数字电路第二章习题讲评

第二章1.1本章习题类型和解题要点本章的习题在内容上有四种主要类型：•逻辑等式的证明•逻辑函数不同表示方法之间的转换•逻辑函数形式的变换•逻辑函数的化简一、逻辑等式的证明【题2.2】证明下列逻辑恒等式。左边对偶式为：右边对偶式为：左右对偶式相等，根据对偶定理原等式成立。(2)'''ACBDBDABBC'''()(')ACBDBDACBABCB'ABBC(2)'''ACBDBDABBC(3)(''')'''''1ABCCDBCABDBC(4)''''''''''ABCABCBCABCABCABC2.4.3对偶定理对偶规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，而变量保持不变，则可得到的一个新逻辑式YD，YD称为Y的对偶式。例如：对偶定理：如果两个逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。ACABCBA)())((CABABCAABABA()()ABABA证明两个逻辑式相等，也可以通过证明它们的对偶式相等来完成。YABCDEDYABCDE2.4.2反演定理对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得到的结果就是Y’。这个规则称为反演定理。例如：规则：1）需遵守运算优先次序；2）不属于单个变量上的反号应保留不变。()YABCCD''(')'''YABCCDACBCAD(('('')')')'YABCCD'((()')'(''))'YABCCD(3)(''')''''''(')'(')(''')''(')(''')1'(')(''')1ABCCDBCABDBCABCCDBCABDBCABCCDBCABDBCABDBCABDBC(4)'''''''''''''('')'('')'('')'(')(')(')(')(')'''ABCABCBCABCABACBCABCABCABCABCABCABCABCABCABCACBACABCABCABBCAC左边将等式右边变换为与或式，得到二、逻辑函数不同表示方法之间的转换•真值表→逻辑函数式①找出真值表中使逻辑函数Y＝1的那些输入变量的取值组合。②每组输入变量的取值组合对应一个乘积项，其中取值为1的写入原变量，取值为0的写入反变量。③将这些乘积项相加，即得Y的逻辑函数式。1、真值表↔逻辑函数式•逻辑函数式→真值表将输入变量的所有组合状态逐一代入逻辑式求出函数值，列成表，即得真值表。12122.3YY2.3a()YYb【题】巳知逻辑函数和的真值表如表P、所示，试写出和的逻辑函数式。1Y=A'B'C'+A'B'C+AB'C'+AB'C+ABC12•YY11解：找出（或）为时的输人变量取值组合，写出在这些变量取值下其值为的最小项（如表中所示），将这些最小项相加，得到2Y=A'B'C'D'+A'B'CD'+A'BC'D'+A'BCD+AB'C'D'+AB'CD+ABC'D+ABCD'【题2.4】已知逻辑函数的真值表如表P2.4(a)、(b)所示，试写出对应的逻辑函数式。Y=A'B'C+A'BC'+AB'C'''''''''''ZMNPQMNPQMNPQMNPQMNPQMNPQMNPQMNPQ解：参见上题的说明。2、逻辑函数式↔逻辑图•逻辑函数式→逻辑图用图形符号代替逻辑式中的运算符号，就可以画出逻辑图。•逻辑图→逻辑函数式：从输入端到输出端逐级写出每个图形符号对应的逻辑式，可得逻辑函数式。可在每个图形符号前做标注。1Y=((A+B)'C)'(C'D)'=(A'B'C')(')'A'B'C'(')(')'''''''''''''CDCDABCCDABCABCDACDBCDCDABCCD【题2.7】写出图（a）（b）所示电路的输出逻辑函数式。解：从输入向输出逐级写出每个门的输出逻辑式，如图中所示，得到2Y=((AB')'E+(B'CD)'E)'=((AB')'E)'((')'E)'('E')('E')'E'BCDABBCDABCD•波形图→真值表从波形图上找出每个时间段里输入变量与函数输出的取值，然后将这些输入、输出取值对应列表，就得到了所求的真值表。3、波形图↔真值表•真值表→波形图4、逻辑函数式↔卡诺图逻辑函数以一般的逻辑表达式给出：先将函数变换为与或表达式（不必变换为最小项之和的形式），然后在卡诺图上与每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的公因子）相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0。三、逻辑函数式的变换利用摩根定理将整个与或式两次求反，即可将与或形式化为与非-与非形式。1、与或形式→与非-与非形式【题2.12】将下列逻辑函数式化为与非—与非形式，并画出全部由与非逻辑单元组成的逻辑电路图。(2)YABABCBCABABCBCAB'C'ABC(2)YABABCBC(4)YA(BC)'((AB')'A'B'BC)'(4)YA(BC)'((AB')'A'B'BC)'A(BC)'AB'(A'B')'(BC)'A(BC)'((A(BC)')')'AB'AC'((AB')'(AC')')'或2、与或形式→与或非形式a.将逻辑函数展开为最小项的形式；b.将Y式中不包含的最小项相加，得Y’；c.将Y’求反，就可得Y的与或非式。2,5,6,7YACBCACBBBCAAABCABCABCABCm0,1,3,4Ym''0,1,3,4''''''''''''''YYmABCABCABCABCBCAC3、与或形式→或与形式a.将逻辑函数展开为最小项的形式；b.将Y式中不包含的最小项相加，得Y’；c.将Y’求反，就可得Y的与或非式；d.利用摩根定理将与或非式转换成或与形式。''0,1,3,4''''''''''''''()(')YYmABCABCABCABCBCACBCAC4、与或形式→或非形式a.将逻辑函数展开为最小项的形式；b.将Y式中不包含的最小项相加，得Y’；c.将Y’求反，就可得Y的与或非式；d.利用摩根定理将与或非式中的每个乘积项转化为或非的形式，即得或非-或非式。。''0,1,3,4''''''''''''''()'(')''YYmABCABCABCABCBCACBCAC【题2.13】将下列逻辑函数式化为或非—或非形式，并画出全部由或非逻辑单元组成的逻辑电路图。(2)Y(AC)(A'BC')(A'B'C)(3)YABCBCDABD(4)Y((CD)'(BC)'(ABC)'D')'(2)Y(AC)(A'BC')(A'B'C)A'CBCAB'C0Y(A'C'AB'CBC')'((AC)'(B'C)'(A'BC')')'解：画出上式的卡诺图，合并其中的，然后求反，得到(3)YABCBCDABD=ABCBCDABDABCADBCDBD=ABCADBCDBD(4)Y((CD)'(BC)'(ABC)'D')'((C'D)(B'C')(A'B'C')D')'(C'D'(B'C'))'(C'D')'((CD)')'a.将函数化成与或形式b.对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用公式A＋A’＝1和A(B+C)＝AB＋BC来配项展开成最小项表达式5、将逻辑函数式化为最小项之和的形式【题2.10】将下列各函数式化为最小项之和的形式。（1）（3）（5）YABCACBCYABCABCABCABCYABCDYABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDYLMMNNLYLMNLMNLMNLMNMNLMNL6、将逻辑函数式化为最大项之积的形式由于最大项与最小项有反演关系，所以若已得函数的最小项之和即：则将真值表中函数值为0的那些最小项相加，便可得到反函数的最小项表达式。iiYmkkiYm根据反演定理可得：kkiYM【题2.11】将下列各式化为最大项之积的形式。（2）Y=AB’+C（4）Y=BCD’=C=A’D（6）Y(A,B,C,D)=m(0,1,2,4,5,6,8,10,11,12,14,15)(2)Y=(A+C)(B'+C)=(A+BB'+C)(AA'+B'+C)=(A+B'+C)(A+B+C)(A'+B'+C)(4)Y=BCD'+C+A'D=C+A'D=(A'+C)(C+D)=(A'+BB'+C)(AA'+C+D)=(A'+B'+C+DD')(A'+B+C+DD')(A'+BB'+C+D)(A+B解：B'+C+D)=(A'+B'+C+D')(A'+B'+C+D)(A'+B+C+D')(A'+B+C+D)(A+B'+C+D)(A+B+C+D)37913012456810111214153791337913''''(6)(,,,)'(,,,)(,,,)(')'()'=(A+B+C'+D')(A+B'+C'+D')(A'+B+C+D')(A'+B'+C+D')YABCDmmmmmmmmmmmmYABCDmmmmYABCDYmmmmmmmm解：因为已知所以可知四、逻辑函数化简1、公式化简法【题2.15】用逻辑代数的基本公式和常用公式将下列逻辑函数简化为与或形式。（1）Y=AB’+B+A’B;（3）Y=(AB’C)’+(AB’)’;（5）Y=AB’(A’CD+(AD+B’C’)’)(A’+B);（7）Y=AC’+ABC+ACD’+CD;（9）Y=BC’+ABC’E+B’(A’D’+AD)’+B(AD’+A’D);解：（1）Y=AB’+B+A’B=AB’+B=A+B;（3）Y=(AB’C)’+(AB’)’=A+B’+C’+A’+B=(A+A’)+(B+B’)+C’=1;（5）Y=AB’(A’CD+(AD+B’C’)’)(A’+B)=(AB’)(AB’)’(A’CD+(AD+B’C’)’)=0;（7）Y=AC’+ABC+ACD’+CD=A(C’+BC)+C(AD’+D)=A(C’+B)+C(A+D)=AC’+AB+AC+CD=A(C+C’)+AB+CD=A+CD;（9）Y=BC’+ABC’E+B’(A’D’+AD)’+B(AD’+A’D)=BC’+B’(AD’+A’D)+B(AD’+A’D)=BC’+(B’+B)(AD’+A’D)=BC’+AD’+A’D【题2.20】写出图P2.20中的各逻辑函数式，并简化为最简与或式。12(a)Y=((AB'C)'(BC')')'=AB'C+BC'(b)Y=((A'+C)'+(A+B')'+(B+C')')'=(A'+C)(A+B')(B+C')=ABC+A'B'C'(c)Y=((AB')'(ACD')')'=AB'+ACD'Y=((AB')'(AC'D')'(A'C'D)'(ACD)')