卷积码的维特比译码

卷积码的维特比译码卷积编码器自身具有网格结构，基于此结构我们给出两种译码算法：Viterbi译码算法和BCJR译码算法。基于某种准则，这两种算法都是最优的。1967年，Viterbi提出了卷积码的Viterbi译码算法，后来Omura证明Viterbi译码算法等效于在加权图中寻找最优路径问题的一个动态规划（DynamicProgramming）解决方案，随后，Forney证明它实际上是最大似然（ML，MaximumLikelihood）译码算法，即译码器选择输出的码字通常使接收序列的条件概率最大化。BCJR算法是1974年提出的，它实际上是最大后验概率（MAP，MaximumAPosterioriprobability）译码算法。这两种算法的最优化目标略有不同：在MAP译码算法中，信息比特错误概率是最小的，而在ML译码算法中，码字错误概率是最小的，但两种译码算法的性能在本质上是相同的。由于Viterbi算法实现更简单，因此在实际应用比较广泛，但在迭代译码应用中，例如逼近Shannon限的Turbo码，常使用BCJR算法。另外，在迭代译码应用中，还有一种Viterbi算法的变种：软输出Viterbi算法（SOVA，Soft-OutputViterbiAlgorithm），它是Hagenauer和Hoeher在1989年提出的。为了理解Viterbi译码算法，我们需要将编码器状态图按时间展开（因为状态图不能反映出时间变化情况），即在每个时间单元用一个分隔开的状态图来表示。例如（3，1，2）非系统前馈编码器，其生成矩阵为：G(D)=[1+𝐷1+𝐷21+𝐷+𝐷2]（1）图1（a）（3，1，2）编码器（b）网格图（h＝5）假定信息序列长度为h＝5，则网格图包含有h＋m＋1＝8个时间单元，用0到h＋m＝7来标识，如图1（b）所示。假设编码器总是从全0态S0开始，又回到全0态，前m＝2个时间单元对应于编码器开始从S0“启程”，最后m＝2个时间单元对应于向S0“返航”。从图中我们也可以看到，在前m个时间单元或最后m个时间单元，并不是所有状态都会出现，但在网格图的中央部分，在每个时间单元都会包含所有状态，且在每个状态都有2k＝2个分支离开和到达。离开每个状态的上面分支表示输入比特为1（即ui＝1，i表示第i个时间单元），下面的分支表示输入比特为0。每个分支的输出vi由n个比特组成，共有2h＝32个码字，每个码字都可用网格图中的唯一路径表示，码字长度N＝n(h＋m)＝21。例如当信息序列为u＝（11101）时，对应的码字如图1（b）中红线所示，v＝（111，010，001，110，100，101，011）。在一般的（n，k，v）编码器情况下，信息序列长度K*=kh，离开和进入每个状态都有2k个分支，有2K*个不同路径通过网格图，对应着2K*个码字。假设长度K*=kh的信息序列u=(u0,u1uh-1)被编码成长度为N=n(h+m)的码字v=(v0,v1vh+m+1)，在经过一个二进制输入、Q-ary输出的离散无记忆信道（DMC，DiscreteMemorylessChannel）后，接收序列为r=(r0,r1rh+m+1)。也可表示为：u=(u0,u1uK*-1)，v=(v0,v1vN-1)，r=(r0,r1rN-1)，译码器对接收到的序列r进行处理，得到v的估计𝐯̂。在离散无记忆信道情况下，最大似然译码器是按照最大化对数似然函数logP(r|v)作为选择𝐯̂的准则。因为对于DMC，P(𝐫|𝐯)=∏P(𝐫𝒍|𝐯𝒍)ℎ+𝑚−1𝑙=0=∏P(𝑟𝑙|𝑣𝑙)𝑁−1𝑙=0（2）两边取对数后为：logP(𝐫|𝐯)=∑logP(𝐫𝒍|𝐯𝒍)ℎ+𝑚−1𝑙=0=∑logP(𝑟𝑙|𝑣𝑙)𝑁−1𝑙=0（3）其中P(rl|vl)是信道转移概率，当所有码字等概时，这是个最小错误概率译码准则。对数似然函数logP(r|v)，用M(r|v)表示，称为路径度量（pathmetric）；logP(rl|vl)，称为分支度量（branchmetric），用M(rl|vl)表示；logP(rl|vl)称为比特度量（bitmetric），用M(rl|vl)表示，这样（3）式可写为：𝑀(𝐫|𝐯)=∑𝑀(𝐫𝒍|𝐯𝒍)ℎ+𝑚−1𝑙=0=∑𝑀(𝑟𝑙|𝑣𝑙)𝑁−1𝑙=0（4）如果我们只考虑前t个分支，则部分路径度量可表示为：𝑀(𝐫|𝐯)=∑𝑀(𝐫𝒍|𝐯𝒍)𝑡−1𝑙=0=∑𝑀(𝑟𝑙|𝑣𝑙)𝑛𝑡−1𝑙=0（5）对于接收序列r，Viterbi算法就是通过网格图找到具有最大度量的路径，即最大似然路径（码字）。在每个时间单元的每个状态，都增加2k个分支度量到以前存储的路径度量中（加）；然后对进入每个状态的所有2k个路径度量进行比较（比），选择具有最大度量的路径（选），最后存储每个状态的幸存路径及其度量。Viterbi算法：Step1:在t＝m时间单元开始，计算进入每个状态的单个路径的部分度量，存储每个状态的路径（幸存）及其度量；Step2:tt＋1，对进入每个状态的所有2k个路径计算部分度量，并加上前一时间单元的度量。对于每个状态，比较进入该状态的所有2k个路径度量，选择具有最大度量的路径，存储其度量，并删掉其他路径。Step3:如果th+m，返回step2；否则，就停止。Viterbi算法的基本计算“加、比、选”体现在step2。注：实际工程中，在每个状态存储（在step1和step2）的是对应于幸存路径的信息序列，而不是幸存路径自身，这样当算法结束时，就无需再通过估计码字𝐯̂来恢复信息序列𝐮̂。从时间单元m到h，有2v个幸存路径，每个状态（共有2v个状态）一个。随后，幸存路径数就会变少，因为当编码器回到全0态时，状态数就会变少。最后，在时间单元h＋m，就只有一个状态（即全0态），因此，也就只有一个幸存路径了，算法中止。定理1：在Viterbi算法中最后的幸存路径𝐯̂是最大似然路径，即𝑀(𝒓|𝒗̂)≥𝑀(𝒓|𝒗),𝑓𝑜𝑟𝒗≠𝒗̂（6）从实现的角度看，用正整数度量来表示要比用实际的比特度量表示更方便。比特度量M(rl|vl)=logP(rl|vl)可用c2[logP(rl|vl)+c1]来代替，其中c1是任意实数，c2是任意正实数。可证明，如果路径v最大化𝑀(𝐫|𝐯)=∑𝑀(𝐫𝒍|𝐯𝒍)𝑁−1𝑙=0=∑logP(𝑟𝑙|𝑣𝑙)𝑁−1𝑙=0，则它也最大化c2[logP(rl|vl)+c1]，因此可以使用修正的度量，且不影响Viterbi算法的性能。如果选择c1使最小度量为0，则c2可选择为使所有度量近似为整数。这样，由于用整数来近似表示度量，Viterbi算法的性能变成了次最优算法，但通过选择c1和c2可使得这种性能降低非常小。例1：对于二输入、4-ary输出的DMC信道下的Viterbi算法二输入、4-ary输出的DMC如图2所示。该信道的比特度量如图3（a）所示（按照底为10的对数计算），选择c1＝1，c2＝17.3，得到整数度量表如图3（b）所示。图2二输入、4-ary输出DMC信道模型01021211010212110-0.4-0.52-0.7-1.001085011.0-0.7-0.52-0.4105810(a)(b)图3度量表假设图1中的一个码字在这样的信道中传输，接收到的序列为：r＝（111201，111102，111101，111111，011201，120211，120111）(7)对该序列进行Viterbi译码如图4所示。每个状态上的数字表示幸存路径的度量，另一个路径就将被删除（绿线部分）。这样最后的码字（红线部分的输出）判决为：𝐯̂=(111,010,110,011,000,000,000)（5.8）它对应的输入序列为𝐮̂=(11000)。注意：网格图中最后的m＝2个分支是清空寄存器的，不能算作为输入信息序列。0101021112lrlvlrlv图4DMC信道下的Viterbi算法在BSC信道情况下，转移概率为p1/2，接收序列r是2-ary输出的，此时对数似然函数为：logP(r|v)=d(r,v)logp/(1-p)+Nlog(1-p)（9）其中d(r,v)是r和v之间的Hamming距离。由于logp/(1-p)0，且Nlog(1-p)对所有v来说都是一个常数，因此最大似然译码（maxlogP(r|v)）就是最小化Hamming距离（mind(r,v)）。𝑑(𝐫|𝐯)=∑𝑑(𝐫𝒍|𝐯𝒍)ℎ+𝑚−1𝑙=0=∑𝑑(𝑟𝑙|𝑣𝑙)𝑁−1𝑙=0（10）因此，当我们将Viterbi算法应用到BSC信道时，d(rl,vl)成为分支度量，d(rl,vl)为比特度量，该算法就是寻找具有最小度量的路径，即与r汉明距离最近的路径。该算法运算仍然相同，只是用Hamming距离代替了似然函数作为度量，在每个状态的幸存路径是具有最小度量的路径。