离散数学-第四章-等价关系和偏序关系

14.5等价关系与偏序关系等价关系的定义与实例等价类及其性质商集与集合的划分等价关系与划分的一一对应偏序关系偏序集与哈斯图偏序集中的特定元素2等价关系的定义与实例定义设R为非空集合上的关系.如果R是自反的、对称的和传递的,则称R为A上的等价关系.设R是一个等价关系,若x,y∈R,称x等价于y,记做x～y.实例设A={1,2,…,8},如下定义A上的关系R：R={x,y|x,y∈A∧x≡y(mod3)}其中x≡y(mod3)叫做x与y模3相等,即x除以3的余数与y除以3的余数相等.3等价关系的验证验证模3相等关系R为A上的等价关系,因为x∈A,有x≡x(mod3)x,y∈A,若x≡y(mod3),则有y≡x(mod3)x,y,z∈A,若x≡y(mod3),y≡z(mod3),则有x≡z(mod3)自反性、对称性、传递性得到验证4A上模3等价关系的关系图设A={1,2,…,8},R={x,y|x,y∈A∧x≡y(mod3)}5等价类定义设R为非空集合A上的等价关系,x∈A，令[x]R={y|y∈A∧xRy}称[x]R为x关于R的等价类,简称为x的等价类,简记为[x].实例A={1,2,…,8}上模3等价关系的等价类：[1]=[4]=[7]={1,4,7}[2]=[5]=[8]={2,5,8}[3]=[6]={3,6}6等价类的性质定理1设R是非空集合A上的等价关系,则(1)x∈A,[x]是A的非空子集.(2)x,y∈A,如果xRy,则[x]=[y].(3)x,y∈A,如果xy,则[x]与[y]不交.(4)∪{[x]|x∈A}=A，即所有等价类的并集就是A.7实例A={1,2,…,8}上模3等价关系的等价类：[1]=[4]=[7]={1,4,7}，[2]=[5]=[8]={2,5,8}，[3]=[6]={3,6}以上3类两两不交，{1,4,7}{2,5,8}{3,6}={1,2,…,8}8商集定义设R为非空集合A上的等价关系,以R的所有等价类作为元素的集合称为A关于R的商集,记做A/R,A/R={[x]R|x∈A}实例A={1,2,…,8},A关于模3等价关系R的商集为A/R={{1,4,7},{2,5,8},{3,6}}A关于恒等关系和全域关系的商集为：A/IA={{1},{2},…,{8}}A/EA={{1,2,…,8}}9集合的划分定义设A为非空集合,若A的子集族π(πP(A))满足下面条件：(1)π(2)xy(x,y∈π∧x≠y→x∩y=)(3)∪π=A则称π是A的一个划分,称π中的元素为A的划分块.10例题例1设A＝{a,b,c,d},给定π1,π2,π3,π4,π5,π6如下：π1={{a,b,c},{d}}，π2={{a,b},{c},{d}}π3={{a},{a,b,c,d}},π4={{a,b},{c}}π5={,{a,b},{c,d}},π6={{a,{a}},{b,c,d}}则π1和π2是A的划分,其他都不是A的划分.为什么？11等价关系与划分的一一对应商集A/R就是A的一个划分不同的商集对应于不同的划分任给A的一个划分π,如下定义A上的关系R：R={x,y|x,y∈A∧x与y在π的同一划分块中}则R为A上的等价关系,且该等价关系确定的商集就是π.例2给出A＝{1,2,3}上所有的等价关系求解思路：先做出A的所有划分,然后根据划分写出对应的等价关系.12等价关系与划分之间的对应π1,π2和π3分别对应等价关系R1,R2和R3.R1={2,3,3,2}∪IA，R2={1,3,3,1}∪IAR3={1,2,2,1}∪IAπ4对应于全域关系EA，π5对应于恒等关系IA13实例例3设A={1,2,3,4}，在AA上定义二元关系R：x,y,u,vRx+y=u+v，求R导出的划分.解AA={1,1,1,2,1,3,1,4,2,1,2,2,2,3,2,4,3,1,3,2,3,3,3,4,4,1,4,2,4,3,4,4}14实例（续）根据x,y的x+y=2,3,4,5,6,7,8将AA划分成7个等价类：(AA)/R={{1,1},{1,2,2,1},{1,3,2,2,3,1},{1,4,2,3,3,2,4,1},{2,4,3,3,4,2},{3,4,4,3},{4,4}}15偏序关系定义非空集合A上的自反、反对称和传递的关系，称为A上的偏序关系，记作≼.设≼为偏序关系,如果x,y∈≼,则记作x≼y,读作x“小于或等于”y.实例集合A上的恒等关系IA是A上的偏序关系.小于或等于关系,整除关系和包含关系也是相应集合上的偏序关系.16相关概念x与y可比：设R为非空集合A上的偏序关系,x,yA,x与y可比x≼y∨y≼x.结论：任取两个元素x和y,可能有下述情况：x≺y(或y≺x),x＝y,x与y不是可比的.全序关系：R为非空集合A上的偏序,x,yA,x与y都是可比的，则称R为全序（或线序）实例：数集上的小于或等于关系是全序关系整除关系不是正整数集合上的全序关系17覆盖：设R为非空集合A上的偏序关系,x,y∈A,如果x≺y且不存在zA使得x≺z≺y,则称y覆盖x.实例：{1,2,4,6}集合上的整除关系,2覆盖1,4和6覆盖2.4不覆盖1.相关概念（续）18偏序集与哈斯图定义集合A和A上的偏序关系≼一起叫做偏序集,记作A,≼.实例：整数集和小于等于关系构成偏序集Z,≤，幂集P(A)和包含关系构成偏序集P(A),R.哈斯图：利用偏序自反、反对称、传递性简化的关系图特点：每个结点没有环，两个连通的结点之间的序关系通过结点位置的高低表示，位置低的元素的顺序在前，具有覆盖关系的两个结点之间连边19哈斯图实例例4{1,2,3,4,5,6,7,8,9},R整除P({a,b,c}),R20A={a,b,c,d,e,f,g,h}R={b,d,b,e,b,f,c,d,c,e,c,f,d,f,e,f,g,h}∪IA哈斯图实例（续）例5已知偏序集A,R的哈斯图如右图所示,试求出集合A和关系R的表达式.21偏序集的特定元素定义设A,≼为偏序集,BA,y∈B.(1)若x(x∈B→y≼x)成立,则称y为B的最小元.(2)若x(x∈B→x≼y)成立,则称y为B的最大元.(3)若x(x∈B∧x≺y)成立,则称y为B的极小元.(4)若x(x∈B∧y≺x)成立,则称y为B的极大元.22特殊元素的性质对于有穷集，极小元和极大元必存在，可能存在多个.最小元和最大元不一定存在，如果存在一定惟一.最小元一定是极小元；最大元一定是极大元.孤立结点既是极小元，也是极大元.23定义设A,≼为偏序集,BA,yA.(1)若x(x∈B→x≼y)成立,则称y为B的上界.(2)若x(x∈B→y≼x)成立,则称y为B的下界.(3)令C＝{y|y为B的上界},则称C的最小元为B的最小上界或上确界.(4)令D＝{y|y为B的下界},则称D的最大元为B的最大下界或下确界.偏序集的特定元素(续)24下界、上界、下确界、上确界不一定存在下界、上界存在不一定惟一下确界、上确界如果存在，则惟一集合的最小元就是它的下确界，最大元就是它的上确界；反之不对.特殊元素的性质25实例例6设偏序集A,≼如下图所示，求A的极小元、最小元、极大元、最大元.设B＝{b,c,d},求B的下界、上界、下确界、上确界.极小元：a,b,c,g；极大元：a,f,h；没有最小元与最大元.B的下界和最大下界都不存在,上界有d和f,最小上界为d.