4.3用频率特性法分析系统稳定性

第三节用频率特性法分析系统稳定性第四章频率特性法一、开环频率特性和闭环特征式的关系二、相角变化量与系统稳定性的关系三、乃魁斯特稳定判椐四、对数频率稳定判椐五、相对稳定性及稳定裕量第三节用频率特性法分析系统稳定性一、开环频率特性和闭环特征式的关系设系统的开环传递函数：G(s)H(s)C(s)–R(S)G(s)=M1(s)N1(s)H(s)=M2(s)N2(s)系统的结构图G(s)H(s)=M(s)N(s)M1(s)·M2(s)N1(s)·N2(s)=系统的闭环传递函数为：Φ(s)=1+G(s)H(s)G(s)M(s)M1(s)N1(s)1+N(s)=N2(s)M1(s)N(s)+M(s)=D(s)B(s)=开环特征多项式：N(s)=0闭环特征多项式：D(s)=0设F(s)=1+G(s)H(s)N(s)+M(s)N(s)==kfΠ(TiS+1)ni=1Π(TjS+1)nj=1二、相角变化量和系统稳定性的关系1相角变化量相角变化量为：ReIm0ω=0ω∞TS+1的幅相频率特性曲线根的实部为负，系统稳定，相角增量为900。第三节用频率特性法分析系统稳定性ω=0→∞Δ∠(jωT+1)G(s)=TS+1G(jω)=jωT+1=φ(∞)–φ(0)=90o-0o=90oReIm0TS-1幅相频率特性曲线根的实部为正，系统不稳定，相角增量为-900。TS-1因子的相角变化量为：第三节用频率特性法分析系统稳定性ω=0→∞Δ∠(jωT-1)=90o-180o=-90oω=0ω∞2.系统特征式的相角变化量相角变化量为：1）系统开环是稳定的，则第三节用频率特性法分析系统稳定性F(jω)=1+G(jω)H(jω)ω=0→∞Δ∠F(jω)=Δ∠D(jω)-Δ∠N(jω)ω=0→∞ω=0→∞Δ∠N(jω)=n·90oω=0→∞D(jω)N(jω)=设系统为n阶设闭环系统稳定，则Δ∠D(jω)=n·90oω=0→∞此时必有Δ∠F(jω)=0ω=0→∞若开环系统是稳定的，闭环系统稳定，则F(jω)曲线绕原点相角变化量为零。n-p个稳定极点第三节用频率特性法分析系统稳定性Δ∠N(jω)=(n-p)·90o-p·90oω=0→∞=(n-2p)·90o2）系统开环有p个不稳定的极点，则有设系统闭环稳定，则Δ∠D(jω)=n·90oω=0→∞Δ∠F(jω)=ω=0→∞Δ∠D(jω)-ω=0→∞Δ∠N(jω)ω=0→∞=n·90o-(n-2p)·90o=2p·90o=p·180o若系统开环有p不稳定极点，则闭环稳定的充要条件是：F(jω)曲线相角变化量为p.1800，即p/2周。三、奈魁斯特稳定判据F(jω)的原点-10ωReImG(jω)H(jω)1.G(s)H(s)中没有积分环节01ω1+G(jω)H(jω)ReIm第三节用频率特性法分析系统稳定性G(jω)H(jω)的(-1,j0)点F(s)=1+G(s)H(s)奈氏稳定判据可表述为：设开环传递函数有p个不稳定的极点，当ω=0→∞时，系统开环幅相特性曲线G(jω)H(jω)逆时针方向绕(-1,j0)点的周数N=p/2，即转过p.1800则闭环系统是稳定的。否则，闭环系统不稳定。第三节用频率特性法分析系统稳定性(a)系统的G(jω)H(jω)曲线如图例试判断系统的稳定性。p=1，相角变化量为-1800，系统不稳定。P=1ω=0ω-10ReIm第三节用频率特性法分析系统稳定性ω=∞P=2-1ReIm0p=2，相角变化量为2×1800，系统稳定。(b)ω=0ωω=∞2.含有积分环节时的奈氏判据若系统开环传递函数中包含有ν个积分环节，则先绘出ω=0+→∞的幅相频率特性曲线，然后将曲线进行修正后，再使用奈氏判据来判断系统的稳定性。在ω=0+开始，逆时针方向第三节用频率特性法分析系统稳定性修正方法：补画一个半径无穷大、相角为υ.900的大圆弧，即ω=0→0+的曲线。ReIm0ω=0π2ω=0+(a)-1ω=∞例υ为积分环节的个数，p为不稳定极点的个数，试判断闭环系统的稳定性。第三节用频率特性法分析系统稳定性解：υ=1奈氏曲线的相角变化量为p.1800，系统是稳定的。修正系统的奈氏曲线如图ReIm0ω=0ω=0+(b)-1ω=∞υ=2奈氏曲线的相角变化量为p.1800，系统是稳定的。修正-πReIm0ω=0ω=0+(c)-1ω=∞υ=3奈氏曲线的相角变化量为p.1800，系统是稳定的。修正-3π2ReIm0R=∞ω=0ω=0+(d)-1ω=∞υ=1奈氏曲线的相角变化量为p.1800，系统是稳定的。修正π2例已知系统开环传递函数试判断闭环系统的稳定性。解：第三节用频率特性法分析系统稳定性G(s)H(s)=S(TS-1)KG(jω)H(jω)=jω(jωT-1)Kφ(ω)=-90o-tg-1ωT-1A(ω)=ω1+(ωT)2K系统开环频率特性为：ω=0+A(ω)=∞φ(ω)=90oω=∞A(ω)=0φ(ω)=180o特殊点：奈氏曲线：ReIm0ω=0+-1ω=∞υ=1ω=0曲线顺时针方向绕过(-1,j0)点的，所以系统不稳定。例设系统的开环传递函数为试判断闭环系统的稳定性。1)T1T2曲线没有包围(-1,j0)点，系统是稳定的。ReIm0-1ω=0+ω=0ω=∞奈氏曲线P=0φ(0+)-1800第三节用频率特性法分析系统稳定性G(s)H(s)=K(T1S+1)S2(T2S+1)解：2)T1T2曲线包围了(-1,j0)点，系统不稳定。ReIm0-1ω=0+ω=0ω=∞奈氏曲线P=0φ(0+)-1800四、对数频率稳定判据若规定G(jω)H(jω)曲线沿相角增加的方向，从上往下穿越负实轴上(-1,j0)点左侧为正穿越，正穿越次数为N+。从下往上的穿越为负穿越，负穿越次数为N-。G(jω)H(jω)曲线起始或终止于负实轴上，算作1/2次穿越。奈氏稳定判据可表述为：第三节用频率特性法分析系统稳定性N=NN=2P系统的奈氏图与伯德图的对应关系_G(jω)H(jω)+-1,j0ωω=0ReIm00ω-π_+0Φ(ω)ωωc第三节用频率特性法分析系统稳定性ω=∞奈氏稳定判据用于对数频率特性曲线：L(ω)0区段内，奈氏曲线对-1800线的正、负穿越次数之差为p/2，则系统稳定。例5-12试用奈氏稳定判据和对数频率稳定判据判别闭环系统的稳定性。第三节用频率特性法分析系统稳定性G(s)H(s)=S(1+0.02S)(1+0.2S)100解:1)绘出系统奈氏曲线，并确定曲线与实轴的交点。ReImω=0ω=∞0-1ω=0+G(jω)H(jω)=jω(1+0.02jω)(1+0.2jω)100=ω[(1+0.0004ω2)(1+0.04ω2)]-22ω+j(0.4ω2-100)令虚部等于零：Q(ω)=0.4ω2-100=0ω2=250得求出曲线与实轴的交点：P(ω)=(1+0.0004ω2)(1+0.04ω2)-22ω2=250=-2212.1∣P(ω)︱1,系统不稳定。2)系统的伯德图转折频率：系统不稳定。ω1=5,ω2=50L(ω)/dB550-20dB/decωcωω-60dB/dec-40dB/dec-2002040-180-900第三节用频率特性法分析系统稳定性N+-N-=-1≠2P_五、系统的相对稳定性及稳定裕量根据奈氏判据可知，最小相位系统是否稳定，主要看G(jω)H(jω)曲线是否绕过点(-1,j0)。奈氏曲线离点(-1,j0)越远，则系统的相对稳定性越好。可用相位裕量和幅值裕量两个性能指标来衡量来衡量系统的相对稳定性。第三节用频率特性法分析系统稳定性γ00—系统不稳定ReIm0γφωc正相位裕量G(jω)相位裕量：第三节用频率特性法分析系统稳定性γ=φ(ωc)+180o1.相位裕量γωcG(jωc)H(jωc)=1γ00—系统稳定—穿越频率ReIm0γ负相位裕量G(jω)ωcφ2.幅值裕量Kg幅值裕量：系统稳定系统不稳定Kg1Kg1第三节用频率特性法分析系统稳定性φ(ωg)=-180oKg=G(jωg)H(jωg)1A(jωg)1=ReIm0Kg1ωg-1正幅值裕量G(jω)ReIm0Kg1ωg-1G(jω)负幅值裕量对数曲线上相位和幅值裕量:ωc正幅值裕量正相位裕量ωgγKg120lg0-90ω-180ωL(ω)/dB第三节用频率特性法分析系统稳定性ωc负幅值裕量负相位裕量ωgγKg120lg0-90ω-180ωL(ω)/dB例某位置控制系统的结构如图。试绘制系统开环的伯德图，并确定系统的相位稳定裕量γ。θr(s)θc(s)–10S(0.25S+1)(0.1S+1)解：第三节用频率特性法分析系统稳定性绘制出系统伯德图如图:6.32γ-20dB/dec-60dB/dec-40dB/dec第三节用频率特性法分析系统稳定性10S(0.25S+1)(0.1S+1)G(s)=L(ω)/dB104ωω-2002040-180-900由图用近似计算式可确定ωc。0.25ωc210≈1ωc=6.32γ=180o+Φ(ωc)=180o-90o-tg-10.25×6.23-tg-10.1×6.23=90o-57.67o-32.3o=0.03o返回