第八章---相量法

第八章相量法2.正弦量的相量表示；3.电路定理的相量形式。重点：1.正弦量的表示法、相位差；下页物理和工程领域中，常会使用到正弦信号（例如交流电路的分析），这时可以使用相量来简化分析。相量是一种矢量，是振幅A、相位θ和频率ω均为时不变的正弦波的一种表示方法，属于解析表示法，而将正弦信号用复数表示后进行电路分析的方法称为相量法，而在相量图中利用相量表示正弦交流电的图解法称为相量图法。相量法可以将这几个参数的相互依赖性降低，使这3个参数相互独立，这样就能简化特定的计算。参数中具有时间依赖性的频率参数对正弦波的线性组合的所有分量都有影响，若利用相量法将这一因子提取出来，留下的只是静态的振幅和相位信息的代数组合而不是三角函数的组合。同样，线性微分方程的求解也可以通过相量法简化为代数运算。不过因为要提取频率，所以只有同频率的正弦量才能进行相量运算。由此可知，相量是一种简化的表示方法，纪录一正弦波的振幅和相位信息。因此，相量一般指振幅和相位部分。8.2正弦量的相量表示1u1tωu0mUψtouyox)(cos22)()(t+IIetAtj正弦信号用复数表示后进行电路分析的方法称为相量法把时域问题变为复数问题复数A的表示形式)1(为虚数单位jAbReIma0AbReIma0|A|jbaAeAjAAjAAj)sin(cossincosjbaAabθbaAarctg||22θAbθ|A|asin||cos或)sin(cosjej欧拉恒等式：)(2)(tjIetA对A(t)取实部：)()cos(2)]([RetitItA对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数)(2)()(cos2t+jIetAt+IiA(t)包含了三要素：I、、ω，复常数只包含了I,。称为从时域到频域的数学变换式。)sin(2)cos(2tIjtI]2Re[)](Re[tjjeeItA]2Re[tjeI)(cos2t+Ii设一正弦量电流AjAeAjbaAj)sin(cos||||由欧拉公式正弦量的微分，积分运算)cos(2iiIItIi)sin(2itIdtdi)sin(2itItdi微分运算积分运算)2()2(ijiIeIdtdi)2cos(2itIIj)2cos(2itI)2(iItdijIjjej2sin2cos2jjej)2sin()2cos(2)cos(2itIdtddtdiAjAeAjbaAj)sin(cos||||)cos(2dttIidti相量微分IjdtId相量积分jIdtI正弦电量（时间函数）正弦量运算所求正弦量变换相量（复数）相量结果反变换相量运算（复数运算)单一参数正弦交流电路的分析计算小结电路参数电路图（正方向）复数阻抗电压、电流关系瞬时值有效值相量图相量式功率有功功率无功功率RiuiRuR设则tUusin2tIisin2IRURIUUIu、i同相UI0LiudtdiLuCiudtduCiLjjXLcjCjjXC11设则tIisin2)90sin(2tLIu设则tUusin2)90sin(12tCUiLXIXULLCXIXUCC1UIu领先i90°UIu落后i90°LjXIUCjXIU00LXIUI2CXIUI2基本关系例)cos(2)(itIti1)(idtCdtdiLRituRi(t)u(t)L+-C用相量运算：CjIILjIRU相量法的优点（1）把时域问题变为复数问题；（2）把微积分方程的运算变为复数方程运算；（3）可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。下页上页解8.3电路定理的相量形式1.电阻元件VCR的相量形式时域形式：相量形式：iRiRIUII相量模型)cos(2)(itIti已知)cos(2)()(iRtRItRitu则uR(t)i(t)R+-有效值关系相位关系R+-RUIURu相量关系：IRUR下页上页RIURiu瞬时功率：iupRRitOuRpRRUIu=iURI瞬时功率以2交变。始终大于零，表明电阻始终吸收功率)(cos222iRtIU)](2cos1[iRtIU同相位下页上页波形图及相量图时域形式：i(t)uL(t)L+-相量形式：)cos(2)(itIti已知)2cos(2)sin(2d)(d)(πiiLtILtILttiLtu则相量模型jL+-LUI相量关系：IjXILjULL有效值关系：相位关系：2.电感元件VCR的相量形式iII下页上页)2(iLLIULIUL90iu感抗的物理意义：(1)表示限制电流的能力；(2)感抗和频率成正比；XL相量表达式:感抗和感纳:ILjIjXUL开路短路直流,,,0),(0LLXXULjULjUjBIL11下页上页2fLLXL感抗，单位为(欧姆)211fLLBL感纳，单位为S功率：)(2sin)sin()cos(2iLiiLLLtIUttIUiuptiOuLpL2瞬时功率以2交变，有正有负，一个周期内刚好互相抵消LUIi电压超前电流900下页上页波形图及相量图：时域形式：相量形式：)cos(2)(utUtu已知)sin(2d)(d)(uCtCUttuCti则相量模型iC(t)u(t)C+-UCI+-Cj1有效值关系：相位关系：相量关系：UCjIC3.电容元件VCR的相量形式uUU下页上页)2cos(2πutCU)2(uCCUICUIC2ui称为容抗，单位为(欧姆)高频短路(旁路作用)|XC|容抗与容纳：相量表达式:UCjUjBIC下页上页CBCCXC1称为容纳，单位为SCX,00,CX直流开路(隔直)ICjIjXUC1功率：)(2sin)sin()cos(2uCuuCCCtωUItωtωUIuiptiCOupC2瞬时功率以2交变，有正有负，一个周期内刚好互相抵消UCIu电流超前电压900下页上页波形图及相量图：4.基尔霍夫定律的相量形式0)(ti同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示：上式表明：流入某一结点的所有正弦电流用相量表示时仍满足KCL；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足KVL。0I0)(tu0U下页上页0,0IU即：足基尔霍夫定律注意：有效值不一定满CjIUCC)5(例1试判断下列表达式的正、误：Liju)1(05cos5)2(tiCUjI)3(LLLIUX)4(LLILjU)6(dtdiCu)7(ILjUUmmIUIUCj1L下页上页例2A1A2A0Z1Z2U已知电流表读数：A1＝8AA2＝6A为电容，为电阻，）（若211ZZA0＝?为何元件时，为电阻，）（212ZZA0＝I0max=?为何元件时，为电感，若）（213ZZA0＝I0min=?解AI10681220）（AIZ14682max02为电阻，）（AIZ268,3min02为电容）（下页上页U2I0I1IU2I0I1I例3)(:),5cos(2120)(tittu求已知解0120U2054jjjXL1002.051jjjXC相量模型Uj20-j101I2I+_153IICLjXUjXURUIIII321)101201151(0120jjAtti)9.365cos(210)(下页上页+_15u4H0.02FiAj9.361068例4)(:),1510cos(25)(6tuttiS求已知+_5uS0.2Fi解155I5102.010166jjjXC55155jUUUCRS相量模型+_5SUI－j5I下页上页RUCUSUV30225例5?,78,50BCACABUVUVU问：已知j40jXL30CBAI解IIIUAB50)40()30(22VUVUAILR40,30,178ACUVUBC3240)30()78(22Ij40I30BCUABUACU下页上页22)40()30(BCU例6图示电路I1=I2=5A，U＝50V，总电压与总电流同相位，求I、R、XC、XL。0CCUU设U-jXC1I2I+_RIjXLUC+-解051I452555jI4550U252505LLXX21025055CLXRXR令等式两边实部等于实部，虚部等于虚部下页上页)2222(50j52jIRjXjL5)55(例7图示电路为阻容移相装置，如要求电容电压滞后于电源电压/3，问R、C应如何选择。IjXIRUCS解CSjXRUICCCSjXjXRUUSUjXC+_RI+-CU360tanCR上页CSCCjXRUjXUCRj111ωCjR