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第22章一元二次方程华师版22．2一元二次方程的解法第4课时一元二次方程根的判别式对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)：(1)当b2－4ac0时，方程_____________的实数根；(2)当b2－4ac＝0时，方程____________的实数根；(3)当b2－4ac0时，方程____实数根．有两个不相等有两个相等没有1．(3分)(2017·河南)一元二次方程2x2－5x－2＝0的根的情况是()A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根B2．(3分)(2017·锦州)关于x的一元二次方程x2＋4kx－1＝0根的情况是()A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断3．(3分)(2017·上海)下列方程中，没有实数根的是()A．x2－2x＝0B．x2－2x－1＝0C．x2－2x＋1＝0D．x2－2x＋2＝0AD4．(3分)已知一元二次方程x2＋2x－1＝0，则b2－4ac＝____，原方程根的情况是__________________．8有两个不相等的实数根5．(9分)不解方程，判定下列一元二次方程根的情况．(1)16x2＋8x＝－3；解：此方程没有实数根(2)9x2＋6x＋1＝0；解：此方程有两个相等的实数根(3)3(x2＋1)－5x＝0.解：此方程没有实数根6．(3分)(2017·兰州)如果一元二次方程2x2＋3x＋m＝0有两个相等的实数根，那么实数m的取值为()A．m＞98B．m＞89C．m＝98D．m＝897．(3分)(2017·广州)关于x的一元二次方程x2＋8x＋q＝0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是()A．q＜16B．q＞16C．q≤4D．q≥4CA8．(3分)(2017·大连)关于x的方程x2＋2x＋c＝0有两个不相等的实数根，则c的取值范围为____．9．(3分)(2017·潍坊)若关于x的一元二次方程kx2－2x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是_______________．c＜1k≤1且k≠010．(7分)已知关于x的方程x2＋10x＋24－a＝0.(1)若此方程有两个不相等的实数根，求a的范围；(2)在(1)的条件下，当a取满足条件的最小整数，求此时方程的解．解：(1)∵关于x的方程x2＋10x＋24－a＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2－4ac＝100－4(24－a)＞0，解得a＞－1(2)∵a＞－1，∴a的最小整数解为0.∴此时方程为x2＋10x＋24＝0，解得x1＝－4，x2＝－6一、选择题(每小题4分，共16分)11．(2017·通辽)若关于x的一元二次方程(k＋1)x2＋2(k＋1)x＋k－2＝0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是()A12．(2017·包头)若关于x的不等式x－a2＜1的解集为x＜1，则关于x的一元二次方程x2＋ax＋1＝0根的情况是()A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．无法确定C13．(2017·咸宁)已知a，b，c为常数，点P(a，c)在第二象限，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0根的情况是()A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法判断14．等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2－12x＋k＝0的两个根，则k的值是()A．27B．36C．27或36D．18BB二、填空题(每小题4分，共12分)15．(2017·资阳)关于x的一元二次方程(a－1)x2＋(2a＋1)x＋a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_______________．16．若一次函数y＝3x－2与反比例函数y＝kx的图象有两个不同的交点，则k的取值范围是_______________．a＞－18且a≠1k－13且k≠017．定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．若ax2＋bx＋c＝0(a≠0)是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是____．①a＝c；②a＝b；③b＝c；④a＝b＝c.①三、解答题(共32分)18．(10分)在等腰△ABC中，三边分别为a，b，c，其中a＝5，若关于x的方程x2＋(b＋2)x＋6－b＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．解：∵关于x的方程x2＋(b＋2)x＋6－b＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(b＋2)2－4(6－b)＝0，解得b1＝2，b2＝－10(舍去)．∵△ABC为等腰三角形，a＝5，∴△ABC的周长为5＋5＋2＝1219．(10分)(2017·北京)关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0.(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于1，求k的取值范围．解：(1)证明：∵在方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0中，Δ＝[－(k＋3)]2－4×1×(2k＋2)＝k2－2k＋1＝(k－1)2≥0，∴方程总有两个实数根(2)解：∵x2－(k＋3)x＋2k＋2＝(x－2)(x－k－1)＝0，∴x1＝2，x2＝k＋1.∵方程有一根小于1，∴k＋1＜1，解得k＜0，∴k的取值范围为k＜0【综合运用】20．(12分)已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．解：(1)△ABC是等腰三角形．理由：∵x＝－1是方程的根，∴(a＋c)×(－1)2－2b＋(a－c)＝0，∴a＋c－2b＋a－c＝0，∴a－b＝0，∴a＝b，∴△ABC是等腰三角形(2)∵方程有两个相等的实数根，∴(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，∴4b2－4a2＋4c2＝0，∴a2＝b2＋c2，△ABC是直角三角形(3)∵△ABC是等边三角形，∴(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，可整理为2ax2＋2ax＝0，∴x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－1