二次函数中的竞赛题

第1页共7页2011～2012初中培优竞赛讲义（初三组）第4讲二次函数竞赛训练题1．二次函数cbxxy2的图象的顶点为D，与x轴正方向从左至右依次交于A，B两点，与y轴正方向交于C点，若△ABD和△OBC均为等腰直角三角形（O为坐标原点），则cb2．2．在直角坐标系中有三点A（0，1），B（1，3），C（2，6）；已知直线baxy上横坐标为0、1、2的点分别为D、E、F.试求ba,的值使得AD2+BE2+CF2达到最大值.3.（2004年“TRULY@信利杯”全国初中数学竞赛试题）实数x、y、z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z的最大值是_______．4.已知直线32xy与抛物线2xy相交于A、B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积等于___________。5.（2003年“TRULY@信利杯”全国初中数学竞赛试题）已知二次函数y=ax2+bx+c（其中a是正整数）的图象经过点A（-1，4）与点B（2，1），并且与x轴有两个不同的交点，则b+c的最大值为________．6.设抛物线452122axaxy的图象与x轴只有一个交点，（1）求a的值；（2）求618323aa的值.7.通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散.学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示（y越大表示学生注意力越集中）.当100x时，图象是抛物线的一部分，当2010x和4020x时，图象是线段.（1）当100x时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式；（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟.问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36.第2页共7页8．课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口．．的水槽，使水槽能通过的水的流量最大．初三（1）班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，他们对水槽的横截面进行了如下探索：（1）方案①：把它折成横截面为直角三角形的水槽（如图a）．若∠ACB=90°，设AC=x厘米，该水槽的横截面面积为y厘米2，请你写出y关于x的函数关系式（不必写出x的取值范围），并求出当x取何值时，y的值最大，最大值又是多少？方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽（如图b）．若∠ABC=120°，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的y的最大值比较大小．（2）假如你是该兴趣小组中的成员，请你再提供两种方案，使你所设计的水槽的横截面面积更大．画出你设计的草图，标上必要的数据（不要求写出解答过程）．9．如图，抛物线2(0)yaxbxa与双曲线kyx相交于点A，B.已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.（1）求实数a，b，k的值；（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.10.如图，抛物线2230ymxmxmm与x轴交于AB、两点，与y轴交于C点.（1）请求出抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），AB、两点的坐标；（2）经探究可知，BCM△与ABC△的面积比不变，试求出这个比值；（3）是否存在使BCM△为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明理由.第3页共7页11．已知抛物线2yx与动直线cxty)12(有公共点),(11yx，),(22yx，且3222221ttxx.（1）求实数t的取值范围；（2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值.12.已知0a，0b，0c，且acbacb242，求acb42的最小值.13.在自变量x的取值范围59≤x≤60内，二次函数212yxx的函数值中整数的个数是()A.59B.120C.118D.6014.在直角坐标系中，抛物线223(0)4yxmxmm与x轴交于A，B的两点.若A，B两点到原点的距离分别为OA，OB，且满足1123OBOA，则m=_____.15.Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线2xy上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（）（A）h1（B）h=1（C）1h2（D）h216.设0＜k＜1，关于x的一次函数)1(1xkkxy，当1≤x≤2时的最大值是（）（A）k（B）kk12（C）k1（D）kk117.平面直角坐标系中，如果把横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，那么函数1212xxy的图象上整点的个数是（）（A）2个（B）4个（C）6个（D）8个18.函数1422xxy的最小值是．19.对220baab，，二次函数))((bxaxy的最小值为（）A.2)2(baB.2)2(baC.2)2(baD.2)2(ba第4页共7页图6-2yx01·20.两抛物线222baxxy和222bcxxy与x轴交于同一点（非原点），且a、b、c为正数，a≠c，则以a、b、c为边的三角形一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形21.当n=1，2，3，……，2003，2004时，二次函数1)12()(22xnxnny的图象与x轴所截得的线段长度之和为（）A.20032002B.20042003C.20052004D.2006200522.已知二次函数cbxaxy2图象如图6-2所示，则下列式子：ab，ac，a+b+c，a-b+c，2a+b，2a-b中，其值为正的式子共有个.23.如果当m取不等于0和1的任意实数时，抛物线mmxmxmmy3212在平面直角坐标系上都过两个定点，那么这两个定点间的距离为＿＿＿＿＿＿＿24.已知抛物线1)1(2xkxy与x轴两个交点A、B不全在原点的左侧，抛物线顶点为C，要使△ABC恰为等边三角形，那么k的值为＿＿＿＿＿＿＿25.设x为实数，则函数12156322xxxxy的最小值是＿＿＿＿＿＿26.设二次函数qpxxy2的图象经过点（2，-1），且与x轴交于不同的两点A（x1，0）B（x2，0），M为二次函数图象的顶点，求使△AMB面积最小时的二次函数的解析式.27.已知：3x2+2y2=6x,x和y都是实数，求：x2+y2的最大、最小值.28.ABC中,∠B=60，AC=1，求BA+BC的最大值及这时三角形的形状.第5页共7页FEGABCDAtsONMHGFEDCBADtsOBtsOCtsO批发量（kg）批发单价（元）O60204529.如图，点G、D、C在直线a上，点E、F、A、B在直线b上，若ab∥，RtGEF从如图所示的位置出发，沿直线b向右匀速运动，直到EG与BC重合．运动过程中GEF与矩形ABCD重合部分．．．．的面积S随时间t变化的图象大致是（）30.（南京）如图，E、F分别是边长为4的正方形ABCD的边BCCD，上的点，413CECF，,直线EF交AB的延长线于G，过线段FG上的一个动点H作HMAG⊥，HNAD⊥，垂足分别为MN，，设HMx，矩形AMHN的面积为y⑴求y与x之间的函数关系式；⑵当x为何值时，矩形AMHN的面积最大，最大面积为多少？31.已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示．（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．（2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量m（kg）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大.764080零售价（元）最高日销量（kg）O第6页共7页-2-1O1x232．函数623)12(222kkxkxy的最小值为m，则当m达到最大时，x＝______（2004年全国初中数学联赛）33．设a，b为实常数，k取任意实数时，函数)3()(2)1(2222bakkxkaxkky的图像与x轴交于点A（1，0）（1）求a，b的值（2）若函数与x轴的另一个交点为B，当k变化时，求AB的最大值34.（2007年福州）如图所示，二次函数2yaxbxc（a≠0）的图象经过点（－1，2），且与x轴交点的横坐标分别为1x、2x，其中－2＜1x＜－1，0＜2x＜1，下列结论：①420abc；②20ab；③a＜－1；④284baac＞.其中正确的有：（）A、1个B、2个C、3个D、4个35.（2007年天门）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米，现在O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）．（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；（2）求出这条抛物线的函数解析式；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．36.（2009年天津市）已知函数212yxyxbxc，，，为方程120yy的两个根，点1MT，在函数2y的图象上．（Ⅰ）若1132，，求函数2y的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数1y与2y的图象的两个交点为AB，，当ABM△的面积为112时，求t的值；（Ⅲ）若01，当01t时，试确定T，，三者之间的大小关系，并说明理由．第7页共7页37.已知点A(0,3)，B(-2,-1)，C(2,-1)P(t,t2)为抛物线y＝x2上位于三角形ABC内（包括边界）的一动点，BP所在的直线交AC于E，CP所在的直线交AB于F。将BFCE表示为自变量t的函数。38．在直角坐标系xOy中，一次函数bkxy0k（）的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，且使得△OAB的面积值等于3OAOB．（1）用b表示k；（2）求△OAB面积的最小值．39．已知点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数233yxax的图象与线段AB恰有一个交点，则a的取值范围是．40．已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P是抛物线214yx上的一个动点．（1）判断以点P为圆心，PM为半径的圆与直线1y的位置关系；（2）设直线PM与抛物线214yx的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：PNMQNM．