第3章控制系统的时域分析

第3章控制系统的时域分析内容提要控制系统在典型输入信号作用下的动态过程的品质及稳态性能直接表征了系统的优劣。系统的稳定性是系统正常工作的首要条件，系统的稳定性完全由系统自身的结构和参数决定，而与系统的输入无关；系统的稳态误差是系统的稳态性能指标，它标志着系统的控制精度；系统的时域响应可定性或定量分析系统的动态性能。介绍了如何用MATLAB和SIMULINK进行瞬态响应分析。知识要点系统稳定的充分必要条件，Routh判据，误差与稳态误差的定义，静态误差系数及系统的型号，线性定常一阶、二阶系统的时域响应及动态性能的计算，高阶系统的主导极点，偶极子及高阶系统的降阶。目录§3.1线性定常系统的时域响应§3.2控制系统时域响应的性能指标§3.3线性定常系统的稳定性§3.4系统的稳态误差§3.5一阶系统的时域响应§3.6二阶系统的时域响应§3.7高阶系统的瞬态响应§3.8用MATLAB和SIMULINK进行瞬态响应分析§3.1线性定常系统的时域响应对于一单输入单输出n阶线性定常系统，可用一n阶常系数线性微分方程来描述。1)-(3)()()()()()()()(1111011110trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn系统在输入信号r(t)作用下，输出c(t)随时间变化的规律，即式(3-1)微分方程的解，就是系统的时域响应。由线性微分方程理论知，方程式的解由两部分组成，即c(t)=c1(t)+c2(t)(3-2)c1(t)——对应齐次微分方程的通解c2(t)——非齐次微分方程的一个特解从系统时域响应的两部分看，稳态分量(特解)是系统在时间t→∞时系统的输出，衡量其好坏是稳态性能指标：稳态误差。系统响应的暂态分量是指从t=0开始到进入稳态之前的这一段过程，采用动态性能指标(瞬态响应指标)，如稳定性、快速性、平稳性等来衡量。返回§3.2控制系统时域响应的性能指标3.2.1稳态性能指标采用稳态误差ess来衡量，其定义为：当时间t趋于无穷时，系统输出响应的期望值与实际值之差。即)]()([limtctretss1．上升时间tr：从零时刻首次到达稳态值的时间,即阶跃响应曲线从t=0开始第一次上升到稳态值所需要的时间。3.2.2动态性能指标2.峰值时间tp：从零时刻到达峰值的时间，即阶跃响应曲线从t=0开始上升到第一个峰值所需要的时间.3.最大超调量Mp：阶跃响应曲线的最大峰值与稳态值的差与稳态值之比，即%100)()()(cctcMpp4.调整时间ts：阶跃响应曲线进入允许的误差带(一般取稳态值附近±5%或±2%作为误差带)并不再超出该误差带的最小时间，称为调整时间(或过渡过程时间)。5.振荡次数：在调整时间ts内响应曲线振荡的次数。返回3.3线性定常系统的稳定性3.3.1稳定性的概念若控制系统在足够小的初始偏差的作用下，其过渡过程随时间的推移，逐渐衰减并趋于零，即具有恢复原平衡状态的能力，则称这个系统稳定。否则，称这个系统不稳定。3.3.2线性定常系统稳定的充分必要条件设n阶线性定常系统的微分方程为对式(3-7)作拉氏变换，得7)-(3)()()()()()()()(1111011110trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn8)-(3)()()()()()(sDsNsRsDsMsC在式(3-8)中取R(s)=0，得到在初始状态影响下系统的时间响应(即零输入响应)为若pi为系统特征方程D(s)=0的根且当pi各不相同时，有若系统所有特征根pi的实部均为负值，即Re［pi］0则零输入响应(暂态响应)最终将衰减到零，即这样的系统就是稳定的。)()()(sDsNsCnitpiieAsDsNLsCLtc111)()()]([)(0)(limtct反之，若特征根中有一个或多个根具有正实部时，则暂态响应将随时间的推移而发散，即这样的系统就是不稳定的。综上所述，系统稳定的充分必要条件是系统特征根的实部均小于零，或系统的特征根均在根平面的左半平面。)(limtct3.3.3劳斯判据设n阶系统的特征方程为D(s)=a0sn+a1sn-1+…+an-1s+an=a0(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0将上式的系数排成下面的行和列，即为劳斯阵列(劳斯表)sna0a2a4a6……sn-1a1a3a5a7……sn-2b1b2b3b4……sn-3c1c2c3c4……………s2f1f2s1g1s0h1,,,,,,141713131512121311171603151402131201bbbaacbbbaacbbbaacaaaaabaaaaabaaaaab其中劳斯判据给出了控制系统稳定的充分条件是，劳斯表中第一列所有元素均大于零。0322130asasasa000030130211312203asaaaaasaasaas例3-1已知三阶系统特征方程为劳斯阵列为故得出三阶系统稳定的充要条件为各系数大于零，且a1a2a0a3例3-2已知系统特征方程方程无缺项，且系数大于零。列劳斯表：劳斯表中第一列元素大于零，系统是稳定的，即所有特征根均s平面的左半平面。0611126234ssss66145566616116121116612101234sssss例3-3系统特征方程为各项系数均大于零。列劳斯表：劳斯表中第一列各元素符号不完全一致，系统不稳定。第一列元素符号改变两次，因此系统有两个右半平面的根。065232345sssss151117415112565223356135210122345sssssss（改变符号一次）（改变符号一次）同乘以响判别同一行乘以系数，不影例3-4系统特征方程它有一个系数为负的，有劳斯判据的系统不稳定。但究竟有几个右根，仍需列劳斯表：劳斯表中第一列元素符号改变两次，系统有2个右半平面的根06423ss65.264110123ssss有两种特殊情况需要说明：＊1.劳斯表中某一行的第一个元素为零，而该行其它元素并不为零，则在计算下一行第一个元素时，该元素必将趋于无穷大，以至劳斯表的计算无法进行。＊2.劳斯表中某一行的元素全为零。则表示在s平面内存在一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根，系统是不稳定的。例3-6系统特征方程列劳斯表劳斯表中第一列元素符号没有改变，系统没有右半平面的根，但由P(s)=0求得即系统有一对共轭虚根，系统处于临界稳定，从工程角度来看，临界稳定属于不稳定系统。0160161023sss1600200016010)(16010161011223sssssPss辅助多项式0160102s42,1js例3-7系统的特征方程为列劳斯表：劳斯表中第一列元素符号改变一次，系统不稳定，且有一个右半平面的根，由P(s)=0得0846322345sssss83.3383128)(0128862)(862431012332445ssssssPssssPss086224ss214,32,1jss3.3.4赫尔维茨判据设系统的特征方程式为以特征方程式的各项系数组成如下行列式0122110nnnnnasasasasanaaaaaaaaaaaaaaaaaaa234567012345012301000000赫尔维茨判据指出，系统稳定的充分必要条件是在a00的情况下，上述行列式的各阶主子式Δi均大于零，即0000024512301330212301211naaaaaaaaaaaaaaaaa例3-8系统的特征方程为列出行列式Δ由赫尔维茨判据，该系统稳定的充分必要条件是：)0(00322130aasasasa312301000aaaaaa00023330212301211aaaaaaaaaa或写成系统稳定的充分必要条件为a00a10a20a30a1a2-a0a30例3-9二阶系统的特征方程为列出行列式Δ由Hurwitz判据，系统稳定的充分必要条件为a00a10a1a20即二阶系统稳定的充分必要条件是特征方程式的所有系数均大于零。02120asasa2010aaa3.3.5系统参数对稳定性的影响应用代数判据不仅可以判断系统的稳定性，还可以用来分析系统参数对系统稳定性的影响。例3-10系统结构图如图3-2所示，试确定系统稳定时K的取值范围解系统的闭环传递函数其特征方程式为KsssKsRsC56)()(23056)(23KssssD列劳斯表按劳斯判据，要使系统稳定，应有K0，且30-K0，故K的取值范围为0K30KsKsKss01230630651例3-11系统结构图如图3-3所示，试分析参数K1，K2，K3和T对系统稳定性的影响。解系统的闭环传递函数特征方程为32123321)()(KKKsTsKKKsRsC0)(32123KKKsTssD由于特征方程缺项，由劳斯判据知，不论K1，K2，K3和T取何值系统总是不稳定的，称为结构不稳定系统。欲使系统稳定，必须改变系统的结构。如在原系统的前向通道中引入一比例微分环节，如图3-4所示。变结构后系统的闭环传递函数为特征方程为)1()1()1()()(3212321sKKKTsssKKKsRsC0)(32132123KKKsKKKsTssD列劳斯阵列：系统稳定的充分必要条件为即对于结构不稳定系统，改变系统结构后，只要适当选配参数就可使系统稳定。32103213211321232131KKKsTKKKKKKsKKKsKKKTsTKKKT及0,0,03213.3.6相对稳定性和稳定裕量相对稳定性即系统的特征根在s平面的左半平面且与虚轴有一定的距离，称之为稳定裕量。为了能应用上述的代数判据，通常将s平面的虚轴左移一个距离δ，得新的复平面s1，即令s1=s+δ或s=s1-δ得到以s1为变量的新特征方程式D(s1)=0，再利用代数判据判别新特征方程式的稳定性，若新特征方程式的所有根均在s1平面的左半平面，则说明原系统不但稳定，而且所有特征根均位于-δ的左侧，δ称为系统的稳定裕量例3-12检验特征方程式是否有根在s右半平面，以及有几个根在s=-1垂线的右边。解列劳斯表：由劳斯判据知，系统稳定，所有特征根均在s的左半平面。041310223sss42.124101320123ssss令s=s1-1代入D(s)得s1的特征方程式列劳斯表：劳斯表中第一列元素符号改变一次，表示系统有一个根在s1右半平面，也就是有一个根在s=-1垂线的右边(虚轴的左边)，系统的稳定裕量不到1。0142)(12131ssssD121141201112131ssss返回§3.4系统的稳态误差3.4.1误差及稳态误差的定义系统的误差e(t)一般定义为被控量的希望值与实际值之差。即e(t)=被控量的希望值—被控量的实际值对于图3-5所示的反馈控制系统，常用的误差定义有两种1.输入端定义2.输出端定义当图3-5中反馈为单位反馈时，即H(s)=1时，上述两种定义可统一为)()()(tbtrte)()()(tctcter)()()()(tbtrtete误差响应e(t)与系统输出响应c(t)一样，也包含暂态分量和稳态分量两部分，对于一个稳定系统，暂态分量随着时间的推移逐渐消失，而我们主要关心的是控制系统平稳以后的误差，即系统误差响应的稳态分量——稳态误差记为ess。定义稳态误差为稳定系统误差响应e(t)的终值。当时间t趋于无穷时，e(t)的极限存在，则稳态误差为