随机变量的数字特征讲解

第四章随机变量的数字特征中科大软件学院11May2020第1页§4.1数学期望§4.2方差§4.3协方差及相关系数§4.4矩、协方差矩阵§4.5条件期望§4.6小结第四章随机变量的数字特征第四章随机变量的数字特征中科大软件学院11May2020第2页§4.1数学期望分赌本问题(17世纪)甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50元.无平局，谁先赢3局，则获全部赌注.当甲赢2局、乙赢1局时，中止了赌博.问如何分赌本?第四章随机变量的数字特征中科大软件学院11May2020第3页两种分法1.按已赌局数分：则甲分总赌本的2/3、乙分总赌本的1/32.按已赌局数和再赌下去的“期望”分：因为再赌两局必分胜负，共四种情况：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙所以甲分总赌本的3/4、乙分总赌本的1/4第四章随机变量的数字特征中科大软件学院11May2020第4页4.1.1数学期望的概念若按已赌局数和再赌下去的“期望”分，则甲的所得X是一个可能取值为0或100的随机变量，其分布律为：X0100P1/43/4甲的“期望”所得是：01/4+1003/4=75.第四章随机变量的数字特征中科大软件学院11May2020第5页4.1.2数学期望的定义定义4.1.1设离散随机变量X的分布律为P(X=xn)=pn,n=1,2,...若级数绝对收敛，则称该级数为X的1iiixp数学期望，记为1()iiiEXxp第四章随机变量的数字特征中科大软件学院11May2020第6页连续随机变量的数学期望定义4.1.2设连续随机变量X的概率密度为f(x),若积分绝对收敛，则称该积分为X的()xfxdx数学期望，又称为均值，记为()()EXxfxdx第四章随机变量的数字特征中科大软件学院11May2020第7页例4.1.1则E(X)=1×0.2+0×0.1+1×0.4+2×0.3=0.8.X1012P0.20.10.40.3第四章随机变量的数字特征中科大软件学院11May2020第8页数学期望简称为期望.数学期望是一种加权平均.权便是其分布律或概率密度；数学期望又称为均值.注意点第四章随机变量的数字特征中科大软件学院11May2020第9页4.1.3数学期望的性质定理4.1.1设Y=g(X)是随机变量X的函数，若E(g(X))存在，则1()()(())()()iiigxPXxEgXgxfxdx第四章随机变量的数字特征中科大软件学院11May2020第10页多变量函数的数学期望11(,)(,)(,)(,)((,))ijiijigxyPXxYygxyfxydxdyEgXY推论设Z=g(X,Y)是随机变量X与Y的函数，若E(g(X,Y))存在，则第四章随机变量的数字特征中科大软件学院11May2020第11页例4.1.2设随机变量X的概率分布律为求E(X2+2).=(02+2)×1/2+(12+2)×1/4+(22+2)×1/4=1+3/4+6/4=13/4解:E(X2+2)X012P1/21/41/4第四章随机变量的数字特征中科大软件学院11May2020第12页数学期望的性质(1)E(c)=c(2)E(aX)=aE(X)(3)E(g1(X)+g2(X))=E(g1(X))+E(g2(X))(5)E(XY)=E(X)E(Y)，如果X与Y是独立的；(4)E(X+Y)=E(X)+E(Y)第四章随机变量的数字特征中科大软件学院11May2020第13页例4.1.32,01()0,xxfx其它设X~求下列X的函数的数学期望.(1)2X1,(2)(X2)2解:(1)E(2X1)=1/3,(2)E(X2)2=11/6.第四章随机变量的数字特征中科大软件学院11May2020第14页§4.2方差数学期望反映了X取值的中心.方差反映了X取值的离散程度.第四章随机变量的数字特征中科大软件学院11May2020第15页4.2.1方差与标准差的定义定义4.2.1若E(XE(X))2存在，则称E(XE(X))2为X的方差，记为Var(X)=D(X)=E(XE(X))2第四章随机变量的数字特征中科大软件学院11May2020第16页(2)称注意点X=(X)=Var()X(1)方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度.方差越大,则随机变量的取值越分散.为X的标准差.标准差的量纲与随机变量的量纲相同.第四章随机变量的数字特征中科大软件学院11May2020第17页4.2.2方差的性质(1)Var(c)=0.性质4.2.1(3)Var(aX+b)=a2Var(X).性质4.2.3(2)Var(X)=E(X2)[E(X)]2.性质4.2.2(4)Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2E{(X-E(X))(Y-E(Y))}性质4.2.4第四章随机变量的数字特征中科大软件学院11May2020第18页随机变量的标准化设Var(X)0,令则有E(Y)=0,Var(Y)=1.()Var()XEXXY称Y为X的标准化.第四章随机变量的数字特征中科大软件学院11May2020第19页例4.2.1设X~01()2120xxfxxx其它,求E(X),Var(X).解:(1)E(X)=3231211()0133xxx=1(2)E(X2)==7/6所以,Var(X)=E(X2)[E(X)2]=7/61=1/6()dxfxx1201d(2)dxxxxxx2()dxfxx123201d(2)dxxxxx第四章随机变量的数字特征中科大软件学院11May2020第20页练习1设1,10~()1,010,xxXfxxx其他则方差Var(X)=()。问题：Var(X)=1/6,为什么？第四章随机变量的数字特征中科大软件学院11May2020第21页练习2X与Y独立，Var(X)=6，Var(Y)=3，则Var(2XY)=().27第四章随机变量的数字特征中科大软件学院11May2020第22页练习3X~P(2)，Y~N(2,4)，X与Y独立，则E(XY)=();E(XY)2=().422第四章随机变量的数字特征中科大软件学院11May2020第23页4.2.3切比雪夫不等式设随机变量X的方差存在(这时均值也存在),则对任意正数ε，有下面不等式成立2Var(){|()|}XPXEX2Var(){|()|}1XPXEX第四章随机变量的数字特征中科大软件学院11May2020第24页例4.2.2设X~0()!00nxxexfxnx证明(02(1))1nPXnn证明:E(X)=0d!nxxxexn=n+1E(X2)=20d!nxxxexn=(n+1)(n+2)所以,Var(X)=E(X2)E2(X)=n+1,(02(1))(|()|1)PXnPXEXn211(1)nn1nn(这里,=n+1)1(2)!nn1(3)!nn由此得第四章随机变量的数字特征中科大软件学院11May2020第25页定理4.2.2Var(X)=0P(X=a)=1E(X-E(X))2=0X=E(X)＝a,对所有的X第四章随机变量的数字特征中科大软件学院11May2020第26页常用离散分布的方差0-1分布的方差=p(1p)二项分布b(n,p)的方差=np(1p)泊松分布P()的方差=几何分布Ge(p)的方差=(1p)/p2第四章随机变量的数字特征中科大软件学院11May2020第27页常用连续分布的数学期望均匀分布U(a,b):E(X)=(a+b)/2指数分布Exp():E(X)=1/正态分布N(,2):E(X)=伽玛分布Ga(,):E(X)=/贝塔分布Be(a,b):E(X)=a/(a+b)第四章随机变量的数字特征中科大软件学院11May2020第28页常用连续分布的方差均匀分布U(a,b)的方差=(ba)2/12指数分布Exp()的方差=1/2正态分布N(,2)的方差=2第四章随机变量的数字特征中科大软件学院11May2020第29页例4.2.3已知随机变量X服从二项分布，且E(X)=2.4,Var(X)=1.44,则参数n,p的值为多少？例4.2.4设X表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则E(X2)的值为多少？解：从2.4=np,1.44=np(1p)中解得解：因为E(X)=np=4,Var(X)=2.4,所以n=6,p=0.4.E(X2)=Var(X)+(E(X))2=2.4+16=18.4第四章随机变量的数字特征中科大软件学院11May2020第30页本节主要给出二维随机变量X与Y之间相互关系的数字特征§4.3协方差及相关系数第四章随机变量的数字特征中科大软件学院11May2020第31页4.3.1协方差定义4.3.1称Cov(X,Y)=E([XE(X)][YE(Y)])为X与Y的协方差.第四章随机变量的数字特征中科大软件学院11May2020第32页协方差的性质(4)Cov(X,Y)=Cov(Y,X).(性质4.3.8)(1)Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y).(性质4.3.5)(2)若X与Y独立，则Cov(X,Y)=0.(性质4.3.6)(6)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y).(性质4.3.10)(3)Var(XY)=Var(X)+Var(Y)2Cov(X,Y)(性质4.3.7)(5)Cov(X,a)=0.(性质4.3.9)(7)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z).(性质4.3.11)第四章随机变量的数字特征中科大软件学院11May2020第33页解：记“Xi=1”=“第i个人拿对自己的礼物”“Xi=0”=“第i个人未拿对自己的礼物”配对模型的数学期望和方差1,niiXXn个人、n件礼物，任意取.X为拿对自已礼物的人数，求E(X),Var(X)则因为E(Xi)=1/n,所以E(X)=1.又因为1Var()Var(,)2Cov(,)niiijijXXXX第四章随机变量的数字特征中科大软件学院11May2020第34页所以E(XiXj)=1/[n(n1)],XiXjP0111/[n(n1)]1/[n(n1)]由此得2Cov(11,)(1)ijXXnnn21(1)nn又因为2222Var((111))[()]iiiXEXnEXnnn所以先计算E(XiXj),XiXj的分布律为第四章随机变量的数字特征中科大软件学院11May2020第35页122Var()Var()2Cov(,)112(1)niiijijijXXXXnnnnn21122(1)nnnnn111nnn所以第四章随机变量的数字特征中科大软件学院11May2020第36页4.3.2相关系数定义4.3.2称为X与Y的相关系数.Cov(,)Var()Var()XYXYXY第四章随机变量的数字特征中科大软件学院11May2020第37页若记注意点**,()()Var()Var()XYXEXYEYXY则**Cov(,)XYXY第四章随机变量的数字特征中科大软件学院11May2020第38页相关系数的性质(1)(2)1Corr(X,Y)1.(3)X与Y几乎处处有线性关系。(性质4.3.12)(性质4.3.13)P(Y=aX+b)=11XY第四章随机变量的数字特征中科大软件学院11May2020第39页的大小反映了X与Y之间的线性关系：注意点接近于1，X与Y间正相关.接近于1，X与Y间负相关.接近于0，X与Y间不相关.没有线性关系XYXYXYXY第四章随