8.2立体图形的直观图(1)

前面我们认识了柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的结构特征。为了将这些空间几何体画在纸上，用平面图形表示出来，使我们能够根据平面图形想象空间几何体的形状和结构，这就需要学习直观图的有关知识。一、直观图直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形。是把不完全在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示，因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同。它分为中心投影下画出的直观图和平行投影下画出的直观图。中心投影在绘画作品中多有体现。平行投影可以更形象的表示空间图形，在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形。要画立体图形的直观图，首先要学会画水平放置的平面图形。矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状？观察：如果一个矩形垂直于投影面，投影线不垂直于投影面，则矩形的平行投影是一个平行四边形。斜二测画法问：正方体的每个面都是正方形，但在平面图中有几个面画成正方形？平行四边形？观察正方体的平面图知识探究（一）:水平放置的平面图形的画法思考1:把一个正方形水平放置，从适当的角度观察，给人以平行四边形的感觉，如图.比较两图，其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？思考画一个正方形的直观图。怎样才能画好物体的直观图呢？正方形的水平直观图xyxy水平直观图1.水平方向线段长度不变;2.竖直方向的线段向右倾斜450，长度减半;3.平行线段仍然平行.变化规则00思考2:把一个直角梯形水平放置得其直观图如下，比较两图，其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？思考3:画一个水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图中各顶点的位置，我们可以借助平面坐标系解决这个问题.那么在画水平放置的直角梯形的直观图时应如何操作？x′y′C′ABCDxyA′B′D′xyo思考4:你能用上述方法画水平放置的正五边形的直观图吗？ABCDEA`B`E`C`D`二、斜二测画法在依据平行投影的性质画直观图的方法中，一种较为简单的画图标准是斜二测画法。斜二测画法的步骤：（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成x/轴和y/轴，两轴相交于点O/,且使∠x/O/y/=45°（或135°），它们确定的平面表示水平面。（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x/轴或y/轴的线段。（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段,在直观图中长度变为原来的一半（横不变，纵减半）。规律：两变半（坐标轴夹角，平行于y轴的线段），两不变（平行于x轴的线段，平行关系不改变）x/y/O/xyO例１．用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图。ABCDEFMNOyxO''x'y（1）建立坐标系（2）画坐标轴上的点（横不变，纵减半），xyOABCDEFMNO''x'yABCDEFMN平行坐标轴的线段（平行关系不改变）（3）连线,xyOABCDEFMNO''x'yABCDEFMN擦去辅助线。在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小.1、平面图形的直观图画法（1）建系（2）确定平行线段.x’y’o’(450或1350)xyo平行x轴的线段平行于x’轴平行y轴的线段平行于y’轴（3）确定线段长度.平行x轴的线段的长度保持不变.平行y轴的线段的长度变为原来的一半.确定点位置的画法:在斜坐标系里横坐标保持不变,纵坐标变为原来的一半.(4)成图练习：1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论是否正确？（1）相等的线段在直观图中仍相等。（）（2）平行的线段在直观图中仍平行。（）（3）一个角的直观图仍是一个角。（）（4）相等的角在直观图中仍相等。（）2.用斜二测画法画水平放置的正五边形的直观图（尺寸自定）×√√×xyoX’Y’O’yノzノxノoノ练习：画一个底面边长为３ｃｍ,高为4cm的正三棱柱的直观图。１、画轴；２、画底面；xyoMABCDEA’B’·M’E’C’·D’y’x’O’2.用斜二测画法画水平放置的正五边形的直观图（尺寸自定）xyoMABCDEA’B’·M’E’C’·D’y’x’O’除多边形外，还经常会遇到画圆的直观图的问题，在立体几何中，画水平放置的圆我们常用正等测画法，一般用椭圆作为圆的直观图。如何根据斜二测画法画出的直观图还原出原图？思考：常用的一些空间图形的平面画法例2．下图是用斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图△A/B/C/，其中A/O/=O/B/,请画出这个图形的真实图形；设S△ABC=S，求直观图△A/B/C/的面积S/。0451,2解：SABOC/////1222SABOC解（1）建坐标系（2）画坐标轴上的点（平行于x/轴的线段长度不变，平行于y/轴的线段长度加倍）画平行于坐标轴的线段（本题无）；（3）连线,擦去辅助线xyABOCyxAOBC121222ABOC24S规律方法由直观图还原平面图形关键：1.平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴线段扩大为原来的2倍。2.如果存在不与x′、y′轴平行的线段，可通过作与x′轴，y′轴平行的线段确定其在xOy中的位置.如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为()A.24a2B.22a2C.a2D.2a2练习：解析由直观图还原出原图，如图，所以S＝a·22a＝22a2.答案B规律方法:根据斜二测画法的规则，发现直观图和原图面积之间的关系为：S直S原＝242224直原原直（=，=）SSSSyxBC1、直观图；2、斜二测画法:（1）画水平放置的平面图形的直观图(两变半，两不变，建系是关键),（2）由直观图还原出原图（3）课堂小结2224SSSS直原原直=，=水平放置在桌面的长方体盒子,你最多能看到它的几个面?三个面如何将如图放置的长方体画下来呢?一打地基(画底面);二砌墙(画侧棱);三盖房顶(连线).二、空间几何的直观图砌墙(画恻棱)打地基(画底面)xyZO2MNPQ画底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN=cm;在轴上取线段PQ,使PQ=cm;分别过点和作y轴的平行线,过点和作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,四边形ABCD就是长方形的底面ABCDABCDMNPQ41.5例2.用斜二测画法画长,宽,高分别是4cm,3cm,2cm的长方体的直观图.xyZOABCD3画侧棱.过A,B,C,D,各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA,BB,CC,DD.ABCDMNPQ例2.用斜二测画法画长,宽,高分别是4cm,3cm,2cm的长方体的直观图.3.一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形O′A′B′C′的面积为，则原梯形的面积为______当堂检测1.如图为水平放置的正方形OCBA，它在直角坐标系xOy中点B的坐标为（2,2），则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为______2.如图ΔA′B′C′是水平放置的ΔABC的直观图，则在ΔABC的三边及中线AD中，最长的线段是________22AC42作业：1、完成本节课后练习题（见作业小程序）。2、我们已经学会画水平放置的平面图形了，如何画简单几何体的直观图呢？大家可以先思考一下，带着问题预习下一节的内容。