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第一章测试题一.解答题1:指出下列语句哪些是命题，哪些不足命题：(1)今天下雪；(2)3+3=6；(3)2是偶数而3是奇数；(4)陈胜起义那天，杭州下雨；(5)较大的偶数都可表示为两个质数之和；(6)x+y〉4；(7)x=3；(8)今天天气多么好啊！(9)明天你去看电影吗？答案是命题的有(1)(2)(3)(4)；不是命题的有(5)(6)(7)(8)(9)2:试把原子命题符号化，然后用符号译出下列各句子：(1)小张不但聪明而且用功；(2)如果天不下雨，我就去学校；(3)或者你没有写信，或者它在中途丢失了。答案(1)P：小张聪明。Q：小张用功。：小张不但聪明而且用功。(2)P：天下雨。Q：我去学校。：如果天不下雨，我就去学校。(3)P：你写信了。Q：信在中途丢失了。：或者你没有写信，或者它在中途丢失了。3:写出命题公式的真值表。答案真值表如下：4:写出命题公式的真值表。答案真值表如下：5:增加公式，证明：。答案6:证明：证明。答案7:证明：。答案8:证明：。答案9:证明：。答案方法1：设是真，则Q是真，并且是真。于是，Q是假，P是假。故。方法2：设P是假，则P是真。以下分情况讨论。(1)若Q为真，则Q是假，所以是假。(2)若Q是假，则是假，所以是假。故。10:求的析取范式。答案11:求下列各式的主析取范式和主合取范式：答案12:证明：可逻辑推出。答案13:先将命题符号化，再给出证明：如果这里有球赛，则通行是困难的。如果他们按时到达，则通行是不困难的。他们按时到达了。所以这里没有球赛。答案设P：这里有球赛，Q：通行是困难的，R：他们按时到达。前提：结论：证明：由此可见推理正确。第二章测试题一.解答题1:用谓词表达式写出下列命题：(1)小张不是工人；(2)若m是奇数，则2m不是奇数；(3)每一个有理数都是实数；(4)某些实数不是有理数。答案2:找出下列句子对应的谓词表达式：(1)所有教练员都是运动员；。(2)某些运动员是大学生；。答案(1)所有教练员都是运动员。(2)某些运动员是大学生。3:利用谓词公式翻译下列命题：(1)并非每个实数都是有理数；(2)没有不犯错误的人。答案1)设是有理数，是实数，则：并非每个实数都是有理数。(2)设是人，犯错误，则：没有不犯错误的人。4:对于下面每个公式指出约束变元和自由变元：答案(1)约束变元：自由变元：(2)约束变元：自由变元：5:证明：。答案6:符号化苏格拉底论证并证明：人总是要死的。苏格拉底是人。所以苏格拉底是要死的。答案设是人，是要死的，苏格拉底，则苏格拉底论证可表示为7:用CP规则证明：。答案第三章测试题一.解答题1:求证：如果。答案因为，所以又因为，所以。2:求证：。答案任取，则所以3:假定16位学生在某次期末考试后，11位学生数学得了优；6位学生物理得了优；4位学生化学得了优。其中，数学和物理皆得优的学生有5人，数学和化学都得优的学生有3人，物理和化学都得优的学生有3人，三门都得了优的学生有2人。问：有多少学生没有得优？答案设A表示数学得优的学生构成的集合，B表示物理得优的学生构成的集合，C表示化学得优的学生构成的集合，则所求即为。由题意得所以，未得优的学生的人数为。4:设，求。答案5:已知，求。答案6:什么是关系？什么是X上的关系？答案令X，Y是两个集合，的子集叫做X到Y的一个二元关系(一般地，在没有特别指明的情况下，此关系就是指二元关系)。当时，称此关系为X上的关系。7:列出所有的从A={a,b,c}到B={S}的关系。答案因为，所以A到B上的关系(即的子集)共有8个，即8:已知丨A丨=n，则A上共有多少种不同的关系？答案因为，所以A上的关系(即的子集)共有个。9:已知A={1，2，3，6}，D为A上的整除关系，画出D的关系图。答案整除关系的关系图为10:什么是对称性？什么是反对称性？怎样的关系既是对称的又是反对称的？怎样的关系既不是对称的又不是反堆成的？答案X上的关系R是对称的，即X上的关系R是反对称的，即从关系图上看，最多只有一些自回路，没有其它弧线的关系既是对称的又是反对称的。从关系图上看，对于不相等的a，b，如果有a到b的弧线而没有b到a的弧线，则这个关系不具有对称性；对于不相等的c，d，如果既有c到d的弧线也有d到c的孤线，则这个关系不具有反对称性；如果以上两点都存在，则此关系既不是对称的又不是反对称的。11:如果关系R和S是自反的，对称的和是传递的，证明也是自反、对称和传递的。答案设R和S是自反的，对称的和传递的。(1)先证具有自反性。因为R和S都是自反的，所以对于任意。(2)再证具有对称性。因为R和S都是对称的，所以对于任意。又因为R和S都是对称的，所以。(3)最后证具有传递性。因为R和S都是传递的，所以对于任意。同理，由于。又因为R和S都是对称的，所以。12:若，试求。答案13:巳知R，S都是A到B上的关系判断以下各式的真假：答案(1)真；(2)真。14:根据图3-1中的有向图，写出邻接矩阵和关系R，并求出R的自反闭包和对称闭包。答案15:确定正误，若错误，请改正：答案(1)正确；(2)正确；(3)错误，应改为。16:什么是划分？什么是覆盖？答案(略)17:已知A={1，2，3}，试列出A上的所有划分。若k中有4个元素，A上的划分共有多少个？答案A上的划分有5个，即若A中有4个元素，则A上的划分共有15个。18:什么是等价关系？答案自反、对称、传递的关系叫做等价关系。19:已知S={1，2，3，4，5}，找出S上的等价关系R，此关系R能够产生划分{{1，2}，{3}，{4，5}}并画出关系图。答案20:设k是正整数而a，b是整数，如果对某整数m，当且仅当存在整数m，，那么a和6是模k等价，记做。证明：模k等价是整数集上的等价关系。答案(1)任意，因为所以，则具有自反性。(2)任意，若，则即，所以具有对称性。(3)任意，若，且，则，且，所以即，所以具有传递性。综上所述：模等价是整数集上的等价关系。21:什么是偏序关系？答案设R是A上的关系，如果R具有自反性、反对称性和传递性，那么称R是A上的一个偏序关系。22:设。(1)证明R是偏序的；(2)画出及的哈斯图；(3)给出集合{2，3，4，6}的极小元、极大元、最小上界、最大下界。答案(1)自反性：任取一个元素，显然x能整除x，即，所以R具有自反性。反对称性：任取两个元素，如果，且y能整除x，显然x=y，所以R具有反对称性。传递性：任取三个元素，如果，且，即x能整除y，且y能整除z，显然x能整除z，所以R具有反对称性。(2)关系R的哈斯图如下图所示。(3)集合{2，3，4，6}的极小元有2，3两个元素；极大元有4，6两个元素；最小上界是12；最大下界是1。第四章测试题一.解答题1:设X和Y是有穷集合，有多少不同的单射函数和多少不同的双射函数？答案设，则当且仅当时，才有从X到y的不同的单射函数，这时，共有个不同的单射函数。当且仅当n=m时，才有从X到Y的不同的双射函数，这时，共有个不同的单射函数。2:说明下列语句是否正确，若错误请改正。(1)若是满射的，则必须是满射的；(2)若是单射的，则必须是单射的；(3)若是双射的，则和g都必须是双射的；(4)若函数有逆函数，则必须是双射的；(5)存在这样的函数，使得，且。答案(1)正确。(2)错误。应改为：若是单射的，则g必须是单射的。(3)错误。应改为：若是双射的，则/必须是满射的，且g必须是单射的。(4)正确。(5)正确。第五章测试题一.解答题1:设集合A=={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，问下面定义的运算*关于集合A是否封闭？如果封闭，在判断它是否满足交换率？答案(1)封闭，满足交换率；(2)封闭，满足交换率；(3)不封闭；(4)封闭，不满足交换率。2:设代数系统，其中A={a，b，c}，*是A上的二元运算，判断在A中关于*是否有幺元？若有请指出。答案有幺元，幺元为a。3:设是一个代数系统，*是R上的一个二元运算，使得对于R中的任意元素a，b都有。证明：0是幺元，且是独异点(注：R为实数集，+为普通加法，为普通乘法)。答案(1)任取，则有所以0是幺元。(2)再证结合率成立。任取，因为即由此可知，代数系统是独异点。4:如果是一个半群，而且对于A中的元素a和b，如果a≠b，必有a*b≠b*a。证明：对于A中的每一个元素a，有a*a=a。答案假设存在元素，使得，则由题意可得(注：把a*a看成题目条件中的b)5:如果是半群，且*是可交换的，称为可交换半群。证明：如果S中有元索a，b，使得，则。答案因为是半群，所以运算*是可结合的；又由题意知，*是可交换的，则6:下列代数系统中，哪些能够形成群？如果是群，指出其么元，并给出每个元素的逆元。(注：对于一个正整数，两个整数做模加法的结果是两数相加再除以所得的余数，两个整数做模乘法的结果是两数相乘后再除以所得的余数。)答案(1)是群，1是幺元，3与4互为逆元，5与9互为逆元。(2)是群，0是么元，每个元素的逆元是它的相反数。(3)不是群，因为没有幺元。(4)不是群，因为没有幺元。(5)是群，c是么元，a与d互为逆元，b的逆元是b。7:求出的所有子群(其中是模12加法)。答案的子群有6个，分别为8:设和都是群是一个子群，试证明也是群是一个子群。答案(1)首先证明G中的幺元。因为，则(2)其次证明中的每个元素的逆元都在中。任取，因为都是群是子群，所以(3)最后证明，对于*是封闭的。任取，因为》所以；又因为，所以故对于运算*是封闭的。9:设是一个群，对任一，令，试证明：。答案(1)首先证明G中的幺元。因为对任一，所以。(2)其次证明H中的每个元素的逆元都在H中。任取，对任一，必存在唯一的元素，使得又因为，所以即(3)最后证明，H对于*是封闭的。任取，下面证明对任一因为，所以，故H对于运箅*是封闭的。10:证明：任何一个循环群必定是阿贝尔群。答案设是一个循环群，它的生成元是a，那么，对于任意的，必有，使得，并且因此，是一个阿贝尔群。11:证明：循环群的任意子群必定也是循环群。答案循环群的任意子群必定也是循环群。12:证明：如果是由到的同态映射，是由到的同态映射，那么，的同态映射。答案任取，则得所以是从到的同态映射。13:设是一个群，而，如果是从到G的映射，使得对于每一个，都有，证明是一个从G到G上的自同构。答案(1)先证f是同态。任取，则(2)再证f是双射函数。如果，那么两边同时右乘得两边同时左乘得所以是单射的。对于任一，，即所以，是满射的，是双射的。由以上两步可得，f是一个从G到G上的自同构。14:考察代数系统，其中从是自然数集合，是般乘法。给定函数，有试证明：是从A到B的同态。答案任取，现在证明下式成立分四种情况讨论：综上所述，式①成立，即f是从A到B的同态。第六章测试题一.解答题1:月薪30000的面试题：小明和小强都是张老师的学生，张老师的生日是M月N日，2人都知道张老师的生日是下列10组中的一天，张老师把M值告诉了小明，把N值告诉了小强，张老师问他们知道他的生日是那一天吗？3月4日，3月5日，3月8日6月4日，6月7日9月1日，9月5日12月1日，12月2日，12月8日小明说：如果我不知道的话，小强肯定也不知道。小强说：本来我也不知道，但是现在我知道了。小明说：哦，那我也知道了。答案由小明说的第一句话可知，小明知道的月份肯定不是6月和12月，只能是3月或者9月，再根据后面的话一步一步推理即可。2:现有100个黑球和100个白球，每次从中任意取出两个球，若颜色相同，则给这堆球中放人一个黑球，若颜色不同，则给这堆球中放入一个白球，这样当这堆球中只剩下一个球时，这个球是什么颜色？请证明你的结论。答案两种情况白球的奇偶性不会变化。3:用数学归纳法证明“所有的马的颜色都相同”的证明是否正确？如不正确，指出错误的原因。(1)基础：当n=l时显然正确。(2)归纳：假设n=时命题成立，当n=+1时，从中间取出一匹马，这是有匹马，根据假设，这匹马的颜色是相同的，再从中取出一匹马，把刚才这匹马放回，这时又是匹马，根据假设，这匹马的颜