高中数学必修五-知识点总结【经典】

第1页共1页必五知识点总结第一章：解三角形知识要点一弦定理和余弦定理1弦定理在C∆ΑΒ中abc别角ΑΒC的对边则2sinsinsinabcRC===ΑΒ(RC∆ΑΒ的外接圆的半)2弦定理的变形式2sinaR=Α2sinbR=Β2sincRC=sin2aRΑ=sin2bRΒ=sin2cCR=::sin:sin:sinabcC=ΑΒ3角形面式111sinsinsin222CSbcabCac∆ΑΒ=Α==Β4余弦定理在C∆ΑΒ中2222cosabcbc=+−Α推论bcacbA2cos222−+=Baccabcos2222−+=推论Cabbaccos2222−+=推论abcbaC2cos222−+=二解角形处理角形问题必结合角形全等的判定定理理解斜角形的四类基可解型特别要多角度几何作图角函数定余弦定理勾股定理等角度去理解边边角型问题可能两解一解无解的种情况根据已知条判断解的情况并能确求解1、三角形中的边角关系令角形内角和等于令8代°acbcaB2cos222−+=第2页共2页以角形中任意两边之和大于第边任意两边之差小于第边3角形中大边对大角小边对小角4弦定理中,a=2R·sinA,b=2R·sinB,c=2R·sinC其中R是△ABC外接圆半.5在余弦定理中:2bccosA=222acb−+.6角形的面式:S=21ah,S=21absinC=21bcsinA=21acsinB,S=))(()(cPbPaPP−−⋅−其中h是BC边高P是半周长.2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形令已知两角一边求其它边角常选用弦定理.以已知两边其中一边的对角求另一边的对角常选用弦定理.3已知边求个角常选用余弦定理.4已知两边和它们的夹角求第边和其他两个角常选用余弦定理.5已知两边和其中一边的对角求第边和其他两个角常选用弦定理.3、利用正、余弦定理判断三角形的形状常用方法是边角角边.4、三角形中的三角变换令角的变换因在△ABC中A+B+C=π所sin(A+B)=sinCcos(A+B)=cosCtan(A+B)=tanC2sin2cos,2cos2sinCBACBA=+=+以角形边角关系定理面式弦定理余弦定理r角形内圆半p周长之半3在△ABC中熟记并会证明∠A∠B∠C等差数列的充必要条是∠B=60°△ABC是角形的充必要条是∠A∠B∠C等差数列且abc等比数列.第3页共3页解角形的应用1.坡角和坡度：坡面水面的锐二面角叫做坡角坡面的垂直高度h和水宽度l的比叫做坡度用i表示根据定可知坡度是坡角的即taniα=.lhα2.俯角和仰角：如图所示在同一铅垂面内在目标视线水线所的夹角中目标视线在水视线的方时叫做仰角目标视线在水视线的方时叫做角.3.方位角指方向时针转到目标方向线的水角如B点的方位角α.注仰角角方位角的区别是者的参照同仰角角是相对于水线而言的而方位角是相对于方向而言的4.方向角：相对于某一方向的水角.第4页共4页5.视角：由物体两端射出的两条线在眼球内交而的角叫做视角.第二章：数列知识要点一数列的概念1数列的概念一般地按一定序排列一列数叫做数列数列中的一个数叫做个数列的数列的一般形式可写123,,,,,naaaaLL简记数列{}na其中第一1a也首na是数列的第n也叫做数列的通.数列可看作是定域整数集N∗或它的子集的函数自变小到大取值时该函数对应的一列函数值就是个数列.2数列的类按数列中的多数1穷数列数列中的限个即数限2无穷数列数列中的无限个即数无限.3通式第5页共5页如果数列{}na的第nna数n之间的函数关系可用一个式子表示()nafn=那个式子就叫做个数列的通式数列的通式就是相应函数的解析式.4数列的函数特征一般地一个数列{}na如果第二起一都大于它前面的一即1nnaa+那个数列叫做递增数列;如果第二起一都小于它前面的一即1nnaa+那个数列叫做递数列;如果数列{}na的各都相等那个数列叫做常数列.5递推式某些数列相邻的两或几关系个关系用一个式来表示叫做递推式二等差数列1等差数列的概念如果一个数列第二起一前一的差是同一个常数那个数列久叫做等差数列个常数叫做等差数列的差.即1nnaad+−=常数也是证明或判断一个数列是否等差数列的依据.2等差数列的通式设等差数列{}na的首1a差d则通式()()()11,nmaandanmdnmN+=+−=+−∈.3等差中第6页共6页1若aAb等差数列则A叫做ab的等差中且=2abA+;2若数列{}na等差数列则12,,nnnaaa++等差数列即1na+是na2na+的等差中且21=2nnnaaa+++反之若数列{}na满足21=2nnnaaa+++则数列{}na是等差数列.4等差数列的性质1等差数列{}na中若(),mnpqmnpqN++=+∈则mnpqaaaa+=+若2mnp+=则2mnpaaa+=2若数列{}na和{}nb均等差数列则数列{}nnab±也等差数列3等差数列{}na的差d则{}0nda⇔递增数列{}0nda⇔递数列{}0nda=⇔常数列.5等差数列的前n和nS1数列{}na的前n和nS=()1231,nnaaaaanN−++++++∈L2数列{}na的通前n和nS的关系11,1.,2nnnSnaSSn−==−≥3设等差数列{}na的首1,a差d则前n和()()111=.22nnnaannSnad+−=+6等差数列前n和的性质1等差数列{}na中连续m的和组等差数列即12122,,mmmmaaaaaa++++++++LL21223mmmaaa+++++L,等差数列即232,,,mmmmmSSSSS−−L等差数列第7页共7页2等差数列{}na的前n和()2111==,222nnnddSnadnan−++−0d≠时nS可看作关于n的二函数且含常数3若等差数列{}na共2n+1奇数则()11==,nSnSSaSn++−奇奇偶偶中间且若等差数列{}na共2n偶数则1==.nnSaSSndSa+−偶奇偶奇且7等差数列前n和nS的最值问题设等差数列{}na的首1,a差d则1100ad且即首递时nS最大值且nS的最大值所非负数之和2100ad且即首负递增时nS最小值且nS的最小值所非数之和.等比数列1等比数列的概念如果一个数列第二起一前一的比是同一个零的常数那个数列就叫做等比数列个常数叫做等比数列的比比通常用母q表示0q≠.即()1nnaqqa+=非零常数也是证明或判断一个数列是否等比数列的依据.2等比数列的通式设等比数列{}na的首1a比q则通式()11,,nnmnmaaqaqnmnmN−−+==≥∈.3等比中1若aAb等比数列则A叫做ab的等比中且2=Aab;第8页共8页2若数列{}na等比数列则12,,nnnaaa++等比数列即1na+是na2na+的等比中且212=nnnaaa++⋅反之若数列{}na满足212=nnnaaa++⋅则数列{}na是等比数列.4等比数列的性质1等比数列{}na中若(),mnpqmnpqN++=+∈则mnpqaaaa⋅=⋅若2mnp+=则2mnpaaa⋅=2若数列{}na和{}nb均等比数列则数列{}nnab⋅也等比数列3等比数列{}na的首1a比q则{}1100101naaaqq⇔或递增数列{}1100011naaaqq⇔或递数列{}1nqa=⇔常数列.5等比数列的前n和1数列{}na的前n和nS=()1231,nnaaaaanN−++++++∈L2数列{}na的通前n和nS的关系11,1.,2nnnSnaSSn−==−≥3设等比数列{}na的首1a比()0qq≠则()11,1.1,11nnnaqSaqqq==−≠−由等比数列的通式前n和式可知已知1,,,,nnaqnaS中任意个便可建立方程组求出另外两个.6等比数列的前n和性质设等比数列{}na中首1a比()0qq≠则第9页共9页1连续m的和组等比数列即12122,,mmmmaaaaaa++++++++LL21223mmmaaa+++++L,等比数列即232,,,mmmmmSSSSS−−L等差数列21q≠时()()11111111111111nnnnnaqaaaaaSqqqqqqqqq−==⋅−=−⋅=⋅−−−−−−−设11atq=−则nnStqt=−.四递推数列求通的方法总结1递推数列的概念一般地把数列的若连续之间的关系叫做递推关系把表达递推关系的式子叫做递推式而把由递推式和初始条给出的数列叫做递推数列.2两个恒等式对于任意的数列{}na恒1()()()()12132431nnnaaaaaaaaaa−=+−+−+−++−L2()23411231,0,nnnnaaaaaaanNaaaa+−=×××××≠∈L3递推数列的类型求通方法总结类型一式法已知nS即12()naaafn+++=L求na用作差法{11,(1),(2)nnnSnaSSn−==−≥类型二累法已知数列{}na的首1a,且()()1,nnaafnnN++−=∈求na通.第10页共10页给递推式()()1,nnaafnnN++−=∈中的n依取1,2,3……n-1,可得到面n-1个式子()()()()21324311,2,3,,1.nnaafaafaafaafn−−=−=−=−=−L利用式()()()()12132431nnnaaaaaaaaaa−=+−+−+−++−L可得()()()()11231.naaffffn=+++++−L类型累乘法已知数列{}na的首1a,且()()1,nnafnnNa++=∈求na通.给递推式()()1,nnafnnNa++=∈中的n一取1,2,3……n-1,可得到面n-1个式子()()()()23412311,2,3,,1.nnaaaaffffnaaaa−====−L利用式()23411231,0,nnnnaaaaaaanNaaaa+−=×××××≠∈L可得()()()()11231.naaffffn=×××××−L类型四构造法形如qpaann+=+1nnnqpaa+=+1qpbk,,,常数的递推数列都可用定系数法转比k的等比数列后再求naqpaann+=+1解法把原递推式转)(1taptann−=−+其中pqt−=1再利用换元法转等比数列求解nnnqpaa+=+1解法该类型较要复杂一些一般地要在原递推式两边同除1+nq得qqaqpqannnn111+•=++引入辅数列{}nb其中nnnqab=得qbqpbnn11+=+再应用qpaann+=+1的方法解决第11页共11页类型五倒数法已知数列{}na的首1a,且()1,0,nnnpaarnNqar++=≠∈+求na通.11111111nnnnnnnnnnpaqarrqrqaqarapaapapapap+++++=⇔=⇔=+⇔=⋅++设1111,.nnnnbbaa++==则1nnrqbbpp+∴=⋅+若,rp=则11=nnnnqqbbbbpp++=+⇔−即数列{}nb是qp差的等差数列.若,rp≠则1nnrqbbpp+=+转换类型四.五数列常用求和方法令.式法直接应用等差数列等比数列的求和式整数的方和式立方和式等式求解.以.组求和法一个数列的通式是由若个等差或等比或可求和的数列组则求和时可用组求和法别求和而后相.3.裂相消法第12页共12页把数列的通拆两之差在求和时一些负相互抵消于是前次和就变了首尾少数之和.4.错位相法如果一个数列的各是由一个等差数列和一个等比数列对应的乘组的时可把式子121nnnSaaaa−=++++L的两边同乘比(01)qqq≠≠且得到121nnnqSaqaqaqaq−=++++L两式错位相整理即可求出nS.5常用式1方和式()()()22221211216nnnnn++++−+=L2立方和式()()()22333311211212nnnnnn+++−+=+++−+=LL3裂式()()()1111111;11.1111;1nnnnnnkknnknnnknknnnnk=−=⋅−++++=+−=⋅+−+