定积分概念导入

上页下页返回上页下页返回曲边梯形的面积oxy上页下页返回上页下页返回我们学过如何求梯形、长方形、三角形等的面积,这些图形都是由直线段围成的.那么,如何求曲线围成的平面图形的面积呢?这就是定积分要解决的问题。定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。上页下页返回上页下页返回已知一个物体以每秒vo米的初速度做匀加速运动，加速度为a米/秒2.思考:请你写出这个物体在t秒时的位移s与时间t的函数关系s=f(t)，和速度v与时间t的函数关系v=g(t).你能说出这两个函数之间的关系吗?s=v0t+(1/2)at2v=v0+at)()(tvts位移s对时间的导函数是速度时间函数上页下页返回上页下页返回问题：如图，阴影部分类似于一个梯形,但有一边是曲线y=f(x)的一段,我们把由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积?abf(a)yxf(b)oDCBA上页下页返回上页下页返回y=f(x)baxyOAA1用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A.如何求曲边梯形的面积得A1能再精确一点吗?上页下页返回上页下页返回AA1+A2用两个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得y=f(x)baxyO如何求曲边梯形的面积A1A2能再精确一点吗?上页下页返回上页下页返回AA1+A2+A3+A4用四个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得y=f(x)baxyO如何求曲边梯形的面积A1A2A3A4能再精确一点吗?上页下页返回上页下页返回y=f(x)baxyOAA1+A2++An将曲边梯形分成n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，于是曲边梯形的面积A近似为A1AiAn——以直代曲,无限逼近.如何求曲边梯形的面积达到无限接近。上页下页返回上页下页返回oxy曲边梯形的面积上页下页返回上页下页返回n1n2nknnxy2xyOn1n2nknnxOy2xy无限分割逼近方法小于逼近大于逼近不足近似值过剩近似值上页下页返回上页下页返回分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S。“以直代曲”的具体操作过程曲边梯形的面积——分成很窄的小曲边梯形，然后用矩形面积代替后求和。上页下页返回上页下页返回O1xyyx2(1)分割1nin(2)近似代替(3)求和(4)取极限i-1n区间长度：△x=区间高：h=小矩形面积：△S=1ifn第i个小区间1ifn1n例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积。上页下页返回上页下页返回小结:求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法有理由相信，分点越来越密时，即分割越来越细时，矩形面积和的极限即为曲边形的面积。(1)分割(2)近似代替把这些矩形面积相加作为整个曲边形面积S的近似值。(4)取极限(3)求和定积分的概念曲边梯形如图所示，abxyoiix1x1ix1nxiiixfA)(为高的小矩形面积为为底，以)(],[1iiifxx内插入若干在区间],[ba,1210bxxxxxann个分点，，个小区间],[1iixxnba分成把区间],[;1iiixxx长度为],[1iixx在每个小区间，上任取一点iiniixfA)(1曲边梯形面积的近似值为iniixxfA)(lim1012,max{,,}(0)nxxxxx当分割无限加细即小区间的最大长度趋近于零时，曲边梯形面积为一般地，设函数()fx在区间[,]ab上连续，用分点0121iinaxxxxxxb将区间[,]ab分成n个小区间，每个小区间长度为ix，在每个小区间1,iixx上取一点1,2,,iin，作和式：1()nniiSfx，如果x无限接近于0时，上述和式nS无限趋近于常数S，那么称该常数S为函数()fx在区间[,]ab上的定积分。记为：()baSfxdx定积分的概念12max{,,}nxxxx记被积函数被积表达式积分变量积分区间],[ba积分上限积分下限积分和01()lim()nbiiaxifxdxfxSbaf(x)dx；按定积分的定义，有(1)由连续曲线yf(x)(f(x)0)，直线xa、xb及x轴所围成的曲边梯形的面积为(2)设物体运动的速度vv(t)，则此物体在时间区间[a,b]内运动的距离s为();baSvtdt(3)设物体在变力FF(r)的方向上有位移r，则F在位移区间[a,b]内所做的功W为().baWFrdr注意：（1）积分值仅与被积函数及积分区间有关，badxxf)(badttf)(baduuf)(（2）定义中区间的分法和i的取法是任意的.（3）当函数)(xf在区间],[ba上的定积分存在时，而与积分变量的字母无关.称)(xf在区间],[ba上可积.(二)、定积分的几何意义：Oxyabyf(x)baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。特别地，当ab时，有baf(x)dx0。如果在区间[a,b]上，函数f(x)连续，且恒有f(x)≥0，那么定积分表示由曲线y=f(x)，直线x=a、x=b与，x轴和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积。()bafxdx当f(x)0时，由yf(x)、xa、xb与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，xyOdxxfSba)]([，dxxfba)(．abyf(x)yf(x)dxxfSba)]([baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。S上述曲边梯形面积的负值。定积分的几何意义：积分baf(x)dx在几何上表示baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。S22定积分的几何意义：在区间[a,b]上曲线与x轴所围成图形面积的代数和(x轴上方的面积为正，x轴下方的面积为负).50(24)xdx计算定积分-465OxyAB50(24)945xdx102的值：计算例xdx解：由定积分几何意义可知112110xdx10xyy=x21变式练习：计算的值。解：由几何意义可得222142222dxx2224dxx22-20yx422yx例1用定积分表示下列阴影部分面积。（1）（2）解（1）由图可知（2）由图可知212dxxS1121dxxS0122xyxy11-10yx122yxabyf(x)Oxy()ygx探究:根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?abyf(x)Oxy1()baSfxdx()ygx12()()bbaaSSSfxdxgxdx2()baSgxdx()()bbaafxdxgxdx思考：的几何意义是什么？三.定积分的基本性质性质1.dx)]x(g)x(f[bababadx)x(gdx)x(f性质2.badx)x(kfbadx)x(fk由定积分的定义可知，定积分有以下性质：三:定积分的基本性质定积分关于积分区间具有可加性bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f性质3.2121ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(f思考：从定积分的几何意义解释性质⑶aby=f(x)baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。cOxy29422212213103,356,37,415,412dxxdxxdxxdxx已知例2132412203)23()3(6)2(31dxxxdxxdxx）求（3033023030,481,9,29,3dxxdxxxdxdx已知30333023)1512218()2()8634()1(dxxxxdxxxx求上页下页返回上页下页返回2.微积分基本定理(一)上页下页返回上页下页返回1、如果函数f（x）在[a，b]上连续且f（x）≥0时，那么：定积分就表示以y=f（x）为曲边的曲边梯形面积。badxxf)(2、定积分的数值在几何上都可以用曲边梯形面积的代数和来表示。badxxf)(1S2S3S321SSSdxxfba)(复习：2、定积分的几何意义是什么？上页下页返回上页下页返回,0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积,0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积的负值4321)(AAAAdxxfba说明：1A2A3A4A上页下页返回上页下页返回三.定积分的基本性质性质1.dx)]x(g)x(f[bababadx)x(gdx)x(f性质2.badx)x(kfbadx)x(fk定积分关于积分区间具有可加性bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f性质3.2121ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(f上页下页返回上页下页返回题型2：定积分的几何意义的应用dxxxdxdxxxdxdxxdxxdxxdxx4343220220213212103102ln________ln)4(sin______sin)3(______)2(______)1(不计算定积分的值，将下列各题中积分的值用适当的符号连接起来上页下页返回上页下页返回1.由定积分的定义可以计算,但比较麻烦(四步曲),有没有更加简便有效的方法求定积分呢?12013xdx引入上页下页返回上页下页返回微积分基本定理：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且F'(x)＝f(x)，则baaFbFxxf)()(d)(这个结论叫微积分基本定理（fundamentaltheoremofcalculus)，又叫牛顿－莱布尼茨公式（Newton-LeibnizFormula).).()()(d)(aFbFxFxxfbaba或记作(F(x)叫做f(x)的原函数,f(x)就是F(x)的导函数)上页下页返回上页下页返回说明：牛顿－莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积函数f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在区间[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可.该公式把计算定积分归结为求原函数的问题。上页下页返回上页下页返回不定积分基本公式∵(C)′=0∵(sinx)′=cosx∴C.d0x∴C.sindcosxxx∵(cosx)′=—sinx∴C.1n1d1nnxxx∵(xn+1)′=(n+1)xn∴C.cosdsinxxx∵(ex)′=ex∴C.dxxexe∵(lnx)′=x1∴C.lnd1xxx上页下页返回上页下页返回例1计算下列定积分211(1)dxx解（１）∵1(lnx)=xlnlnbabbaa1公式1:dx=lnx|x31(2)2xdx3221|318321(2)2xdx=x21=lnx|=ln2-ln1=ln2211dxx()()|()()bbaafxdxFxFbFa找出f(x)的原函数是关健上页下页返回上页下页返回练习：101013023-1(1)1dx=______(2)xdx=______(3)xdx=______(4)xdx=______nxn+1bbaax公式2:dx=|n+111/21/415/4上页下页返回上页下页返回例２．计算下列定积分原式33221111()dxdxdxdxxx332211=3x3x解:∵32211(3x