2019届山东省济南外国语学校高三上学期第一次月考数学(理)试题

-1-绝密★启用前2019届山东省济南外国语学校高三上学期第一次月考数学（理）试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1．已知为实数集，集合，，则韦恩图中阴影部分表示的集合为（）A．B．C．D．2．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．3．设集合，，则下列结论正确的是()A．B．C．D．4．设集合，集合，则等于()A．B．C．D．5．已知，命题p：，，则A．p是假命题，：，-2-B．p是假命题，：，C．p是真命题，：，D．p是真命题，：，6．已知集合，，则（）A．B．C．D．7．集合，,若，则的取值范围是（）A．B．C．D．8．集合，，则是（）A．B．C．D．9．函数关于直线对称，则函数关于（）A．原点对称B．直线对称C．直线对称D．直线对称10．设，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．11．已知函数是定义在区间上的可导函数，满足且(为函数的导函数)，若且，则下列不等式一定成立的是()A．B．C．D．12．已知定义在R上的函数满足且在上是增函数，不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是()A．B．C．D．-3-第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．已知函数，则__________．14．记为不超过的最大整数，如，则函数的所有零点之和为________.15．已知函数为奇函数，若，则的值为________.16．给出以下四个命题：（1）命题，使得，则，都有；（2）已知函数f(x)＝|log2x|，若a≠b，且f(a)＝f(b)，则ab＝1；（3）若平面α内存在不共线的三点到平面β的距离相等，则平面α平行于平面β；（4）已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则函数的图象关于点对称．其中真命题的序号为______________．（写出所有真命题的序号）三、解答题17．已知三个集合：，，.（I）求；（II）已知，求实数的取值范围.18．已知函数.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）当时，求证：.19．已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间与极值；（Ⅱ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；-4-（Ⅲ）求证：.20．已知函数，(1)分别求的值:(2)讨论的解的个数:(3)若对任意给定的,都存在唯一的,满足，求实数的取值范围.21．已知函数,．（Ⅰ）当x≥0时，f（x）≤h（x）恒成立，求a的取值范围；（Ⅱ）当x＜0时，研究函数F（x）=h（x）﹣g（x）的零点个数；（Ⅲ）求证：（参考数据：ln1.1≈0.0953）．22．已知函数，其导函数为当时，若函数在R上有且只有一个零点，求实数a的取值范围；设，点是曲线上的一个定点，是否存在实数使得成立？并证明你的结论．参考答案1．D【解析】【分析】首先确定集合A,B，然后结合Venn图求解阴影部分表示的集合即可.【详解】求解分式不等式可得，求解二次不等式可得，则，韦恩图中阴影部分表示的集合为，即.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合的交并补运算，Venn图及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.-5-2．C【解析】【分析】由题意可知命题p,q均为真命题，据此求解实数a的取值范围即可.【详解】由“”是真命题可知命题p,q均为真命题，若命题p为真命题，则：，解得：，若命题q为真命题，则：，即，综上可得，实数a的取值范围是，表示为区间形式即.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查复合命题问题，与二次函数有关的命题，与指数函数有关命题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．B【解析】,故选.4．B【解析】【分析】先求出集合A和集合B，由此能求出A∩B．【详解】∵集合A={y|y=log2x，0＜x≤4}={y|y≤2}，集合B={x|ex＞1}={x|x＞0}，∴A∩B={x|0＜x≤2}=（0，2]．故选：B．【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解;在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．5．C【解析】-6-【分析】利用特称值，判断特称命题的真假，利用命题的否定关系，特称命题的否定是全称命题写出结果。【详解】，，当时，命题：，，是真命题命题：，，则故选【点睛】本题主要考查了命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，属于基础题。6．A【解析】【分析】求出集合，，判断，的关系，即可得到答案.【详解】因为，.所以.故选A.【点睛】本题考查集合与集合的关系，是基础题.7．B【解析】【分析】由题意求出，，要使，则.【详解】根据题意，可得，，要使，则，故选B.【点睛】-7-本题考查集合的综合运算，属中档题.8．C【解析】【分析】根据函数的定义域及值域分别求出集合和集合，求出集合的补集，即可求得.【详解】∵集合∴∵集合∴∵∴∴故选C.【点睛】本题考查函数的定义域与函数的值域的求法，集合的交、并、补的运算，考查计算能力．9．D【解析】【分析】由题意结合函数图象的变换规律确定函数的对称性即可.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度即可得到函数的图象，结合函数关于直线对称，可知函数关于直线对称.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查函数的对称性，函数的平移变换等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．A【解析】【分析】-8-由题意得令，即与恰有3个交点，由，利用导数得到函数的单调性即可得解.【详解】恰有3个零点，则恰有3个根，令，即与恰有3个交点，，当时，，所以在上是减函数；当时，，当时，，当时，，所以在时增函数，在时减函数，且，所以故选A．【点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．11．C【解析】构造函数,,所以是上的减函数.令,则,由已知,可得,下面证明,即证明,令,则-9-,即在上递减,,即,所以,若,则.故选.【点睛】本小题主要考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性,考查大小比较,关键在于构造函数法.问题的关键点在于利用好,这是一个含有原函数和它的导函数的式子,故考虑用构造函数法构造函数,构造函数后,就可以用上已知条件来判断单调性了.12．B【解析】【分析】根据函数的对称性判断函数的单调性，采取排除法，由四个选项的特征代入特值求解【详解】，则函数关于对称函数在上是增函数函数在是减函数，即在上是减函数当时，不等式变为，根据函数的图象特征可得出：，解得或，满足不等式对任意恒成立，由此排除两个选项当时，不等式变为，根据函数的图象特征可得出：，解得，不满足不等式对任意恒成立，由此排除综上所述，选项是正确的故选【点睛】本题主要考查了抽象函数的性质探究方法与应用，解答本题直接求解较为复杂，采取排除法来求解，由四个选项中的特征找出切入点，通过验证特殊值来排除错误答案。13．4【解析】【分析】根据分段函数对应性，根据自变量大小对应代入解析式，即得结果.【详解】-10-．【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.14．【解析】【分析】由，令，求导利用函数单调性可证得在上无零点，只需考虑：，，，求解即可.【详解】由题意可知：.令.有：.所以在上单调递减，有，所以在上无零点，只需考虑：，，，可得三个零点分别为，故答案为．【点睛】本题主要考查了分段函数的零点问题，属于中档题.15．3【解析】【分析】由函数为奇函数，可得，进而可得解.【详解】因为函数为奇函数，且，，所以，所以．所以．-11-【点睛】本题主要考查了奇偶性的应用，属于基础题.16．（1）（2）（4）【解析】【分析】（1），根据特称命题的否定是全称命题，判断即可；（2）根据函数与方程的关系，利用对数函数的性质进行运算判断．（3）利用线面平行的定义进行判断；（4）利用奇函数图象的对称性，及函数图象的平移变换，可得函数的对称中心.【详解】（1）命题，使得，则，都有；正确；（2），∴不妨设，则，则，即，即，正确；（3）平面内存在不共线的三点到的距离相等，这3个点可能在2个相交平面的交线的两侧，故不正确．（4）∵函数是奇函数，∴其图象关于原点对称又∵函数的图象是由向左平移个单位长度得到．∴函数的图象关于点对称，正确．即答案为（1）（2）（4）.【点睛】本题考查特称命题的否定，函数与方程的关系，线面平行，考查函数的奇偶性，对称性等，属基础题.17．（1）（2）【解析】【分析】（I）解方程求出集合、，计算；（II）根据，求出集合的元素特征，求出实数的取值范围．【详解】(1),,-12-(2),设，则即解得所以实数的取值范围是【点睛】本题考查了集合的定义与运算问题，是中档题．18．(1)当时，函数的增区间为，减区间为，；当时，函数无单调区间；当时，函数的减区间为，增区间为，(2)见解析.【解析】【分析】（1）函数求导，由得函数减区间，由得函数的增区间；（2）欲证，只需证，设，，即证，分别求导求最值即可.【详解】（1）定义域为，因为，当时，；或，此时函数的增区间为，减区间为，当时，，函数无单调区间当时，；或，此时函数的减区间为，增区间为，（2）欲证，即证，只需证，设，，即证因为，令，得-13-当时，；当或时，，又因为，当时，，当时，所以，而所以，即成立.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.19．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）函数的定义域为.且，据此列表讨论可知：的单调递增区间为，单调递减区间为.的极大值为，无极小值.（Ⅱ）由题意可得恒成立，令，由导函数可得当时函数有最大值，所以.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，则，据此结合不等式的性质利用放缩法即可证得.【详解】（Ⅰ）定义域为.，令，得.0增极大值减由上图表知：的单调递增区间为，单调递减区间为.-14-的极大值为，无极小值.（Ⅱ），令又，令解得，当x在内变化时，，变化如下表：x)+0↗↘由表知，当时函数有最大值，且最大值为，所以.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，又，，即.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．20．(1)-1,0.(2)解:解:解:解.(3).【解析】【分析】（1）直接由分段函数求得，的值；（2）求出函数的解析式并作出图象，数形结-15-合可得的解的个数；（3）由题意可得的取值必须大于1，然后根据的范围分析关于的二次函数的值域，从而可得实数的取值范围．【详解】（1）∵，∴．∵，∴．（2），画图的图象如图，由图可知，当时，方程有0解；当时，方程有2解；当时，方程有4解；当时，方程有3解．（3）要使对任意给定的，都存在唯一的，满足，则的取值必须大于1；即当时，的值域包含于；当时，，舍去；当时，，；当时，，舍去；综上所述【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，关键是可以把当作是一个整体，然后再确定数的大