中学数学建模

中学数学建模论文辅导范中广郑州师范学院数学系全国中学生数理化学科能力竞赛河南赛区2011-03-19主要内容数学模型与数学建模数学建模案例学习论文形成选题--身边的数学论文写作一种科学只有成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步。——马克思数学的特点不仅在于它的概念的抽象性、逻辑的严密性和结论的确定性，而且在于它的应用的广泛性。一数学模型与数学建模数学模型是以数学符号、数学表达式、程序、图形等为工具对现实问题或实际课题的本质属性的抽象而又简洁的刻画，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略等。数学问题数学建模一般并非现实问题的直接翻版，它们的建立常常既需要人们对现实问题有比较深入细微的观察和分析，又需要人们能灵活巧妙地利用各种数学知识。这种应用各种知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程被称为数学建模。一数学模型与数学建模数学建模的起源数学建模是在20世纪60和70年代进入一些西方国家大学的，我国的几所大学也在80年代初将数学建模引入课堂。经过20多年的发展现在绝大多数本科院校和许多专科学校都开设了各种形式的数学建模课程和讲座，为培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力开辟了一条有效的途径。大学生数学建模竞赛最早是1985年在美国出现的，1989年在几位从事数学建模教育的教师的组织和推动下，我国几所大学的学生开始参加美国的竞赛，而且积极性越来越高，近几年参赛校数、队数占到相当大的比例。可以说，数学建模竞赛是在美国诞生、在中国开花、结果的。1992年由中国工业与应用数学学会组织举办了我国10城市的大学生数学模型联赛，74所院校的314队参加。教育部领导及时发现、并扶植、培育了这一新生事物，决定从1994年起由教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同主办全国大学生数学建模竞赛，每年一届。十几年来这项竞赛的规模以平均年增长25%以上的速度发展。数学建模的起源数学建模的意义1、培养创新意识和创造能力2、训练快速获取信息和资料的能力3、锻炼快速了解和掌握新知识的技能4、培养团队合作意识和团队合作精神5、增强写作技能和排版技术6、荣获国家级奖励有利于保送研究生7、荣获国际级奖励有利于申请出国留学8、更重要的是训练人的逻辑思维和开放性思考方式中学数学建模产生的历史背景社会上对造成学生应用意识淡薄、应用能力低下的数学现状感到不满；学生学习数学的兴趣不大，缺少学习的主动性。数学应用范围的不断扩展，迫切要求数学教育作出反应。计算机在高速、智能、小型、价廉四个方面迅速发展，为数学建模教学提供了物质基础和可能性。中学数学建模教学的困难中学数学课程内容多，学时少，完成教学计划尚不十分从容，还要应付会考、高考，没有时间搞建模；能适合中学生水平能结合课本教学内容的建模问题不多，使得有心尝试者有“巧妇难为无米之炊”的感觉。在教学第一线的教师常常有较重教学负担，他们对正常教学内容比较熟悉，课外内容相对陌生。而建模步骤中不仅要求有相应的数学知识，还有涉及非数学领域的知识，除了数学方法和物理方法外，还经常需要计算机进行模拟、试算、检验等，这不仅对学生，而且对教师都会遇到知识或方法上的困难。数学建模的一般步骤模型准备模型假设模型构成模型求解模型分析模型检验模型应用模型准备了解实际背景明确建模目的搜集有关信息掌握对象特征形成一个比较清晰的‘问题’模型假设针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设在合理与简化之间作出折中模型构成用数学的语言、符号描述问题发挥想像力使用类比法尽量采用简单的数学工具数学建模的一般步骤模型求解各种数学方法、软件和计算机技术如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析模型分析模型检验与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性模型应用数学建模的一般步骤数学建模案例例1三村短路问题有三个村庄，由于条件所限，打算合建一所小学，并且共同修筑从小学到各村的道路。问应该将小学的地址选在什么地方，才能使修筑的道路总长度最短呢？例1三村短路问题假设三个村庄的位置分别为A1、A2、A3，小学的位置为点P，则三村短路问题可叙述为：A1、A2、A3为平面上三个不同的点，在平面上求一点P，使得它到这三个已知点的距离之和最小。123SPAPAPA例1三村短路问题解法一在平面上建立直角坐标系，设已知Ai坐标为（xi，yi）（i=1，2，3），所求P点坐标为（x，y）。则222222112233()()()()()()Sxxyyxxyyxxyy我们只需求二元函数S＝f（x，y）的最小值点即可。例1三村短路问题解法二（几何方法）A1A2A3P例1三村短路问题解法三（物理方法）A1A2A3P例2双层玻璃的功效在寒冷的北方，许多住房的玻璃窗都是双层玻璃的，现在我们来建立一个简单的数学模型，研究一下双层玻璃到底有多大的功效。比较两座其他条件完全相同的房屋，它们的差异仅仅在窗户不同。不妨可以提出以下假设：1、设室内热量的流失是热传导引起的，不存在户内外的空气对流。2、室内温度T1与户外温度T2均为常数。3、玻璃是均匀的，热传导系数为常数。设玻璃的热传导系数为k1，空气的热传导系数为k2，单位时间通过单位面积由温度高的一侧流向温度低的一侧的热量为Qddl室外T2室内T1TaTb由热传导公式Q=kΔT/d12121aabbTTTTTTQkkkdld---===解得：()1212112121112(1)22klkdTTTklkdTTQkkddklkd++-+-==+例2双层玻璃的功效dd室外T2室内T1121'2TTQkd-=122'2()/()QQklkd=+类似有1216~32kk=一般1'18/QQld£+故记h=l/d并令f(h)=181h+例2双层玻璃的功效此函数的图形为01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91hf(h)例2双层玻璃的功效一个雨天，你有件急事需要从家中到学校去，学校离家不远，仅一公里，况且事情紧急，你来不及花时间去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校。假设刚刚出发雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你将被大雨淋湿。一个似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。但如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑是不是最好的策略？试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。例3雨中行走问题（一）建模准备建模目标：在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的程度最少。主要因素：淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度。（二）模型假设及符号说明1、把人体视为长方体，身高h米，宽度w米，厚度d米。淋雨总量用C升来记。2、降雨大小用降雨强度I厘米/时来描述，降雨强度指单位时间平面上降下雨水的厚度。在这里可视其为一常量。3、风速保持不变。4、你以恒定的速度v米/秒跑完全程D米。（三）模型建立与计算2122()()0.01(/)(/)3600SwhdhwhDtVIIImhms、不考虑降雨方向的情况。（你的前后左右和上方都淋雨）淋雨面积：米雨中行走的时间：秒降雨强度：（cm/h）=0.013210()3600360010002/1.50.50.22.2SItDISVDISVDmIcmhhmwmdmSm0.01淋雨总量：C=米（升）（模型中，，为参数，而为变量。）结论：淋雨量与速度成反比。这也验证了尽可能快跑能减少淋雨量。若取，，，，，计算。你在雨中行走的最大速度v=6米/秒，则计算得你在雨中行走了167秒，即2分47秒。从而可以计算被淋的雨水总量为C=2.041升。经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47秒，但被淋了2升的雨水，大约有4酒瓶的水量。这是不可思议的。表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合实际。原因是什么呢？(/),,(1),rmsppIIrp原因：不考虑降雨方向的假设，使问题过于简单化。2、考虑降雨方向若记雨滴下落速度为雨滴的密度为表示在一定的时刻在单位体积的空间内由雨滴所占的空间的比例数，也称为降雨强度系数，即。雨滴下落的反方向dwhθ人前进的方向2sin(sin)(cos)(sin(cos))DwdprDvvwdrDwhprvvDpwdrhrvCv121因为考虑了降雨的方向，淋雨的部位只有顶部和前面，分两部分计算淋雨量：1）顶部的淋雨量C表示在雨中行走的时间，表示顶部面积，表示雨滴垂直下落的速度2）前表面淋雨量C淋雨总量C=C6404/,23600/,1.39106.9510(0.8sin6cos1.5)190(0.8/1.5)rmsIcmspCvvvCv-4若取则可以看到：淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关。问题转化为给定，如何选择，使得最小。）当时，C=6.9510结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量达到最小。430436/11.3101.132606/14.7101.47msCmmsCm-4假设你以的速度在雨中猛跑，则计算得升6.6510（1.5+（0.43+3））当时，C=）V结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量达到最小。假设你以的速度在雨中猛跑，则计算得升000039018090,90C-4000-4-4）当时，雨滴将从后面向你落下。C=6.9510（（0.8sin+6cos）/v+1.5）令=+90，则00.8sin(90+)+6cos(90+)C=6.9510（+1.5）v=6.9510（（0.8cos6sin）/v+1.5）当0时，可能取负值，这是不可能的。sin(sin)(cos(sin))vrDpwhrvvDpwdrhrvCv出现这个矛盾的原因：我们给出的基本模型是针对雨从你的前面落到你身上的情形，对于这种情况还需再讨论。1）当行走的速度慢于雨滴的水平运动速度，即，雨滴将淋在你背上，而淋在背上的雨水量是C=淋雨总量为40cos2)sinsin6.95100.8cos4sin302/DwdprvrrCms0当时，C取最小值C=再次代入数据，得结果表明：当行走速度等于雨滴下落的水平速度时，淋雨量最小，仅仅被头顶上的雨水淋湿。特例，若雨滴是以120的角度落下，即雨滴以的角度从背后落下，你应该以的速度行走。sin(sin)cossin()1)cossin0,vrDpwhvrvdrhDpwrvvdrv此时，淋雨量为C=0.24升。这意味着你刚好跟着雨滴前进，前后都没淋雨。当行走速度快于雨滴的水平运动速度，即时，你不断地追赶雨滴，雨水将淋湿你的前胸。淋雨量是C=淋雨总量为C=当尽可能大时，C才可能小。0cossin0,sinsin6/,30drvvrrCvms2）当尽可能小时，C才可能小。而时，只有v，才可能小。取时，则淋雨量C=0.77升。结论：若雨是迎着你前进的方向向你落下，这时的策略很简单，应以最大的速度向前跑，若雨是从你的背后落下，你应控制你在雨中的行走速度，让它刚好等于雨滴速度的水平分量。三数学应用论文形成选题：问题的提出；了解背景知识，做初步分析；确定变量和参量，合理假设化简并抓住关键，获取数据（书籍，网络，自己采集）；数据整理（去糙取精，规范化，量化）建模：列数学式子，给定计算方法；模型求解；推理严谨，计算准确；检验结论，误差估计，参数的灵敏性表述成文，给出问题解决方案全国中学生数理化能力大赛笔试：考察逻辑推理，计算的能力数学小论文：运用自己的数学知识和分析、想象能力探讨或解决一个实际问题。论文是对某一实际问题的探讨、研究，表述新的科学研究成果或创见的文章，是科学论文，它隶属于论说文范畴。它不是感想，也不是调查报告。要求真实可靠，不是编