圆中辅助线添法法口诀与应用

1初中数学圆中辅助线添法探究一、圆的辅助线口诀半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。注意点：辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。二：圆中常见辅助线的添加1、遇到弦时（解决有关弦的问题时）（1)、常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。（2）、常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。作用：①可得等腰三角形；②据圆周角的性质可得相等的圆周角。2、遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形3、遇到90°的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。作用：利用圆周角的性质，可得到直径。4、遇到有切线时（1）常常添加过切点的半径（见切点连半径得垂直）作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。5、遇到证明某一直线是圆的切线时（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径），再证其与直线垂直。6、遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。作用：利用内心的性质，可得：（1）内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；（2）内心到三角形三条边的距离相等7、遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点作用：外心到三角形各顶点的距离相等。2圆是初中数学教学重点内容之一,对培养学生的分析能力、逻辑推理能力、解决问题能力有着重要作用.圆的知识是中考必考内容,从基础知识检测到综合解题能力考察都出现在中考数学试卷中.由圆和直线型图形,圆和函数图象可以组合成一些复杂的几何题；由圆的重要性质和平面直角坐标系、函数、方程、面积等知识就组成了综合性强、涉及面广、图形变化大的中考压轴题.在解决此类问题时,常常需要添加辅助线,才能把题中的已知条件和所求问题联系起来,使问题逐层分解,化繁为简,化难为易,从而使解题简便易行.在圆中如何添辅助线？结合自己的教学实践作一些探究.三、添加辅助线应用举例1、有弦，可作弦心距例1如图,⊙O的弦AB、CD相交于点P，且AC=BD。求证：PO平分∠APD。证明：作OM⊥AB于E，ON⊥CD于F∵AB=CD∴OE=OF∴PO平分∠APD例1半径为5的圆中，求两条长为8和6的平行弦之间的距离.分析:此题没有说明两条平行弦是在圆心的两旁还是同旁，因此要考虑两种情况.解:第一种情况:如图,弦AB、CD在圆心O的同旁.过O作OE⊥AB于E，交CD于F，则AE=12AB=3.连结OA、OC.∵AB∥CD,∴OE⊥CD于F，则EF是平行弦AB、CD间的距离.在Rt△OEA中，由OA=5,AE=3得OE=3522=4.同理可得OF=3.∴EF=OE-OF=4-3=1.第二种情况:如图,弦AB、CD在圆心O的两旁.过O点作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F.连结OA、OC.∵AB∥CD，则EO⊥CD于F.∴EF是平行弦AB、CD间的距离.由垂径定理和勾股定理易得：OE=4，OF=3，则EF=OE+OF=7.启示:有关圆中弦常添的辅助线是过圆心作垂线，利用勾股定理，依靠垂径定理及其推论解决有关弦的问题.2、有直径，可作直径所对的圆周角例3已知:在Rt△ABC中∠ABC=90º,以AB为直径作☉O交AC于D，DE切☉O于D且交BC于E.求证:BE=EC.证明:连结BD.∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90º，△BDC为Rt△.又∵∠ABC=90º，AB是☉O的直径，∴BC切☉O于点B.又∵DE切☉O于D,∴BE=DE，则∠BDE=∠DBE.∵∠1+∠BDE=90º，∠C+∠DBE=90º,∴∠1=∠C，∴DE=EC.∴BE=EC.启示:有关圆中直径，常构造直径所对的圆周角是直角添加辅助线.3、当圆中有切线常连结过切点的半径或过切点的弦例4已知:在Rt△ABC中,∠C=90º,BC是☉O的直径，AB交☉O于D，DE切☉O于D，交AC于E.求证：OE∥BA.证明:连结OD.∵DE切☉O于D,∴∠EDO=90º.又∵∠C=90º，OC=OD,OE=OE,∴Rt△ECO≌RtEDO.∴∠1=∠2=12∠COD.又∵∠B=12∠COD,∴∠1=∠B.∴OE∥BA.例5已知:如图点O′为∠AOB角平分线上一点,以O′为圆心作☉O′与OA相切于点E.求证:☉O′与OB相切.证明:过点O′作O′F⊥OB于F，连结O′E.∵OA切☉O′于点E,∴O′E⊥OA于点E;O′E为☉O′的半径.又∵点O′为∠AOB角平分线上的点,∴O′E=O′F.∴☉O′与OB相切.启示:关于圆中切线，常用辅助线是：（1）切点与圆心连线要领先，过切点作弦，莫忘弦切角.（2）要证一条线为圆的切线时，只要过圆心作这条线的垂线，证垂线段等于这个圆的半径.34、圆的切线的两种常用方法（1）如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径．例6如图，AO是△ABC的中线，⊙O与AB边相切于点D．（1）要使⊙O与AC边也相切，应增加条件_________________．（任写一个）（2）增加条件后，请你证明⊙O与AC边相切．解:（1）答案不唯一，可以是∠B=∠C，AB=AC，∠BAO=∠CAO，AO⊥BC等．（2）增加条件∠B=∠C后，⊙O与AC边相切．证明：:连接OD，作OE⊥AC，垂足为E．∵⊙O与AB相切于点D，∴∠BDO=∠CEO=90°．∵AO是△ABC的中线，∴OB=OC．又∵∠B=∠C，∴△BDO≌△CEO，∴OE=OD．∵OD是⊙O的半径，∴OE是⊙O的半径．∴⊙O与AC边相切．（2）已知直线与圆的公共点时只需连接该公共点和圆例7已知AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，连接OC，弦AD∥OC．求证：CD是⊙O的切线．思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CD是⊙O的切线，只要证明∠ODC＝90º即可．证明：连接OD∵BC是⊙O的切线∴∠OBC=90°∵AD‖OC∴∠A=∠BOC，∠ODA=∠DOC∵OA=OD∴∠A=∠ODA∴∠DOC=∠BOC∵OD=OB，OC=OC∴△OCD≌△OCB∴∠ODC=∠OBC=90°∴CD是⊙O的切线例8如图，B、C是⊙O上的点，线段AB经过圆心O，连接AC、BC，过点C作CD⊥AB于D，∠ACD=2∠B．AC是⊙O的切线吗？为什么？解：AC是⊙O的切线理由：连接OC∵OC=OB∴∠OCB=∠B∵∠COD是△BOC的外角∴∠COD=∠OCB+∠B=2∠B∵∠ACD=2∠B∴∠ACD=∠COD∵CD⊥AB于D∴∠DCO+∠COD=90°∴∠DCO+∠ACD=90°∵即OC⊥ACC为⊙O上的点∴AC是⊙O的切线．例9已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径，D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．解：DE与⊙O的位置关系式相切．理由是：连接OC，∵AE⊥CD，CF⊥AB，CE=CF，∴∠EAC=∠CAF，∵OA=OC，∴∠CAF=∠OCA，∴∠OCA=∠EAC，∴OC∥AE，∵AE⊥DE，∴OC⊥DE，∵OC为⊙O半径，∴DE是⊙O的切线，即DE与⊙O的位置关系式相切．45当两圆相切，可作公切线或连心线例10已知:两圆外切于点P,一条割线分别交两圆于A、B、C、D四点.求证:∠APD+∠BPC=180º.证明:过切点P作两圆的公切线MN.则∠BPM=∠A，∠CPM=∠D.∵∠APD+∠A+∠D=180º,∴∠APD+∠BPM+∠CPM=180º.∵∠BPM+∠CPM=∠BPC,∴∠APD+∠BPC=180º.例11已知：两圆内切于点P,大圆的弦AD交小圆于B、C两点.求证:∠APB=∠CPD.证明:过点P作公切线TP.则∠APT=∠D,∠BPT=∠BCP.∵∠APB=∠BPT-∠APT,∠CPD=∠BCP-∠D,∴∠APB=∠CPD.启示:两圆相切,过切点作公切线,再利用弦切角定理等知识解之.六、当两圆相交，可作公共弦或连心线。例12已知:☉O1与☉O2相交于A、B两点,E为☉O1上的一点,EF切☉O1于点E,EA、EB的延长线交☉O2于C、D两点.求证:EF∥CD.证明:连结AB，则∠1=∠2.∵四边形ABDC是☉O2的内接四边形,∴∠2=∠D.∴∠1=∠D.∴EF∥CD.启示:两圆相交，试连公共弦，有时也作连心线.例13已知：如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过A的直线交⊙O1于C，交⊙O2于D，过B的直线交⊙O1于E，交⊙O2于F，且CD∥EF求证：CE=DF证明：连接AB∵∠CAB=∠F，CD∥EF∴∠C+∠E=180°∵∠CAB+∠E=180°∴∠C=∠CAB=∠F∴∠F+∠E=180°∴四边形CDFE是平行四边形；∴CE=DF．综上所述，在解决涉及到圆的问题时，只要添加适当的辅助线，就能把题中的已知条件和问题巧妙地连接起来，达到化繁为简，化难为易的目的，从而使问题的解决简便易行.总结:弦心距、半径、直径是圆中常见的辅助线。圆中辅助线添加的常用方法圆是初中几何中比较重要的内容之一，与圆有关的问题，汇集了初中几何的各种图形概念和性质，其知识面广，综合性强，随着新课程的实施，园的考察主要以填空题，选择题的形式出现，不会有比较繁杂的证明题，取而代之的是简单的计算。圆中常见的辅助线有：1、作半径，利用同圆或等圆的半径相等；2、涉及弦的问题时，常作垂直于弦的直径（弦心距），利用垂径定理进行计算和推理；3、作半径和弦心距，构造直角三角形利用勾股定理进行计算；4、作直径构造直径所对的圆周角；5、构造同弧或等弧所对的圆周角；6、遇到三角形的外心时，常连接外心与三角形的各个顶点；7、已知圆的切线时，常连接圆心和切点（半径）；8、证明直线和园相切时，有两种情况：（1）已知直线与圆有公共点时，连接圆心与公共点，证此半径与已知直线垂直，简称“有点连线证垂直，”（2）已知直线与圆无公共点时，过圆心作已知直线的垂线段，证它与半径相等，简称“无点做线证相等”此外，两解问题是圆中经常出现的问题，涉及弧，弦，与圆有关的角，点与圆，直线与圆，圆与圆的位置关系等知识，着重考察思维的完备性和严谨性，应特别引起重视