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2020届高三数学月考模拟试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填写在答题卡相应位置1．已知集合A＝{x|x＝2k+1，k∈Z}，B＝{x|0＜x＜5}，则A∩B＝▲．2．已知复数z满足（3+i）z＝10i（其中i为虚数单位），则复数z＝▲．3．命题“∀x≥0，x2≥0”的否定是▲．4．如图所示的流程图的运行结果是▲．．5．某鲜花店对一个月的鲜花销售数量（单位：支）进行统计，统计时间是4月1日至4月30日，5天一组分组统计，绘制了如图的鲜花销售数量频率分布直方图．已知从左到右各长方形的高的比为2：3：4：6：4：1，且第二组的频数为180，那么该月共销售出的鲜花数（单位：支）为▲．6．甲、乙、丙三人一起玩“黑白配”游戏：甲、乙、丙三人每次都随机出“手心（白）”、“手背（黑）”中的某一个手势，当其中一个人出示的手势与另外两人都不一样时，这个人胜出；其他情况，不分胜负．则一次游戏中甲胜出的概率是▲．7．函数f（x）=𝑙𝑛(2+𝑥−𝑥2)|𝑥|+𝑥的定义域为▲．8．设α为锐角，若cos（α+𝜋6）=45，则cosα的值为▲．9．已知圆锥的母线长为10cm，侧面积为60πcm2，则此圆锥的体积为▲cm3．10．已知函数f（x）＝sinx（x∈[0，π]）和函数g（x）=12tanx的图象交于A，B，C三点，则△ABC的面积为▲．11．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若g（x）＝f（x+1）+5，g′（x）为g（x）的导函数，对∀x∈R，总有g′（x）＞2x，则g（x）＜x2+4的解集为▲．12．已知函数f（x）＝sin2𝜔𝑥2+12sinωx−12（ω＞0，x∈R），若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，ω的取值范围是▲．13．若对于任意实数u，v，不等式（u+5﹣2v）2+（u﹣v2）2≥t2（t＞0恒成立），则t的最大值为▲．14．设函数f（x）={1，𝑥=1𝑙𝑜𝑔𝑎|𝑥−1|+1，𝑥≠1若函数g（x）＝[f（x）]2+bf（x）+c有三个零点x1，x2，x3，则x1x2+x2x3+x1x3等于▲．二、解答题：本大共6小题，共90分，请将答案填写在答题卡规定的区城内，否则答题无效.（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）设向量𝑎→=（sinx，λcosx），𝑏→=（﹣1，1）𝑐→=（1，1），（其中x∈[0，π]）．（1）当λ=√3时，若（𝑎→+𝑏→）∥𝑐→，求实数x的值；（2）当λ＝2时，若𝑎→⊥𝑏→，求函数tam（x+𝜋4）的值．16．（本小题满分14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知𝑎+𝑐𝑏=2sin（C+𝜋6）．（1）求B；（2）若b＝2√7，△ABC的面积S＝3√3，求a+c的值．17．（本小题满分14分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x3+x2．（1）求f（x）在R上的解析式；（2）当x∈[m，n]（0＜m＜n）时，若f（x）的值域为[3m2+2m﹣1，3n2+2n﹣1]，求实数m，n的值．18．（本小题满分16分）如图，一个圆心角为直角的扇形AOB花草房，半径为1，点P是花草房弧上一个动点，不含端点，现打算在扇形BOP内种花，PQ⊥OA，垂足为Q，PQ将扇形AOP分成左右两部分，在PQ左侧部分三角形POQ为观赏区，在PQ右侧部分种草，已知种花的单位面积的造价为3a，种草的单位面积的造价为2a，其中a为正常数，设∠AOP＝θ，种花的造价与种草的造价的和称为总造价，不计观赏区的造价，设总造价为f（θ）（1）求f（θ）关于θ的函数关系式；（2）求当θ为何值时，总造价最小，并求出最小值．19．（本小题满分16分）已知平面直角坐标系xoy内两个定点A（1，0）、B（4，0），满足PB＝2PA的点P（x，y）形成的曲线记为Γ．（1）求曲线Γ的方程；（2）过点B的直线l与曲线Γ相交于C、D两点，当△COD的面积最大时，求直线l的方程（O为坐标原点）；（3）设曲线Γ分别交x、y轴的正半轴于M、N两点，点Q是曲线Γ位于第三象限内一段上的任意一点，连结QN交x轴于点E、连结QM交y轴于F．求证四边形MNEF的面积为定值．20．（本小题满分16分）已知函数f（x）=1𝑥−𝑎+𝜆𝑥−𝑏（a，b，λ为实常数）．（1）若λ＝﹣1，a＝1．①当b＝﹣1时，求函数f（x）的图象在点（√2，f（√2））处的切线方程；②当b＜0时，求函数f（x）在[13，12]上的最大值．（2）若λ＝1，b＜a，求证：不等式f（x）≥1的解集构成的区间长度D为定值．附加题21B【选修4-2：矩阵与变换】已知变换T1是绕原点逆时针旋转𝜋2的旋转变换，对应的变换矩阵是M1；变换T2对应的变换矩阵是M2=(1101)．（Ⅰ）求变换T1对应的变换矩阵M1；（Ⅱ）求函数y＝x2的图象依次在T1，T2变换的作用下所得曲线的方程．21C【选修4-4：坐标系与参数方程】在极坐标系中，直线l的极坐标方程为𝜃=𝜋3（ρ∈R），以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为{𝑥=2𝑐𝑜𝑠𝛼𝑦=1−𝑐𝑜𝑠2𝛼（α为参数），求直线l与曲线C交点P的直角坐标．22（本小题满分10分）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17．现有甲、乙两人从袋中轮流、不放回地摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取…直到袋中的球取完即终止．若摸出白球，则记2分，若摸出黑球，则记1分．每个球在每一次被取出的机会是等可能的．用ξ表示甲四次取球获得的分数之和．（Ⅰ）求袋中原有白球的个数；（Ⅱ）求随机变量ξ的概率分布列及期望Eξ．23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程为x=−14，过点M（0，﹣2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）．直线l过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N．（1）求抛物线的方程；（2）试问：𝑀𝑁𝑀𝐵+𝑀𝑁𝑀𝐶的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．1.{1，3}2．1+3i．3．∃x≥0，x2＜0．4．27．5．1200．6．147（0，2）．8．4√3+310．9．96π．10．√3𝜋4．11．（﹣∞，﹣1）．12．（0，18]∪[14，58]13．√2．14．2．15．（1）当λ=√3时，向量𝑎→=（sinx，λcosx）＝（sinx，√3cosx），𝑏→=（﹣1，1），𝑐→=（1，1），（其中x∈[0，π]），∴（𝑎→+𝑏→）＝（sinx﹣1，√3cosx+1），∵（𝑎→+𝑏→）∥𝑐→，故sinx﹣1=√3cosx+1，即2（12sinx−√32cosx）＝2，故sin（x−𝜋3）＝1，∴x−𝜋3=𝜋2，kx=5𝜋6．（2）当λ＝2时，若𝑎→⊥𝑏→，向量𝑎→=（sinx，λcosx）＝（sinx，2cosx），𝑏→=（﹣1，1），∴𝑎→⋅𝑏→=−sinx+2cosx＝0，即tanx＝2，∴函数tam（x+𝜋4）=𝑡𝑎𝑛𝑥+11−𝑡𝑎𝑛𝑥=−3．16．（1）∵𝑎+𝑐𝑏=2sin（C+𝜋6），∴𝑠𝑖𝑛𝐴+𝑠𝑖𝑛𝐶𝑠𝑖𝑛𝐵=2（√32sinC+12cosC），∴sinA+sinC=√3sinCsinB+sinBcosC，∵sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+sinCcosB，∴sinBcosC+sinCcosB+sinC=√3sinCsinB+sinBcosC，即sinCcosB+sinC=√3sinCsinB，∵sinC≠0，∴cosB+1=√3sinB，∴sin（B−𝜋6）=12，∵B∈（0，π），B−𝜋6∈（−𝜋6，5𝜋6），∴B−𝜋6=𝜋6，可得B=𝜋3．（2）∵b＝2√7，B=𝜋3，△ABC的面积S＝3√3=12acsinB=√34ac，∴ac＝12，∴由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得28＝a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣3ac＝（a+c）2﹣36，∴解得a+c＝8．17．（1）当x＞0时，f（x）＝x3+x2，故当x＜0时，则﹣x＞0，f（﹣x）＝（﹣x）3+（﹣x）2＝﹣x3+x2，由于f（x）是奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝x3﹣x2，…（3分）又f（0）＝0，…（4分）故当x∈R时，𝑓(𝑥)={−𝑥3+𝑥2，𝑥＜00，𝑥=0𝑥3+𝑥2，𝑥＞0．…（6分）（2）∵当x＞0时，f（x）＝x3+x2，∴f'（x）＝3x2+2x＞0，∴f（x）在[m，n]上单调递增，…（8分）∴{𝑓(𝑚)=3𝑚2+2𝑚−1𝑓(𝑛)=3𝑛2+2𝑛−1∴{𝑚3+𝑚2=3𝑚2+2𝑚−1𝑛3+𝑛2=3𝑛2+2𝑛−1，∴m，n为x3﹣2x2﹣2x+1＝0的两个正实数根，…（本小题满分10分）∵x3﹣2x2﹣2x+1＝（x+1）（x2﹣3x+1），∴m，n为x2﹣3x+1＝0的两个正实数根，…（12分）又由题意可知：0＜m＜n，∴𝑚=3−√52，𝑛=3+√52．…（本小题满分14分）18．（1）种花区的造价为3𝑎2(𝜋2−𝜃)，种草区的造价为(𝜃2−12𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃)2𝑎，故总造价f（θ）=3𝜃2（𝜋2−θ）+（𝜃2−12sinθcosθ）2α＝（3𝜋4−𝜃2−sinθcosθ）α，0＜θ＜𝜋2（2）𝑓′(𝜃)=(−12−𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃+𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃)𝑎=(12−2𝑐𝑜𝑠2𝜃)𝑎=2𝑎(14−𝑐𝑜𝑠2𝜃)=2𝑎(12+𝑐𝑜𝑠𝜃)(12−𝑐𝑜𝑠𝜃)(0＜𝜃＜𝜋2)令f'（θ）＝0，得到𝜃=𝜋3θ(0，𝜋3)𝜋3(𝜋3，𝜋2)f'（θ）_0+f（θ）递减极小值递增故当𝜃=𝜋3时，总造价最小，且总造价最小为(712𝜋−√34)𝑎19．（1）由题设知2√(𝑥−1)2+𝑦2=√(𝑥−4)2+𝑦2，两边化简得x2+y2＝4∴点P的轨迹Γ的方程为x2+y2＝4…（3分）（2）由题意知𝑂𝑆=√𝑆𝐷2−𝑂𝐷2=√3的斜率一定存在，设l：y＝k（x﹣4）即kx﹣y﹣4k＝0，∵原点到直线l的距离𝑑=|4𝑘|√1+𝑘2，𝐶𝐷=2√4−𝑑2，…∴𝑆△𝐶𝑂𝐷=12𝐶𝐷⋅𝑑=√𝑑2⋅(4−𝑑2)≤√(𝑑2+(4−𝑑2)2)2=2，…（7分）当且仅当d2＝2时，取得“＝”d2＝2＜r2＝4∴当d2＝2时，此时，16𝑘2𝑘2+1=2⇒𝑘2=17⇒𝑘=±√77．∴直线l的方程为𝑦=±√77(𝑥−4)．…（9分）（3）设𝑆𝑀𝑁𝐸𝐹=𝑆△𝑀𝑁𝐸+𝑆△𝑀𝐸𝐹=12𝑀𝐸⋅𝑁𝐹⋯（11分）设Q（x0，y0），E（e，0），F（0，f）（其中𝑥0＜0，𝑦0＜0，𝑥02+𝑦02=4）则𝑄𝑀：𝑦=𝑦0𝑥0−2(𝑥−2)，令x＝0得𝑓=−2𝑦0𝑥0−2∴𝑁𝐹=2−−2𝑦0𝑥0−2=2(𝑥0+𝑦0)−4𝑥0−2⋯（12分）𝑄𝑁：𝑦=𝑦0−2𝑥0𝑥+2，令y＝0得𝑒=2𝑥02−𝑦0∴𝑀𝐸=2−2𝑥02−𝑦0=4−2(𝑥0+𝑦0)2−𝑦0⋯（13分）∴𝑆𝑀𝑁𝐸𝐹=12𝑀𝐸⋅𝑁𝐹=12⋅2(𝑥0+𝑦0)−4𝑥0−2⋅2(𝑥0+𝑦0)−4𝑦0−2=2⋅(𝑥0+𝑦0−2)2(𝑥0−2)(𝑦0−2)=2⋅(𝑥0+𝑦0−2)2(𝑥0−2)(𝑦0−2)=2⋅8−4(𝑥0+𝑦0)+2𝑥0𝑦04−2(𝑥0+𝑦0)+𝑥0𝑦0=4（定值）…（本小题满分16分）20．解（1）①当b＝﹣1时，f（x）=1𝑥−1−1𝑥+1=2(𝑥−1)(𝑥+1)，则f′（x）=−4𝑥(𝑥−1