上海大学(理学院)高等代数考研真题

12000中科院高等代数(一)计算行列式:acccbaccbbacbbba(二)把二次型414332214321),,,(xxxxxxxxxxxxf用非退化线性替换化成平方和.(三)BA,分别为mn和mn矩阵,nI表示nn单位矩阵.证明:mn阶矩阵0nAIXB可逆当且仅当BA可逆，可逆时求出X的逆.(四)设12,neee是n维线性空间nV的一组基，对任意n个向量12,naaanV，证明：存在唯一的线性变换A，使得(),1,2iiAeain(五)设A是n维线性空间V的线性变换，求证：1(0)VAVA当且仅当若12,raaa为AV的一组基则12,rAaAaAa是2()AV的一组基.(六)设A为2级实方阵，适合21001A，求证：A相似于0110.(七)已知,fg均为线性空间V上线性变换，满足22,ffgg试证：（1）f与g有相同的值域,fgggff.（2）f与g有相同的核,fgfgfg.22001中科院高等代数（一）计算行列式：231212123nnnxaaaaxaaaaxaaaax（二）设A为3阶非零方阵，且20A.（1）求证：存在123,,aaa，123,,bbb，121233aAabbba（2）求方程组0AX的基础解系.（三）用正交的线性替换化二次行2221231231323(,,)3244fxxxxxxxxxx为标准形（四）设A为nm阶实矩阵，且()()rAmnm.若'2'()AAaAA，求证'mAAaE.（五）设A是n（n为奇数）维线性空间V上线性变换，若10,0nnAA求证：存在aV，使2211,,,,nnnaAaAaAaAaAaAaa为V的一组基，并求A在此组基下的矩阵.（六）设A是欧式空间V上的对称变换.求证：对任意0a，都有0,0aAaaA的所有特征值都小于0.（七）设AaBa，其中A为n阶负定矩阵，a为n维列实向量，为实数.求证B正定的充分必要条件为'10aAa.（八）若A是正交阵，且A特征值为1的重数是S，求证：(1)sA（A为A的行列式）.32002中科院高等代数（一）计算行列式：若1232nxaaaaxaaABaaxaaaax，求ABABA.（二）设A是n阶可逆方阵，0AABA.（1）计算kB（K是整数），（2）假设100110111A，C为6阶方阵，而且2BCCE，求C.（三）设(1)(1)(1)(1)pppnpppnppApnpppnpppp，A是n阶矩阵（0p），求0AX的基础解系.（四）构造一个3阶实对称方阵A，使其特征值为1，1，-1.并且对应的特征值有特征向量(1,1,1)，(2,2,1).（五）设向量组A：123,,naaaa的秩为r（rn），则A中任意r个向量线性无关的充分必要条件为：对任意向量121,,riiiaaa，若1211210riirikakaka，则121,rkkk或全为0或全不为0.（六）设A为n阶正定矩阵，nmB为秩为m的实矩阵，求证'BABtE（0t，E为单位矩阵）为正定矩阵.（七）设A为欧式空间V上的线性变换，且2AE.（1）求证：A是V上的正交变换的充分必要条件为A是V上的对称变换.（2）设1,VaaVAaa，求证：12VVV是直和.（八）设A为n阶实正交矩阵，123,,naaaa为n维列向量，且线性无关，若12,nAEaAEaAEa线性无关，则1A.42003中科院高等代数（一）计算行列式：xaaaaxaaAaaxaaaax（A为n阶矩阵），2AABAA（1）求A（2）求B（二）设A为21nk阶反对称矩阵，求A.（三）设,AB为n阶整数方阵（,AB中元素为整数），若ABEA（1）求证：1A，（2）若200120232B，求A.（四）设12(,)nAaaa为n阶方阵，()1rAn，且121nnaaaa121nnaaaa，求AX的解.（五）设A是n阶可逆方阵，且A每行元素之和为a，求证：kA的每行元素之和为ka（k为正整数）（六）设A为n阶正交矩阵，若.证明：存在正交矩阵G使1rsEGAGE.（七）设2AA，且A为n阶方阵，()RAr.（1）求证：2rEA（2）求证：()()RARAEn（3）若1r，求0AX的解.（八）构造一个3阶实对称方阵A，使其特征值为2，1，1，且有特征向量(1,1,1).（九）设二次型22221234121314232434()222222fXxxxxxxxxxxxxxxxx（1）求()fX对应的实对称矩阵A.（2）求正交变换XPY，将()fX化为标准型.（十）设A是n维线性空间V上的线性变换，12,kaaa是对应的不同特征值12,k5的特征向量.若12kaaaW，而W是A的不变子空间，则有维（W）k（十一）设B为欧式空间V上的变换，A为欧式空间V上的线性变换且有：(,)(,),,AaaBaV.证明：（1）B为欧式空间V上的线性变换.（2）1(0)()ABV62004中科院高等代数（一）设n阶可逆方阵()ijAa中每一行元素之和为(0)aa，证明：（1）11(1,2)nijjAaAin，其中ijA为ija的代数余子式.（2）如果ija都是整数(1,2)in，则a整除A.（二）设1212121nnnnnaaaaAbbbb为实矩阵，且()2rA.（1）求行列式'EAA.（2）求'0AAX的解（X是n维列向量）.（三）设,AB为n阶整数方阵，若2BEAB.（1）求证：21AB.（2）若100110231B，求1(2)AB.（四）若A为非零的半正定矩阵，B为正定矩阵，求证：（1）求证：存在实矩阵T，使'TTB.（2）1AE.（3）ABB.（五）设为A的特征值的最小者.求证:对任意的n维列向量a,有''aAaaa.(六)设123,,为3阶方阵A的特征值,且111,011,001分别为其对应的特征向量,求nA.(七)V是n维欧氏空间,是n维空间V上的线性变换,如果1231,,naaaa是V中1n个线性无关的向量,且(),分别与1231,,naaaa正交(不为0).求证:为的特征向量.7(八)设3223303060303AB，求证：（1）()()2rArB（2）题型与钱吉林书习题类示。（九）设F为数域，A为数域上n阶方阵，且10VxFAx，2()0VxFAEx求证：2AA12FVV。（十）设24a，aaAaa为n阶方阵，B为n阶正交方阵，求证：222(1)24nnBAanBA（十一）设221231(1)(1)()()()()(2)nnnnnnnxxfxxfxxfxxfxn求证：(1)()(1,21)ixfxin。（十二）设A为n阶实可逆矩阵，则A为正定矩阵充分必要条件为存在n阶上三角实可逆矩阵L，使ALL。（十三）设A为秩为r的n阶矩阵，证明：2AA的充要条件是存在秩为r的rn阶矩阵B和秩为r的nr矩阵C，使ACB且BCE。（十四）设V为数域F上n维线性空间，设A是n维线性空间V上的线性变换，()AV为A的值域，1(0)A为A的核。（1）求证：维1(()(0))2nAVA，（2）求证：维1(()(0))2nAVA充分必要条件为：1()(0)AVA，并举出这样的线性变换A。82005中科院高等代数（一）已知1()2nnfxxx，求()fx在有理数域上的不可约多项式并说明理由。（二）已知100110,0111AAABA，C是6阶方阵，2BCCE。求C和C。（三）是方程组AXb的一个解，12,,nraaa是其导出组的一个基础解系。求证：（1）12,,nraaa，线性无关，（2）12,,,nraaa也线性无关。（四）同2007年第一大题.（五）A是复矩阵，2230AAE，求证：在复数域上A相似于一个对角阵。（六）A是3阶实对称方阵，1,1,，是A的特征值，2A，101,101是对应的特征向量，求矩阵A。（七）W是反对称变换A的不变子空间，求证：W也是A的不变子空间。（八）已知A是n阶实对称方阵，求证：'(0)AAkEk正定。（九）nF是nn矩阵的全体，已知10,nVxAxxF，2()0,nVxAExxF求证：12nFVV的充分必要条件为2AA。（十）已知24a，0000,,200aAAABAAa求证：22(1)4nnaBn。（十一）设221231(1)(1)()()()()nnnnnnnxxfxxfxxfxxfx求证：(1)()(1,21)ixfxin。（十二）A是n阶实对称方阵，证明：A正定的充要条件是存在实n阶上三角阵L，使'ALL。（十三）A是n阶矩阵，C是nm阵，()()RBRCm。求证：2AA的充要条件是ACB且BCE。（十四）AV是n维线性空间V的象，1(0)A是V的核。求证：9（1）12dim((0))AVAn，（2）12dim((0))AVAn的充要条件是1(0)AVA，举个例子。102006中科院高等代数(一)设()fX是有理数域上的多项式。（1）如果()fX是二次多项式，求证：()fX不可约的充分必要条件是()fX没有有理根；（2）试举例说明当()fX的次数大于3的时候，()fX没有有理根只是()fX不可约的必要条件。（3）试举例说明艾森斯坦判别法只是判别()fX不可约的充分条件，而不是必要条件。（二）（1）设矩阵1122(,)nnAaaa12,(,)1nraaa且,(1,2)iiain为n维列向量，求证：121111(,)(,,,)nniiiniAa（2）用上面的公式计算行列式123nxaaaaxaaaaxaaaax。（三）设0ACDB，其中,AB分别为,nm阶可逆矩阵。（1）求1D；（2）设211021002A，BCA，如果DHEH，求H和H。（四）设12,naaa为一组同型向量，1122231,nnaaaaaa，求证：（1）若1212(,)(,)nnraaarn，则n为奇数；（2）若12,raaa为12,naaa极大无关组，且12(,)1nrr，如果11122rrrakakaka，求证：111(1)1rrrkkk。（五）设()ijnnAa为实矩阵，已知0(1,2)iiain，0(,1,2;)ijaijnij且10(1,2)nijjain。求证：11（1）()1rAn；（2）()1rA.（六）已知10(1,2)niiain（其中12,naaa为不全为0的实数且2n）如果：1212111111nnaaaaaAa