苏大--高数下--练习答案

微积分（二）同步练习答案1§8.1向量及其线性运算（1）、（2）、（3）、（4）一、设2,2uabcvabc=−+=++，试用,,abc表示24uv−．24102uvbc−=−−二、,,abc为三个模为1的单位向量，且有0abc++=成立，证明：,,abc可构成一个等边三角形．,,abc可构成一个三角形0abc⇔++=，且,,abc两两不共线三、把△ABC的BC边四等分，设分点依次为123DDD、、，再把各分点与点A连接，试以ABcBCa==、表示向量12DADA、和3DA．11()4DAca=−+，21()2DAca=−+，33()4DAca=−+四、已知两点()11,2,3M和()21,2,1M−−，试用坐标表示式表示向量12MM及123MM−．12(0,4,4)MM=−−，123(0,12,12)MM−=§8.1向量及其线性运算（5）§8.2数量积向量积一、试证明以三点()()()10,1,64,1,92,4,3ABC−、、为顶点的三角形是等腰直角三角形．7AB=，7BC=，72AC=二、设已知两点()()125,2,24,0,3MM和，计算向量12MM的模、方向余弦和方向角，并求与12MM方向一致的单位向量．12(1,2,1)MM=−−，122MM=，1cos2α=−，2cos2β=−，1cos2γ=23πα=，34πβ=，3πγ=，12121(,,)222MM°=−−三、设234,4223mijknijkpijk=++=−+=−++及，求232amnp=+−在x轴上的投影及在z轴上的分向量．(18,1,8)a=−，Pr18xja=，8zakk=四、已知,,abc为三个模为1的单位向量，且0abc++=，求abbcca++iii之值．2(,)(,)(,)3abbccaπ===，32abbcca++=−iii五、已知23,aijkbijkcij=++=−−=+和，计算：()()()1abcacb−ii；()()()2abbc+×+；()()3abc×i．()()()125(7,3,5)abcacbcb−=−−=−ii()()()2(3,2,0)(2,0,1)(2,3,4)abbc+×+=×−=−−()()3(2,3,5)(1,1,0)1abc×=−−⋅=i六、设()()2,1,3,1,2,1ab=−=−−，问λμ和满足何关系时，可使abλμ+与z轴垂直？(2,2,3)abλμλμλμλμ+=−−+−，3λμ=七、已知()1,2,3OA=，()2,1,1OB=−，求△AOB的面积．(5,5,5)OAOB×=−，15322ABCSOAOBΔ=×=微积分（二）同步练习答案2§8.3曲面及其方程一、一动点与两定点()()1,2,33,0,7和等距离，求这动点的轨迹方程．2110xyz−+−=二、方程2222460xyzxyz++−+−=表示什么曲面？球心在(1,2,3)−，半径为14的球面三、将xoz平面上的双曲线224936xz−=分别绕x轴及z轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．绕x轴：22249()36xyz−+=；绕z轴：2224()936xyz+−=四、指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形？1.24yx=+；直线，平面222.326xy−=．双曲线，双曲柱面五、说明下列旋转曲面是怎样形成的？2221.226xyz++=；2226xy+=，绕x轴；或2226xz+=，绕x轴()2222.zaxy+=+．()22zax+=，绕z轴；或()22zay+=，绕z轴六、指出下列方程所表示的曲面：2221.22xyz+−=；2222.33xyz−−=223.345xyz+=单叶双曲面；双叶双曲面椭圆抛物面§8.4空间曲线及其方程§8.5平面及其方程(1)一、填空题：1．曲面22xy+−209z=与平面3z=的交线圆的方程是（2213xyz⎧+=⎨=⎩），其圆心坐标是（(0,0,3)），圆的半径为（1）．2．曲线222221(1)(1)1xyxyz⎧+=⎪⎨+−+−=⎪⎩在yoz面上的投影曲线为（22(1)10yzx⎧−−=⎨=⎩）．3．螺旋线cosxaθ=,sinyaθ=,zbθ=在yoz面上的投影曲线为（sin0zyabx⎧=⎪⎨⎪=⎩）．4．上半锥面22zxy=+（01z≤≤）在xoy面上的投影为（2210xyz⎧+≤⎨=⎩），在xoz面上的投影为（10xzy⎧≤≤⎪⎨=⎪⎩），在yoz面上的投影为（10yzx⎧≤≤⎪⎨=⎪⎩）．二、选择题：1．方程22149xyyz⎧+=⎪⎨⎪=⎩在空间解析几何中表示（B）．（Ａ）、椭圆柱面（Ｂ）、椭圆曲线（Ｃ）、两个平行平面（Ｄ）、两条平行直线微积分（二）同步练习答案32．参数方程cossinxayazbθθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩的一般方程是（D）．（Ａ）、222xya+=(B)、coszxab=(C)、sinzyab=(D)、cossinzxabzyab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3．平面20xz−=的位置是(D)．（Ａ）、平行xoz坐标面。（Ｂ）、平行oy轴（Ｃ）、垂直于oy轴（Ｄ）、通过oy轴4．下列平面中通过坐标原点的平面是(C)．（Ａ）、1x=(Ｂ)、2340xyz+++=(C)、3(1)(3)0xyz−−++=(D)、1xyz++=三、化曲线2229xyzyx⎧++=⎨=⎩为参数方程．32cos2xθ=，32cos2yθ=，3sinzθ=四、求通过三点(1,1,1)、(2,2,2)−−和(1,1,2)−的平面方程．3680xyz−−+=§8.5平面及其方程(2)(3)§8.6空间直线及其方程一、填空题：１．过点(4,1,3)P−且平行于直线51232−==−zyx的直线方程为（432(1)35xzy−−=+=）．２．过点(2,0,3)P−且与直线2773521xyzxyz−+=⎧⎨+−=−⎩垂直的平面方程为（312311950xyz−−−=）．３．过点(0,2,4)P且与二平面21xz+=和32yz−=平行的直线方程是（2423xyz−==−−）．4．当m=（1−）时，直线13241zyx=+=−与平面3510mxyz+−+=平行．二、选择题：1．下列直线中平行与xoy坐标面的是(D)．（A）233211+=+=−zyx（C）10101zyx=−=+（B）44040xyxz−−=⎧⎨−−=⎩（D）1234xtytz=+⎧⎪=⎨⎪=⎩2．直线:L37423zyx=−+=−+与平面:4223xyzπ−−=的关系是(A)．（A）平行（B）垂直相交（C）L在π上（D）相交但不垂直3．设直线1158:121xyzL−−+==与26:23xyLyz−=⎧⎨+=⎩，则1L与2L的夹角为(C)．（A）π/6（B）π/4（C）π/3（D）π/2微积分（二）同步练习答案44．两平行线tztytx=+=+=,12,1与112112−=+=−zyx之间的距离是(D)．（Ａ）1（Ｂ）2（Ｃ）23（Ｄ）433三、设直线L通过(1,1,1)，且与1:632Lxyz==相交，又与2:L431221−=−=−zyx垂直，求直线L的方程．设交点为(,2,3)ttt，则(1,21,31)(2,1,4)sttt=−−−⊥，得716t=9251(,,)(9,2,5)16161616s=−−=−−，L的方程：111925xyz−−−==−四、求通过z轴，且与平面2570xyz+−−=的夹角为3π的平面方程．设所求平面为0AxBy+=，则2221210ABAB+=+，223830AABB+−=3AB=−或3BA=，故30xy+=或30xy−=五、求通过点(2,0,1)P−，且又通过直线32121−=−=+zyx的平面方程．取(1,0,2)Q−，(3,0,3)nPQ⊥=−，(2,1,3)ns⊥=−(3,15,3)3(1,5,1)nPQs=×==方程为(2)5(1)0xyz−+++=，即510xyz++−=六、设直线11:230112xyzLxyzπ−−==+−−=−与平面：，（１）求证L与π相交，并求交点坐标；（２）求L与π交角；（３）求过L与π交点且与L垂直的平面方程；（４）求过L且与π垂直的平面方程；（５）求L在π上的投影直线方程．（1）:,1,21Lxtytzt=−=+=+，代入平面得1t=−，交点为(1,0,1)−（2）2121sin266θ−+−==⋅，6πθ=（3）(1)2(1)0xyz−−+++=，即230xyz−−−=（4）(1,1,2)(2,1,1)3(1,1,1)n=−×−=−−，方程为(1)(1)0xyz−−+−=，即0xyz−+=（5）0230xyzxyz−+=⎧⎨+−−=⎩第八章习题课一、选择题：1．若直线λ12111−=+=−zyx和直线zyx=−=+1111相交，则λ=（D）.（A）1（B）32（C）54−（D542．母线平行于x轴且通过曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+−=++0162222222zyxzyx的柱面方程是(B).（A）2216xy+=(B)22316yz−=(C)223216xz+=(D)22316yz−+=微积分（二）同步练习答案53．曲线222(1)(1)40xyzz⎧−+++=⎨=⎩的参数方程是(A).（Ａ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=0sin3cos31zyxθθ(B)⎪⎩⎪⎨⎧==+=0sin2cos21zyxθθ（C）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0sin3cos3zyxθθ(D)⎪⎩⎪⎨⎧===0sin2cos2zyxθθ二、填空题：1．已知a与b垂直，且a=5，b=12，则=+ba（13），ba−=（13）.2.一向量与ox轴和oy轴成等角，而与oz轴组成的角是它们的二倍，那么这个向量的方向角=α（4π），=β（4π），=γ（2π）.3．已知从原点到某平面所作的垂线的垂足为点(2,2,1)−−，则该平面方程为（2290xyz+−+=）.四、求原点关于平面6291210xyz+−+=的对称点.过原点且垂直于平面的直线为6,2,9xtytzt===−，与平面交点为(6,2,9)−−所求对称点为(12,4,18)−−五、求过点(1,2,3)−垂直于直线456xyz==，且平行于平面789100xyz+++=的直线方程.(7,8,9)(4,5,6)3(1,2,1)s=×=−，所求直线为123121xyz+−−==−六、求过原点且与直线234023450xyzxyz+++=⎧⎨+++=⎩垂直相交的直线方程.已知直线为23121xyz−+==−，设交点为(2,23,)Nttt+−−，则(1,2,1)ON⊥−，得43t=−1(2,1,4)3ON=−−，所求直线为214xyz==−−七、讨论两直线1230:2470xyzlxyz−+=⎧⎨+++=⎩与232350:3230xyzlxyz−++=⎧⎨−−−=⎩的位置关系.交点为(3,2,0)−−§9.1多元函数的基本概念一、已知22),(yxxyyxf−=+，求(,)fxy。令,yuxyvx=+=，则,11uuvxyvv==++，2222(1)(1)(,)(1)1uvuvfuvvv−−==++2(1)(,)1xyfxyy−=+二、求下列函数的定义域：1．yxyxz−−+=11xyx−2.221)ln(yxxxyz−−+−=221,0xyxy+≤微积分（二）同步练习答案63．2222ln[(9)(1)]zxyxy=−−+−2219xy+三、求下列极限，若不存在，说明理由。2.222200cos1limyxyxyx++−→→原式22220,0214lim2xyxyxy→→+×==+3．yxxyx+→→00lim00()1limlim1xxykxxxxyxkxk→→===+++，极限不存在4.11lim00−+→→xyxyyx原式00(11)lim2xyxyxyxy→→++==四、讨论函数sin(2),22(,)0,2xxyxyxyfxyxy−⎧≠⎪−=⎨⎪=⎩的连续性。2xy≠及0xy==处连续§9.2偏导数§9.3全微分(1)一、计算：1.设22(,)xfxyxyxy=++，求(0,1)xf′，(0,1)yf′。2(,1