勒让德函数

19.2.1勒让德多项式的性质1.勒让德多项式的零点对于勒让德多项式的零点，有如下结论：（i）P()nx的n个零点都是实的，且在)1,1(内；（ii）P()nx的零点与1P()nx的零点互相分离．2奇偶性根据勒让德多项式的定义式，作代换(),xx容易得到P()(1)P()lllxx（19.2.1）即当l为偶数时，勒让德多项式P()lx为偶函数，l为奇数时P()lx为奇函数．3勒让德多项式的正交性及其模作为施图姆－刘维尔本征值问题的正交关系的特例，不同阶的勒让德多项式在区间[1,1]上满足12,1P()P()dnllnlxxxN(19.2.2)其中,1()0()nlnlnl当nl时满足11P()P()0nlxxdx，(19.2.3)称为正交性．相等时可求出其模1212P()(0,1,2,)21llNxdxll(19.2.4)下面给出公式（19.2.2），及其模(19.2.4)的证明．4广义傅里叶级数勒让德方程属于施图姆－刘维尔型方程，故其本征函数：勒让德多项式P()(0,1,2,)lxl是完备的，可作为广义傅里叶级数展开的基．关于函数展开有下述定理定理19.2.1在区间[-1,1]上的任一连续函数()fx,可展开为勒让德多项式的级数0()P()nnnfxCx（19.2.5）其中系数1121()P()d2nnnCfxxx(19.2.6)在实际应用中,经常要作代换cosx,此时勒让德方程的解为P(cos)n，这时有0(cos)P(cos)nnnfC(19.2.7)其中系数为π021(cos)P(cos)sind2nnnCf（19.2.8）19.2.2.勒让德多项式的应用（广义傅氏级数展开）例19.2.1将函数3()fxx按勒让德多项式形式展开.【解】根据（19.2.5）设300112233P()P()P()P()xCxCxCxCx考虑到P()(1)P()nnnxx，由(19.2.6)显然有020CC11331111333P()dd225Cxxxxxx1133333117712P()d(5-3)d2225Cxxxxxxx所以31332P()P()55xxx