高等代数考研真题--第一章-多项式

1第一章多项式1、（清华２000—20分）试求7次多项式()fx，使()1fx能被4(1)X整除,而()1fx能被4(1)X整除。2、（南航2001—20分）（1）设x22px+2∣x4+3x2+px+q，求p,q之值。（2）设f(x)，g(x)，h(x)∈R[x]，而满足以下等式（x2+1)h(x)+(x1)f(x)+(x2)g(x)=0（x2+1)h(x)+(x+1)f(x)+(x+2)g(x)=0证明：x2+1∣f(x)，x2+1∣g(x)3、（北邮2002—12分）证明：xd1∣xn1的充分必要条件是d∣n（这里里记号d∣n表示正整数d整除正整数n）。4、、（北邮2003—15分）设在数域P上的多项式g1(x)，g2(x)，g3(x)，f(x),已知g1(x)∣f(x)，g2(x)∣f(x)，g3(x)∣f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由：（1）如果g1(x)，g2(x)，g3(x)两两互素，则一定有g1(x)，g2(x)，g3(x)∣f(x)（2）如果g1(x)，g2(x)，g3(x)互素，则一定有g1(x)g2(x)g3(x)∣f(x)5、（北师大2003—25分）一个大于1的整数若和其因子只有1和本身，则称之为素数。证明P是素数当且仅当任取正整数a，b若p∣ab则p∣a或p∣b。6、（大连理工2003—12分）证明：次数0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项式的方幂主充分必要条件是，对任意的多项式g(x)，h(x)，由f(x)∣g(x)h(x)可以推出f(x)∣g(x)，或者对某一正整数m，f(x)∣hm(x)。7、（厦门2004—16分）设f(x)，g(x)是有理数域上的多项式，且f(x)在有理数域上不可约。若存在数使得f()=g()=0，则f(x)∣g(x)。8、（南航2004—30分）（1）设f(x)=x7+2x66x58x4+19x3+9x222x+8，g(x)=x2+x2，将f(x)表示成g(x)的方幂和，即将f(x)表示成f(x)=Ck(x)g(x)k+Ck-1(x)g(x)k-1+…+C1(x)g(x)+C0(x)其中次（Ci(x)）次（g(x)）或Ci(x)=0，i=0,1,…,k。（15分）（2）设d(x)=(f(x)，g(x))，f(x)∣g(x)和g(x)∣h(x)。证明：f(x)g(x)∣d(x)h(x)。（15分）9、（北京化工大2005—20分）设f1(x)≠0，f2(x)，g1(x)，g2(x)是多项式，且g1(x)g2(x)∣f1(x)f2(x)，证明：若f1(x)∣g1(x),则g2(x)∣f2(x)。210、（上海交大2005—15分）假设()fx=232331112221213141xxxxxx（1）证明：存在实数c(0c1)，使得()fc=0这里()fx为()fx的导函数；（2）在()Qx中将()fx分解为不可约因式之积。11、（大连理工2005—10分）设f(x)，g(x)是数域P上的多项式，证明：在数域P中，若f3(x)∣g3(x),则f(x)∣g(x)。12、（北航2001—10分）求一个次数最低的多项式，使其被x2+1除余x+1，被x3+x2+1除余x21。13、（北航2003—10分）设h(x)，f(x)，g(x)均为域F上的一元多项式，若h(x)∣f(x)，而h(x)不整除g(x)，证明h(x)不整除f(x)+g(x)。14、（南航2003—20分）求满足以下条件的三次多项式f(x)：（1）x3整除f(x)；（2）x+3除f(x)的余数是4；（3）x+2除f(x)的余数等于x2除f(x)的余数。15、（北京科大2004—15分）求一个三次多项式f(x)，使得f(x)+1能被(x1)2整除，而f(x)1能被(x+1)2整除.16、（南航2003—20分）设A∈Cn×n,f(x)，g(x)∈C[x]，f(x)的次数大于0，g(x)是A的最小多项式。证明：(1)若d(x)是f(x)，g(x)的最大公因式，则rank(d(A))=rank(A);(2)f(A)可逆的充分必要条件是f(x)，g(x)互质（或互素）。17、（南航2005—35分）本题中等都是多项式。（1）设a≠b，用（xa），（xb）除f(x)的余数分别为r1和r2，求用（xa）（xb）除f(x)的余式。(10分)(2)证明：若(f(x)，g(x))=d(x)，f(x)∣h(x)，g(x)∣h(x)则f(x)g(x)∣d(x)h(x)。(10分))（3）设f(x)=f1(x)f2(x)，次（f1(x)）0，次（f2(x)）0，且(f1(x)f2(x))=1。证明：若次（g(x)）次(f(x))，且f2(x)不整除g(x)，则存在u(x)和v(x)，使得u(x)f1(x)+v(x)f2(x)=g(x)成立，且满足次(u(x))次(f2(x))，次(v(x))次(f1(x))。(15分)18、（北京科大2005—10分）求出所有的多项式f(x)，使得（x1)f(x+1)（x+2)f(x)≡0。19、（北交大2002—12分）多项式f(x)=x5+3x4+x3+x2+3x+1g(x)=x4+2x3+x+2求(f(x)，g(x))和u(x)，v(x)，使u(x)f(x)+v(x)g(x)=(f(x)，g(x))320、（南航2002—20分）设f(x)=x44x3+5x22x2，g(x)=x3x2+2x2(1)已知1i是f(x)的根，求f(x)的其余三个根.(6分)（2）求u(x)，v(x)使u(x)f(x)+v(x)g(x)=(f(x)，g(x))。(14分)21、（上海交大2002—12分）设f1(x)=af(x)+bg(x)，g1(x)=cf(x)+dg(x)且abcd≠0。证明(f(x)，g(x))=(f1(x)，g1(x))。22、（北理工2003—15分）设多项式h(x)，f(x)，g(x)有f(x5)+xg(x5)+x2h(x5)=(x4+x3x2+x+1)k(x)证明：x1是h(x)，f(x)，g(x)的一个公因式。23、（重大2004—10分）证明：如果d(x)︱f(x)，d(x)︱g(x)，且d(x)是f(x)与g(x)的一个组合，那么d(x)是f(x)与gx)的一个最大公因式。24、（北邮2004—18分）设多项式f(x)≠0，h(x)为任意多项式，证明：若(f(x)，g(x))=1，则(f(x)，g(x)h(x))=(f(x)，h(x))，问反之是否成立？25、（北理工2004—15分）给定不全为零的多项式f1(x)，f2(x)，f3(x)，证明：存在六个多项式g1(x)，g2(x)，g3(x)，h1(x)，h2(x)，h3(x)使123123123f(x)f(x)f(x)g(x)g(x)g(x)h(x)h(x)h(x)=（f1(x)，f2(x)，f3(x)）这里（f1(x)，f2(x)，f3(x)）表示f1(x)，f2(x)，f3(x)表示的首项系数为1的最大公因式。26、（北邮2005—18分）试问k为何值时，整系数多项式f(x)=x2+(k+6)x+4k+2和g(x)=x2+(k+2)x+2k的最大公因式是一次的？并求出这时的最大公因式(f(x)，g(x))。27、（北航2002—10分）证明当且仅当(f(x)，g(x))=1，(f(x)，h(x))=1时有(f(x)，g(x)h(x))=1。28、（西安交大2004—12分）证明：数域P上的一元多项式f(x)与g(x)互质（即互素）的充要条件是存在P上的多项式u(x)，v(x)，使得：u(x)f(x)+v(x)g(x)=1。29、（北京化工大2002—20分）设A是n级矩阵，()Amx是A的最小多项式，()fx是多项式且其次数(()fx)≥1。证明：（1）若()fx︱()Amx，则()fA是退化矩阵，即︱()fA︱=0；（2）若()dx=（()fx，()Amx），即两多项式的首项系数为1的最大公因式，则它们的秩相等：(()rfA=(())rdA；4（3）f(A)是非退化矩阵的充要条件是（()fx，()Amx）=1。30、（北大2002—12分）对于任意非负整数n，令221()(1)nnnfxxx，证明2(1,())1nxxfx31、（北理工2005—15分）设A为数域F上的n阶矩阵，f(x)，g(x)∈F[x]，证明：如果d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式，那么齐次线性方程组d(A)=0的解空间等于f(A)=0的解空间与g(A)=0的解空间的交集。32、（北交大2005—15分）设A为n阶方阵，g(x)是A的最小多项式，f(x)是次数大于零的任一多项式，证明方阵f(A)可逆的充分必要条件是f(x)与g(x)互素。33、（东南2005—10分）设F一数域，多项式f(x)，g(x)∈F[x]具有性质：当h(x)∈F[x]且f(x)︱h(x)，g(x)︱h(x)时，必有f(x)g(x)︱h(x)。证明：（f(x)，g(x)）=134、（重大2005—10分）设A为方阵，g()证明：f(A)可逆(f()，g())=135、（南开2000—15分）设f(x)是数域P上的多项式，这里n≥1；且设f(x)的一阶微商可以整除f(x)。证明f(x)=a(xb)n，a,b∈P，a≠0。36、（南开2001—10分）设()fx是复数域上首项系数为1的n阶多项式，如()((),())fxfxfx=(xb1)(xb2)，b1≠b2且xb1是()fx的k重因式（这里()fx是()fx的一阶微商），问()fx=？为什么？37、（清华1998—16分）试求多项式f=x3+px+q的判别式D(f)(即用f的系数表出D(f)。判别式定义为D(f)=(x1x2)2(x1x3)2(x2x3)2；x1，x2，x3为f的复根，p,q为实数)38、（北航2001—10分）用线性代数方法证明：若一个n次多项式P(x)在n+1个互不相等的数1x，2x，…，1nx处取值为0，则P(x)≡0539、（北大2000—10分）设f(x)和p(x)都是首项系数为1的整系数多项式，且p(x)在有理数Q上不可约，如果f(x)与p(x)有公共根，证明:(1)在Q[x]中，p(x)整除f(x)；(2)存在首项系数为1的整系数多项式g(x)，使得f(x)=g(x)p(x)40、（北航2000—10分）设p(x)是一个整系数多项式，又知p(0)及p(1)都是奇数，证明p(x)=0没有整数根。41、（浙大2003—10分）设f(x)是一个整系数多项式。证明存在一个偶数a及一个奇数b，使得f(a)与f(b)都是奇数，则f(x)没有整数根。42、（北交大2003—15分）设f(x)复数域上次数大于0的多项式，且f(x)︱f(xn)，n是大于1的整数。证明：f(x)的根只能是零或单位根。43、（大连理工2004—24分）设R,Q分别表示实数域，有理数域，f(x)，g(x)∈Q[x].(1)证明：如果在R[x]中有g(x)︱f(x)，则在Q[x]中，也有g(x)︱f(x)。(2)证明：f(x)与g(x)在Q[x]中互素当且仅当f(x)，g(x)在R[x]中互素。(3)证明：设f(x)是Q[x]中不可约多项式，则f(x)的根都是单根。44、（重大2005—15分）设f(x)=x3+6x2+3px+8，试确定P的值使f(x)有重根并求其根。45、（清华2001—20分）（1）叙述并证明关于整数系数多项式不可约性的“艾森斯坦（Eisenstein）判别法”。（2）此判别法有哪些推广？尽量多地叙述之。46、（北航2004—20分）设f(x)=110nnnnaxaxa是一个整系数多项式，如果存在一个素数P，使得（1）p不能整除na(2)p︱1na，2na，…，0a（3）p2不能整除0a则此多项式在有理数域上是不约