【恒心】【好卷速递】河南省卫辉市第一中学2012届高三4月月考数学(理)试题

本卷第1页（共11页）河南省卫辉市第一中学2012届高三4月考试题数学试题（理科）本试卷分第I卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分。共24题。本试卷共150分，考试时间120分钟．祝各位考生考试顺利！一、选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知复数)(Rbabiaz、，z是z的共轭复数，且)3)(2(iiz则a、b的值分别为A．17，B．16，C．17，D．16，2．若方程04lnxx在区间(,)(,,ababZ且1)ba上有一根，则a的值为A．1B．2C．3D．43．已知等差数列}{na中，299,161197saa,则12a的值是A．15B．30C．31D．644．已知命题:pxR，03x，则Ａ．:pxR，03xＢ．:pxR，03xＣ．:pxR，03xD．:pxR，03x5．已知直线nm,和平面,则//mn的必要非充分条件是A．//m且//nＢ．m且nＣ．//m且nD．,mn与成等角6．二项式12)2(xx展开式中的常数项是A．第7项B．第8项C．第9项D．第10项7．某学生四次模拟考试时，其英语作文的减分情况如下表：考试次数x1234所减分数y4.5432.5显然所减分数y与模拟考试次数x之间有较好的线性相关关系，则其线性回归方程为A．25.57.0xyB．25.56.0xy本卷第2页（共11页）C．25.67.0xyD．25.57.0xy8．将函数)32sin(2)(xxf的图像向左平移4个单位，得到函数)(xg的图像，则函数)(xg的一个单调递增区间是A．]0,245[B．]0,3[C．]3,0[D．]2,6[9.右面是“二分法”解方程的流程图.在①~④处应填写的内容分别是A．f(a)f(m)0；a=m；是；否B．f(b)f(m)0；b=m；是；否C．f(b)f(m)0；m=b；是；否D．f(b)f(m)0；b=m；否；是10.任取]3,3[k，直线3kxy与圆4)3()2(22yx相交于M、N两点，则|MN|32的概率为A．21B．23C．31D．3311．直线l的方向向量为)3,4(n且过抛物线yx42的焦点，则直线l与抛物线围成的封闭图形面积为A．885B．24125C．12125D．2438512．已知P是双曲线)0(1y4x222bb上一点，F1、F2是左右焦点，⊿PF1F2的三边长成等差数列，且∠F1PF2=120°，则双曲线的离心率等于A.753B.253C.72D.27第Ⅱ卷（90分）二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）13．为了测量一古塔的高度，某人在塔的正西方向的A地测得塔尖的仰角为45°，沿着A向北偏东30°前进100米到达B地（假设A和B在海拔相同的地面上），在B地测得塔尖的仰角为，则塔高为米14．已知函数()fx满足：1(1)4f，4()()()(),(,)fxfyfxyfxyxyR，则(2010)f____________．15．在平面直角坐标系中，定义点),(),,(2211yxQyxP之间的“直角距离”为本卷第3页（共11页）||||),(2121yyxxQPd。若),(yxC到点)9,6(),3,1(BA的“直角距离”相等，其中实数yx,满足93,100yx，则所有满足条件的点C的轨迹的长度之和为__________16．用一个边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，半径为1的鸡蛋（视为球体）放入其中，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为三、解答题（共6个小题，共70分）17．（本小题满分12分）对于给定数列na，如果存在实常数,pq，使得1nnapaq对于任意*nN都成立，我们称数列na是“M类数列”．（Ⅰ）已知数列nb是“M类数列”且2nbn，求它对应的实常数,pq的值；（Ⅱ）若数列nc满足11c，*12nnnccnN，求数列nc的通项公式．并判断nc是否为“M类数列”，说明理由．18．（本小题满分12分）符合下列三个条件之一，某名牌大学就可录取：①获国家高中数学联赛一等奖（保送录取，联赛一等奖从省高中数学竞赛优胜者中考试选拔）；②自主招生考试通过并且高考分数达到一本分数线（只有省高中数学竞赛优胜者才具备自主招生考试资格）；③高考分数达到该大学录取分数线（该大学录取分数线高于一本分数线）．某高中一名高二数学尖子生准备报考该大学，他计划：若获国家高中数学联赛一等奖，则保送录取；若未被保送录取，则再按条件②、条件③的顺序依次参加考试．已知这名同学获省高中数学竞赛优胜奖的概率是0．9，通过联赛一等奖选拔考试的概率是0．5，通过自主招生考试的概率是0．8，高考分数达到一本分数线的概率是0．6，高考分数达到该大学录取分数线的概率是0．3．（I）求这名同学参加考试次数的分布列及数学期望；（II）求这名同学被该大学录取的概率．本卷第4页（共11页）19．（本小题满分12分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中90ADBCABC，∥°，PD平面ABCD，AD1，3AB，4BC．⑴求证：BDPC；⑵求直线AB与平面PDC所成的角；⑶设点E在棱PC上，PCPE，若DE∥平面PAB，求的值．20．设椭圆E:22221xyab（a,b0）过M（2，2），N（6,1）两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明理由。21．设函数ln()lnln(1)1xfxxxx．（Ⅰ）求()fx的单调区间和极值；（Ⅱ）是否存在实数a，使得关于x的不等式()fxa的解集为(0,)？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，AB、CD是圆的两条平行弦，BE//AC，BE交CD于E、交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2．（I）求AC的长；（II）求证：BE＝EF．APECDB本卷第5页（共11页）（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系中,O为极点,半径为2的圆C的圆心的极坐标为(2,)3．⑴求圆C的极坐标方程；⑵P是圆C上一动点，点Q满足3OPOQ，以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，求点Q的轨迹的直角坐标方程．（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知1|2|1x，1|2|2x．（I）求证：6221xx，2||21xx；（II）若1)(2xxxf，求证：||5|)()(|||212121xxxfxfxx．本卷第6页（共11页）18.解：（I）4,2，…………（2分）55.05.09.0)9.01()2(P45.0)5.01(9.0)4(P…………（4分）（或45.055.01)4(P）24P0.550.459.245.0455.02E…………（6分）（II）设该同学参加2、4次考试被录取的概率分别是1P、2P，则48.05.09.03.01.01P…………（8分）243.03.0)8.01()5.01(9.06.08.0)5.01(9.02P………（10分）该同学被该校录取的概率21PP0.723…………（12分）[]19.解：【方法一】（1）证明：由题意知23,DC则222BCDBDCBDDC=，，PDABCDBDPDPDCDD面而，，，..BDPDCPCPDCBDPC面在面内，（4分）（2）∵DE∥AB，又PD平面ABCD.∴平面PDC平面ABCD.过D作DF//AB交BC于F过点F作FGCD交CD于G,则∠FDG为直线AB与平面PDC所成的角.在Rt△DFC中，∠90DFC，3,3DFCF，∴tan3FDG，∴∠60FDG.即直线AB与平面PDC所成角为60.（8分）（3）连结EF，∵DF∥AB，∴DF∥平面PAB.又∵DE∥平面PAB，∴平面DEF∥平面PAB，∴EF∥AB.又∵1,4,1,ADBCBFPEFBCDAGPEFBCDA本卷第7页（共11页）∴1,4PEBFPCBC∴14PEPC，即1.4（12分）20.解:（1）因为椭圆E:22221xyab（a,b0）过M（2，2），N(6,1)两点,所以2222421611abab解得22118114ab所以2284ab椭圆E的方程为22184xy（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,OAOB,设该圆的切线方程为ykxm解方程组22184xyykxm得222()8xkxm,即222(12)4280kxkmxm,则△=222222164(12)(28)8(84)0kmkmkm,即22840km本卷第8页（共11页）任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB.因为12221224122812kmxxkmxxk,所以22222212121222224288(84)()()4()41212(12)kmmkmxxxxxxkkk,2222222121212228(84)||()(1)()(1)(12)kmABxxyykxxkk本卷第9页（共11页）21.221ln11ln'()(1)(1)1(1)xxfxxxxxxx.……2分故当(0,1)x时，'()0fx，(1,)x时，'()0fx.所以，()fx在(0,1)单调递增，在(1,)单调递减.由此知()fx在(0,)的极大值为(1)ln2f，没有极小值.……4分（Ⅱ）（ⅰ）当0a时，由于(1)ln(1)lnln(1)(ln(1)ln)()011xxxxxxxxfxxx，故关于x的不等式()fxa的解集为(0,).……8分本卷第10页（共11页）22.解：（I）1,2,2PCPAPDPCPA，4PD，…………（2分）又2,1CEEDPC，,,CABPCACBAPACCBAPAC∽，ABACACPC，22ABPCAC，2AC…………（5分）（II）2ACBE，2CE，而EFBEEDCE，…………（8分）2212EF，BEEF．…………（10分）（23）（本小题满分10分）解：（1）设M),(是圆C上任一点，过C作CHOM于H点，则在Rt△COH中，cosOHOCCOH，而3COHCOM，1122OHOM，2OC，所以12cos23，即4cos()3为所求的圆C的极坐标方程.(5分)（2）设(,)Q点的极坐标为，由于3OPOQ，所以1(,)3P点的极坐标为代入⑴中方程得14cos()33，即6cos63sin，∴26cos63sin，22663xyxy,本卷第11页（共11页）∴点Q的轨迹的直角坐标方程为226630xyxy.(10分)（24）（本小题满分10分）证明：（I）∵1|2|1x，∴12