkkAABBABAB直线到的角时，当不垂直于，若：又若：，：则注意一般不能用来表示0000220022006)0,(,),,,(,)lAxByCPxyPlnABQPnPldQlnAxByCdABPlnABAxByCQPnPldnABPxylPl点到直线的距离：设直线：点当位于的法向量（）指向同侧（如图）点到直线的距离其中点为上任意一点化简得当位于的法向量（）指向异侧（如图）点到直线的距离对于在直线上，则到直线的距0000220(,)dPxyPlAxByCdAB离。故综上所述有：对任意的点有点到直线的距离lnPQOyxlnPQOyx121122121222127)//0,:0lllAxByClAxByCCClldABll两平行直线间的距离若，：则与之间的距离注意：距离公式中，要求与方程的一次项对应系数相等0,),()3(0,),(20),(1),(,0)800000000000000CByAxBAnlyxPCByAxBAnlyxPCByAxlyxPyxPCByAxl）指向异侧（的法向量与当）指向同侧（的法向量与）当（上在直线）当（点：设直线点与直线的位置关系：系来判定点与直线位置关同的特点，根据特殊点方程左边值的符号必相般式方程，的坐标，代入直线的一以利用直线同一侧各点点与直线位置关系也可（1）二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。（2）在确定区域时，在直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负可以判断出Ax+By+C0表示哪一侧的区域。一般在C≠0时，取原点作为特殊点。二元一次不等式表示平面区域（3）注意所求区域是否包括边界直线线性规划线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．可行解：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解；可行域：由所有可行解组成的集合叫做可行域；最优解：使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。可行域小结1.在解线性规划应用问题时，其一般思维过程如下：（1）设出决策变量，找出线性规划的约束条件和线性目标函数；（2）利用图像，在线性约束条件下找出决策变量，使目标函数达到最大或最小；2.解线性规划应用问题的一般模型是：先列出约束条件组{a11x1+a12x2+…+a1nxn≤b1a21x1+a22x2+…+a2nxn≤b2……a11x1+a12x2+…+a1nxn≤bn再求c1x1+c2x2+…+cnxn的最大值或最小值；3.线性规划的讨论范围：教材中讨论了两个变量的线性规划问题，这类问题可以用图解法来求最优解，但涉及更多变量的线性规划问题不能用图解法来解；4.求线性规划问题的最优整数解时，常用打网格线和调整优值的方法，这要求作图必须精确，线性目标函数对应的直线斜率与其他直线的斜率关系要把握准确。返回四、圆的方程(1)标准方程(2)一般方程其中圆心坐标半径为（3）参数方程其中(a,b)为圆；r为半径；θ为参数(4)已知直径两端的圆方程其中是圆的一条直径的两端点222()()xaybr220xyDxEyF(,)22DE22142rDEFcossinxarybr1212()()()()0xxxxyyyy1122(,)(,)xyxy、五、圆的切线方程（1）过圆上一点P圆切线当方程为切线方程为当方程为切线方程为(2)过圆外一点P圆的切线方程设圆方程为则切线方程为切线长为00(,)xy200()()()()xaxaybybr222()()xaybr220xyDxEyF0000()()022DExxyyxxyyF00(,)xy220xyDxEyF220000xyDxEyF典型例题分析的倾斜角直线又回到原来的位置，求则直线个单位，轴正方向平移个单位，再沿轴负方向平移沿：直线例llyxl231)2,3(),(0000yxQlyxP上一点，经平移后到点是直线解：设的一个方向向量就是直线由已知lPQ)2,3(2233k斜率32arctan32arctan）（倾斜角),(00yxP)2,3(00yxQxyOl方程取得最小时，求直线）当（的方程面积最小时，求直线）当（为坐标原点，两点，轴正半轴交于，且分别与过点，直线例lMBMAlABCOBAyxMl21,)1,2(42(1)0211(2,0),0121111(2)(12)2[(2)]22422(2)(20)12211042121242AOBlklykxxAyBkkSOAOBkkkkkkkkkklyxxy解法一、由已知直线的斜率，设方程为：（）它与正半轴交于与轴正半轴交于（，）当且仅当时等号成立即，又，取时等号成立故的方程为（），也即004212424214124212111210,0),,0(),0,(yxyxlbababaabOBOASbabyaxlbabBaAAOB，即的方程为，时成立，等号当且仅当，且的方程可写成从而直线解法二、由已知可设方程取得最小时，求直线）当（的方程面积最小时，求直线）当（为坐标原点，两点，轴正半轴交于，且分别与过点，直线例lMBMAlABCOBAyxMl21,)1,2(4坐标求所在的直线方程为平分线，所在直线方程为边上中线的顶点、例CByxBEABCyxCDABAABC,04202474),8,2(3xyAB）坐标（的中点则解法一、设28,22),(BBBByxDAByxB,24047240240284()7()24022BBBBBDxyxyxyxy又分别在直线和直线上)0,4(0,4ByxBB，即得34)4(208ABk21,042BEkyxBEABC：平分线所在直线又411322141111123200472400(6,0)47240BCBEBCABBEBEBCABBEBCBCkkkkkkkkkkkBCyCDxyyCxy由已知条件得即得，所在直线方程为，又所在直线方程由得074247)42(47424872402474),42(0422222