风险资产

风险资产贺方毅四川大学经济学院FangyiHe,SchoolofEconomics2引言•任意资产的未来价格在某种程度上是不可预测的。本章我们主要研究有代表性的普通股票。•市场价格取决于在不确定的条件下大量的代理人作出的选择和决策。因此，可以认为资产价格是随机的。•我们对资产价格附加一些特殊条件，其目的是，一方面使得数学模型逼真和贴切，另一方面使得模型容易处理。FangyiHe,SchoolofEconomics3股票价格动态•股票在时间t的价格用S(t)表示。假设股票价格对所有的t严格为正。我们取t=0作为当前的时间；S(0)是当前股票价格；对所有t0,一般来说，将来的股票价格S(t)是未知的。•S(t)可以看作概率空间Ω上的正随机变量，即概率空间Ω由可能的价格变动状况(scenarios)Ω构成。z在时刻t，如果市场状况为,则我们用表示在时刻t的价格。FangyiHe,SchoolofEconomics4股票价格动态•假设时间按离散的方式推移，，其中n=0,1,2,3,…;为固定的时段(timestep)，一般为1年、1个月、1周、1天，甚至是用于描述疯狂交易的1分或1秒。z我们一般取1年作为测量时间的单位，那么1个月对应于，1周对应于，1天对应于依次类推。z为简化符号，我们用S(0),S(1),S(2),…,S(n),…代替S(0),即认为n等同于FangyiHe,SchoolofEconomics5股票价格动态FangyiHe,SchoolofEconomics6股票价格动态FangyiHe,SchoolofEconomics7股票价格动态•股价的变动可以用树来表示，如下图。通过树可以很方便地将状况和路径对应起来，即从左边单独的节点（树根）到昀右边（树梢）。FangyiHe,SchoolofEconomics8股票价格动态•收益为了方便起见，用收益描述股票价格S(n)的动态变化。假设股票不支付红利。z定义3.1将时间区间[n,m]（实际上是）上的收益率或简称收益K(n,m)定义为随机变量，即将单个时段[n-1,n]上的收益用K(n)表示，即可以推导出FangyiHe,SchoolofEconomics9股票价格动态注3.1如果股票在时刻n支付红利div(n)，那么收益率的定义将会修改。当有红利支付时，股票价格将会降低同样的数额。FangyiHe,SchoolofEconomics10股票价格动态•弄清楚单时段收益率和长时间段的收益率之间的关系是重要的。FangyiHe,SchoolofEconomics11股票价格动态•注3.2在确定性收益率中我们已经论述过其不可加性。强调这点很重要因为人们通常将过去受益率的平均值作为对将来收益率的判断，但这可能会导致对信息的误解。例如，如果过去的股票价格有波动，收益率会被高估；反之，则会被低估。z命题3.1单时段收益率与在整个期限上收益率之间的准确的关系式为FangyiHe,SchoolofEconomics12股票价格动态命题3.1的证明如下：由定义3.1可以得出，和对比后证毕。z没有可加性常常很不方便，同理可以通过引入风险证券对数收益率来改变这种状况。z定义3.2在时间区间[n,m]（准确的说，）上的对数收益率k(n,m)是由下式定义的随机变量：FangyiHe,SchoolofEconomics13股票价格动态单时段对数收益率可以简单地表示为k(n)，即因此，z收益率K(m,n)和对数收益率k(m,n)之间的关系是显而易见的，可由比较它们的定义得出，即因此，我们可以实现从一个收益率到另一个收益率的转换。FangyiHe,SchoolofEconomics14股票价格动态•注3.3如果股票在时刻n支付红利div(n)，且相应的价格为S(n)，则对数收益率为用连续的单时段对数收益率相加的方法即可计算出整个时期的收益率。z命题3.2如果没有红利支付，则FangyiHe,SchoolofEconomics15股票价格动态命题3.2证明如下：根据对数收益率的定义，有反复地利用单时段对数收益率，可以得到对比两式即证毕。z假设收益率K在某一个确定区间上的概率分布是已知的，那么我们可以计算数学期望E(K)，称其为期望收益。FangyiHe,SchoolofEconomics16股票价格动态•命题3.3如果单时段的收益率K(n+1),…,K(m)是不相关的，则FangyiHe,SchoolofEconomics17股票价格动态命题3.3的证明如下：利用命题3.1，不相关的随机变量乘积的数学期望等于数学期望的乘积。z注3.4在对数收益的情况下，可加性可以扩展到期望收益，即使单时段收益不是相互独立的情况，即这是由期望的线性性决定的。FangyiHe,SchoolofEconomics18二叉树模型•二叉树模型(BinomialTreeModel)在数学上容易处理，因为它包含的参数很少，且假设在股票价格树的每个节点上具有简单且相同的结构。另一方面，它抓住了现实市场的很多特征。•二叉树模型由如下条件定义：–条件3.1：股票单期收益率K(n)是独立同分布的随机变量，满足在每个时段n这个条件意味着在每个时段，股票价格S(n)上涨和下跌的因子为1+u或者1+d。式中FangyiHe,SchoolofEconomics19二叉树模型–条件3.2：在每个时段，无风险投资单期收益率r是相同的，并且条件3.2说明，股票价格变动与无风险资产如债券或者银行存款有关（命题1.1已证明这个不等式的正确性）。条件3.1可以推导出随机变量S(1)可能取两个不同的值，即FangyiHe,SchoolofEconomics20二叉树模型•在n期股票价格树中，每一个具有i次上涨和n-i次下跌的股票价格变动在时刻n会产生相同的价格•其结果是，存在这样的状况，每一个的概率为因此其中i=0,1,…,n.在时刻n,股票价格S(n)可用n+1个不同值描述。FangyiHe,SchoolofEconomics21二叉树模型•价格向上变动的次数i为服从二项分布的随机变量；价格向下变动的次数n-i也服从同样的分布。因此，我们说价格过程服从二叉树。•对于n期二叉树所有状况的集合Ω，在每一个时段上涨或者下跌共有2n个元素。如下图的两时段价格二叉树和三时段二叉树(为简便，假定S(0)=1)。FangyiHe,SchoolofEconomics22二叉树模型•风险中性概率(Risk-NeutralProbability)–首先，我们研究股票价格期望E(S(n))的动态变化。当n=1时，有式中，是单期收益的期望。z命题3.4当n=0,1,2,…时，股票价格的期望为FangyiHe,SchoolofEconomics23二叉树模型命题3.4证明如下：因为单期收益K(1),K(2),….是独立的，所以有因为K(n)是同分布的，其期望相同，即证毕。FangyiHe,SchoolofEconomics24二叉树模型•如果将S(0)的金额在时刻0投资于无风险资产，n个时段以后，它将增长为S(0)(1+r)n。由命题3.4，要比较E(S(n))和S(0)(1+r)n，我们只需比较E(K(1))和r即可。•一个典型的风险厌恶的投资者要求E(K(1))r，因为他认为应该有更高的回报作为对风险的补偿。反之，当E(K(1))r时，如果收益高的非零概率很小，收益低的非零概率很大，对某些投资者而言仍然有吸引力，我们称这样的投资者是风险偏好者。•当E(K(1))=r时，被认为是风险中性的。FangyiHe,SchoolofEconomics25二叉树模型•为方便起见，我们对风险中性引入特殊的概率符号p*以及相应的取数学期望的符号E*，满足条件易得我们称p*为风险中性概率；E*为风险中性期望。zp*是一个抽象的数学概念，它可以不等于市场的实际概率p。风险中性概率p*甚至可以与真实概率p没有任何关系。(3.4)FangyiHe,SchoolofEconomics26二叉树模型•由等式(3.4)可以得到在几何意义上，这意味着把二元组看做是平面中的向量，它垂直于坐标为(u-r,d-r)的向量。向量(u-r,d-r)表示如果投资者利用利率为r的现金贷款融资购买股票，持有1股的投资者单时段可能的收益或损失。FangyiHe,SchoolofEconomics27二叉树模型•风险中性概率的等式(3.4)的另一个几何含义如下图所示，如果把质量p*和1-p*放在实轴上坐标为u和d的点上，那么质心在r。FangyiHe,SchoolofEconomics28二叉树模型•鞅性质(MartingaleProperty)由命题3.4可知，S(n)对于风险中性概率p*的期望为因为FangyiHe,SchoolofEconomics29二叉树模型FangyiHe,SchoolofEconomics30二叉树模型FangyiHe,SchoolofEconomics31二叉树模型上面例子的分析可以扩展到二叉树模型的任何时段。FangyiHe,SchoolofEconomics32二叉树模型•命题3.5假设股票在时刻n的价格S(n)是已知的，S(n+1)的风险中性条件期望是命题3.5的证明如下：假设n时段之后S(n)=x,于是有因为S(n+1)取值x(1+u)的概率为p*，取值x(1+d)的概率为1-p*。由p*的定义，可得于是有对S(n)的任意可能值都成立。FangyiHe,SchoolofEconomics33二叉树模型•定义股票的折现价格为我们可以得到如下的重要结论。z推论3.6鞅性质对任意的n=0,1,2,…,有则股票的折现价格在风险中性概率之下会形成一个鞅，风险中性概率被认为是鞅概率(MartingaleProbability)。FangyiHe,SchoolofEconomics34其他模型•三叉树模型二叉树模型的一个自然推广是将单时段收益K(n)的可能值的范围扩大到三个。这个想法产生于在给定的时段，不仅允许股票价格向上变动、向下变动，还可以取中间值。–条件3.3：单时段的收益K(n)是独立的随机变量，满足每个时段，式中，FangyiHe,SchoolofEconomics35其他模型–条件3.4：无风险投资的单时段收益在每个时间段都是相同的，而且dru。•因为，条件3.3意味着S(1)取三个不同值，有FangyiHe,SchoolofEconomics36其他模型•对风险中性概率，条件可以记为三元组作为中的向量，垂直于坐标为的向量。后一个向量表示，用现金贷款融资购买股票的投资者持有1股股票在单时段可能的收益和损失。z几何解释如下：位于三角形上，和垂直于与给定向量的平面正交。图示如下。(3.6)FangyiHe,SchoolofEconomics37其他模型FangyiHe,SchoolofEconomics38其他模型•条件3.4保证交集是非空的，因为向量不在第一象限。存在无穷多个风险中性概率，这个交集是一个线段。z对风险中性概率等式(3.6)的另一个解释是：如果质量p*,q*,1-p*-q*放在实轴上，坐标分别为u,n和d点，那么质心在r。