向量运算在中学几何中的应用

2015年度本科生毕业论文（设计）向量运算在中学几何中的应用教学系：数学学院专业：数学与应用数学年级：2011级姓名：吴朝文学号：20110701012048导师及职称：陆亚哲讲师2015年5月毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经撰写或发表过的研究成果。对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。作者签名：日期：毕业论文（设计）授权使用说明本论文（设计）作者完全了解文山学院有关保留、使用学生毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版。有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅。学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。保密的论文（设计）在解密后适用本规定。作者签名：指导教师签名：日期：日期：吴朝文毕业论文（设计）答辩委员会(答辩小组)成员名单姓名职称单位备注刘常福教授文山学院组长邹敏副教授文山学院陆亚哲讲师文山学院廖军副教授文山学院秘书文山学院本科毕业论文(设计)摘要向量是数学中的重要概念，在中学几何中有着广泛的应用，是数学的重要工具。本文主要应用分析法，用向量的基本性质、定理，举例分析了如何使用向量解决几何中平行、垂直的证明，和长度、面积、体积的求值问题。有些几何问题用几何法解决往往比较复杂，运用向量来分析几何问题，作形与数的转化，将几何问题代数化，淡化了几何法由“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化。用向量方法分析几何的证明、计算问题，以数代形，用代数的运算处理几何问题。目的在于培养学生的数形结合思想，体验学习数学的乐趣。关键词：向量；数形结合；向量几何文山学院本科毕业论文(设计)Applicationofvectoroperationinmiddleschool’sgeometryABSTRACTVectorisanimportantconceptinmathematics.Vectorhasbeenwidelyusedinthesecondarygeometry.Vectorisanimportanttoolofmathematics.Thispapermainlyusedanalysismethod.Vectorpropertiesandtheorems.Forexample,ananalysisofhowtousevectortosolvetheproblemofgeometryinparallel,perpendiculartotheproblemofproof,andlength,area,volume,theevaluationproblem.Somegeometricproblemsbysolvinggeometricmethodisoftenmorecomplicated.Theuseofvectoranalysistogeometricproblems.Asthenumberandshapetransformation.Theproblemofalgebraicgeometry.Dilutethegeometryfromformtotheshapeofthereasoningprocess.Problemsolvinghasbecomeroutine.Byusingthevectormethod,thegeometricproofsandgeometriccalculationanalysis.Replacetheshapewiththenumber,usingalgebraicoperationstodealwiththeproblemgeometry.Thepurposeistocultivatestudentsthecombinationofthought.Experiencethefunoflearningmathematics.Keywords:vector;thecombinationofnumberandshape;geometry文山学院本科毕业论文(设计)目录一、引言································1二、用向量法解几何证明问题·······················12.1平行问题····························12.1.1两直线平行························12.1.2线面平行·························12.1.3面面平行·························22.2垂直问题····························22.2.1两直线垂直························22.2.2线面垂直·························22.2.3面面垂直·························32.3利用向量方法证明平行和垂直的原理················4三、用向量法解几何求值问题·······················53.1求距离·····························53.2求面积·····························53.3求体积·····························63.4求二面角····························63.5求线面角····························73.6从直线的方向向量中得到直线的斜率················73.7向量法解几何求值原理······················8四、结束语·······························9参考文献································11致谢··································13文山学院本科毕业论文(设计)1一、引言向量在数学、物理中有着广泛的应用，它具有代数和几何形式，是数形结合的重要工具。向量的引入促进了几何的代数化。而在中学数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用几何方法去求解比较繁杂，而运用向量作形与数的转化，用代数方法研究几何证明、计算问题，思路清晰、过程简洁。二、用向量法解几何证明问题在几何中涉及到平行、垂直的问题中，可以适当地构造向量，利用向量的数量积的几何意义和运算法则，将其转化为向量的运算。2.1平行问题2.1.1两直线平行定理2.1向量b与非零向量a共线，那么有且只有一个实数λ，使得aλb。若点baCDABbDCaBA//向量,,;,那么直线，若直线点直线；若向量AB),(11yx，),(22yxCD，且02121yyxx，有直线CDAB//。例2.1已知直线OA平面，直线BD平面，点BO,为垂足，求证：BDOA//。分析在两条直线上分别取不同的两点得到两向量，转化为证明两向量平行。证明如图2-1，以点O为原点，以直线OA为z轴，建立空间直角坐标系xyzO，设kji,,为沿x，y，z轴的单位向量，设),,(zyxBD，由于BD，jBDiBD,0)0,0,1(),,(xzyxiBD，0)0,1,0(),,(yzyxjBD，),0,0(zBD，kzBD，又知BO,为两个不同的点，OABD//。图2-12.1.2线面平行若a是直线平面外的一条直线，点aBA直线,，平面的法向量为n，0nAB，即nAB，则直线//AB平面。已知平面外的直线a的方向向量为a，21,ee是平面的一组基底，若2211eea，则直线a//平面[1]。例2.2如图2-2，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，点P、文山学院本科毕业论文(设计)2Q分别是对角线BFAC,上的一点，且FQAP，求证：//PQ平面BCE。分析证明直线的方向向量可用平面的一组基底线性表示，则可得面内一直线与面外的直线平行，从而证明线面平行。证明设,∵AP=FQACAP∴FBFQ，∴FQAFPAPQFBBEACABBEBEBCABBEBC)1(∴//PQ平面BCE。图2-22.1.3面面平行不重合的两平面与的法向量分别是m和n，//nm。方法思路：求平面的法向量，转化为证明两法向量平行，则两平面平行。不重合的两平面与，面的法向量为m，若m那么平面//。分析求出其中一平面的法向量，再证该法向量与另一面的不共线的两向量数量积为0，则可得两平面平行。2.2垂直问题2.2.1两直线垂直定义2.1已知向量,ab，把||||cos,abab叫做,ab的数量积，记作ab，即ab||||cos,abab。定义2.2如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面,称这个向量垂直于平面,记作n平面,这时向量n叫做平面的法向量。不重合的直线a和直线b的方向向量分别为a和b，则有0ba，则直线ba。例2.3已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，其中AB//CD,BDAC垂足为H，PH是四棱锥的高，ADE为中点。证明：BCPE。证明如图2-3，以H为原点，,,,HPHBHA分别为zyx,,轴，建立空间直角坐标系，由已知可设)0,1,0()0,0,1(BA,)(0,0,,)0,(0,,,0,0)(nPmDmC，E为AD的中点有)0,2,21(mE，可得),2,21(nmPE，)0,1,(mBC，所以0022mmBCPE，直线BCPE。图2-32.2.2线面垂直文山学院本科毕业论文(设计)3ABCDA1B1C1D1xzy直线l的方向向量为a，平面的方向向量为m，则有lma。例2.4已知直线l的方向向量)5,4,3(a，平面的法向量)10,8,6(m，证明：直线l。证明由于)5,4,3(a，)10,8,6(m，21ma，直线ml//l直线。分析找直线的方向向量及平面的法向量，只需证明两向量平行，则可证线面垂直。2.2.3面面垂直（1）不重合的平面与的法向量分别为m和n，则有0nm[2]。（2）平面的法向量为n，21,ee是平面的一组基底，则有2211een，即平面。图2-4方法思路：找平面的法向量，只需证明两法向量数量积为0，则可证明两平面垂直。例2.5在正方体的中点，别是，中11111CDBBFEDCBABCD-A分，：（1）求证：FDAD1；(2)证明平面11⊥FDAAED。分析涉及正方体中一些特殊的点、线、面的问题，建立空间直角坐标系来解，不仅容易找到解题方向，而且坐标也简单，此时“垂直”问题转化为“两向量数量积为“0”的问题。证明如图2-5，建立空间直角坐标系，并设2AB=，则(0,0,2)(0,2,0),(0,0,0),1ADA(1,2,0)(2,0,1),，(0,2,2)1FED。（1）2010201),,(FD),,,(ADFDAD,FDAD110（2）551021FD,AE),,(AE图2-5设AE与，则的夹1θFD角0cos11FDAEFDAE，FDAE1⊥由（1）知，⊥1ADFD又AED，FDAAEAD面⊥，=∩1111面FDAF∵D，11面⊥面FDAAED方法思路：找其中一平面的法向量，证明法向量与另一平面平行，即法向量可以用另一平面的一组基底线性表示。求法向量的方法：①设平面ABC的法向量为）（zyn,,1；②在平面内找出两条相交直线所对应的向量：AB,AC；③建立方程组0，0AC