14.5等腰三角形的性质

温故知新：1、三角形按边分类2、什么是等腰三角形？有两边相等的三角形叫做等腰三角形.ABC底边腰腰顶角底角二、实践探索：1、准备长方形纸片2、将长方形纸片对折3、沿线剪4、展开二、等腰三角形性质通过操作发现：（1）等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴；（2）等腰三角形的两个底角相等。如果不进行操作，你能否用几何说理来说明等腰三角形的两个底角相等呢？二、等腰三角形性质ADCB12已知△ABC是等腰三角形，且AB=AC，说明∠B=∠C的理由.解：作∠BAC的平分线AD交BC于点D，∴∠1=∠2（角平分线的意义）.在△ABD与△ACD中，AB=AC（已知），∠1=∠2（已证），AD=AD（公共边），∴△ABD≌△ACD(S.A.S).∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）.等腰三角形的两个__角相等.底在△ABC中，∵AB=AC（已知）∴∠B=∠C（等边对等角）简写成）前提!二、等腰三角形性质ADCB12由上面的说理过程中△ABD≌△ACD还可以得到哪些结论？BD=CDAD⊥BC等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称为“等腰三角形的三线合一”）.∠1=∠2在等腰三角形中，由“一”得“二”.在△ABC中，AB=AC,∴BD=CD，AD⊥BC∵AD是∠BAC的角平分线（已知）,（等腰三角形的三线合一）.二、等腰三角形性质ADCB填空：（1）在△ABC中，AB=AC,∵AD是BC边上的中线（已知），∴，（等腰三角形的三线合一）.（2）在△ABC中，AB=AC,∵AD是BC边上的高（已知），∴，（）.AD⊥BC∠1=∠2BD=CD∠1=∠2等腰三角形的三线合一12三、等腰三角形性质的应用（1）已知在△ABC中，AB=AC，∠B=70º，求∠C和∠A的度数。ACB70º分析：ACBACB等边对等角三角形内角和ACB三、等腰三角形性质的应用（1）已知在△ABC中，AB=AC，∠B=70º，求∠C和∠A的度数。ACB70º解：∵AB=AC(已知)，∴∠C=∠B(等边对等角)．在等腰三角形中若已知一个内角，即可求出其它内角的大小.∵∠B=70º(已知)，∴∠C=70º（等量代换）．又∵∠A+∠B+∠C=180º(三角形内角和180º),∴∠A=40º（等式性质）.如何思考？三、等腰三角形性质的应用（2）已知△ABC是等腰三角形，且有一个内角为70º，那么其他的两个内角的度数为。ACB这类问题需要分类讨论.分析：ACB70ºACB70º70ºACB70º70º40º（1）ACB70º（2）ACB70º55º55º70º、40º或55º、55º。思考：把(2)中的70º改为100º，会得出什么样的结论？三、等腰三角形性质的应用（3）如图，已知AB=AC，∠BAC=100°，AD是△ABC的中线，求∠1和∠2的度数.BAC2121解：∵AB=AC,AD是△ABC的中线（已知），∴（等腰三角形三线合一）.小结：若已知等腰三角形及顶角平分线、底边中线、底边上的高三线之一，可考虑用“等腰三角形三线合一”的性质来说明，而不用三角形全等说明，以简化说理过程.∵∠BAC=100°（已知），∴∠1=∠2=50°（等式性质）.ABC12D三、等腰三角形性质的应用（4）如图，已知AB=AC，AD是BC边上的高，且DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，试说明BE=CF的理由.21FEDBCA还缺什么条件？分析：√×将“等腰三角形三线合一”的性质用符号表示：ABDC(1)“等腰三角形的顶角平分线平分底边并且垂直于底边”。在△ABC中，如果AB=AC，且∠1=∠2，那么，=，且。(2)“等腰三角形的底边上的中线垂直于底边，并且平分顶角”。在△ABC中，如果AB=AC，且，那么，，且=，(3)“等腰三角形的底边上的高平分底边，并且平分顶角”。在△ABC中，如果AB=AC，且，那么，=，且。BDCDAD⊥BCBD=CDAD⊥BC∠1∠212AD⊥BCBDCD∠1=∠2三、等腰三角形性质的应用（4）如图，已知AB=AC，AD是BC边上的高，且DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，试说明BE=CF的理由.21FEDBCA还缺什么条件？分析：√×三、等腰三角形性质的应用21FEDBCA∵DE⊥AB，DF⊥AC，（已知），∴∠1=∠2=90°（垂直的意义）.∴BE=CF（全等三角形的对应边相等）.解：∵AB=AC，（已知），∴∠B=∠C（等边对等角）.在△BDE和△CDF中，∠1=∠2（已求），∠B=∠C（已求），BD=CD（已求），∴△BDE≌△CDF（A.A.S).（4）如图，已知AB=AC，AD是BC边上的高，且DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，试说明BE=CF的理由.∵AD是BC边上的高（已知），∴BD=CD（等腰三角形三线合一）.还有什么方法？三、等腰三角形性质的应用补充练习：如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB=AD,且AC⊥BD，试说明∠1=∠2的理由.分析：课堂小结（3）等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线、底边中线所在的直线，也可以说成是底边上的高所在的直线.（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称为“等腰三角形的三线合一”）.等腰三角形性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称：“等边对等角”）.回家作业：1、完成练习册：14.52、预习14.6（1）3、完成考评14.5