第1章-倒易点阵及电子衍射基础

材料电子显微分析•福州大学•材料科学与工程学院•李强第1章倒易点阵及电子衍射基础1.1晶体结构知识的简单回顾1.1.1点阵1.1.2晶体学点群1.2倒易点阵1.3.正点阵与倒易点阵的指数互换1.4.晶面间距与晶面夹角公式1.5Bragg定理及其几何图解1.6晶带定律与零层倒易截面1.7结构因子与倒易点阵的结构消光及倒易点阵类型1.8倒易点阵与电子衍射图的关系第1章倒易点阵及电子衍射基础晶体内原子、离子、分子或集团在三维空间内呈周期性规则排列。这些质点可以抽象为几何点，构成的点列称为空间点阵，组成它的几何点称为阵点——正点阵。用空间三维直线连接阵点得到空间格子——晶格。单位晶格组成的平行六面体称为晶胞。晶胞的选取多种多样，晶体学中应用最广的是尽量照顾对称性选取的晶胞称为BravaisCell。1.1晶体结构知识的简单回顾1.1.1点阵1)代表空间点阵的对称性2)相等的棱、角数目应最多3)棱间的直角最多4)选取最小体积的平行六面体BravaisCell的选取原则：数学证明，按上述规则选取的BravaisCell有14种代表空间的点阵类型，用a，b，c，，，间的关系来表达，归为七大晶系，有5个类别：P（初基或简单）、I（体心）、F（面心）、R（三角或菱形）、C（A，B）（底心）。晶体结构的对称性有宏观和微观之分。宏观对称是指有限体积的规则晶体外形的对称性，不包括平移对称性，仅在转动、反演或反映下表现出的对称性，共32种，构成32种点群。或者说是，经过一点对称素组合的类别称为点群。微观对称是指从晶格的角度出发，在认为整个晶格近似为三维无限广延的情况下的空间平移、转动、反演操作下的对称性。可能的空间对称有230种，构成230个空间群。或者说是，考虑晶体内部结构-原子、离子、分子类别和排列的对称性类别。1，2，3，4，6，i，m，晶体的独立宏观对称要素共有8种，即41.1.2晶体学点群晶体的宏观对称性是按宏观点对称操作所构成的点群来进行分类的。群，是代数理论中的抽象概念，满足一定条件的一些元素的集合。对称要素对称中心的国际符号形象法表示等效位置，+、—号表示正反面，，左右手的变化对称的极图表示图1-13-1二次转轴的表示图1-13-2三次转轴的表示图1-13-3四次转轴的表示图1-13-4六次转轴的表示二维空间的彭罗斯(Penrose)拼图由内角为36度、144度和72度、108度的两种菱形组成，能够无缝隙无交叠地排满二维平面。这种拼图没有平移对称性，但是具有长程的有序结构，并且具有晶体所不允许的五次旋转对称性。一种典型的准晶体结构是三维空间的彭罗斯拼图。1984年，D.Shechtmen在快速冷却的Al4Mn合金中发现了一种新的相，其电子衍射斑具有明显的五次对称性。推测这种结构具有三维空间的彭罗斯拼图结构。这一发现在当时曾经震动了凝聚态物理学界。后来在许多复杂的合金中也发现了这一现象。一个具体的宏观对称要素是8种对称要素的一种或几种的组合。每种组合对应一种对称类型，即一个点群。点群的表示符号有2种1)Schonflies符号2)国际符号（或H-M符号）点群Schonflies符号：•Cn表示n次旋转对称，取自循环群（Cyclicgroup）第1字母•D表示二面体群（dihedralgroup），即n次旋转对称轴，+与n次轴垂直的二次旋转对称•T表示四面体群（tetrahedralgroup）,高次旋转对称轴的组合•O表示八面体群（octahedralgroup），高次旋转对称轴的组合点群的国际符号用特定方向的对称要素直接表示。1.三斜晶系：[100]2.单斜晶系：[010]3.正交晶系：[100][010][001]4.四方晶系：[001][100][110]5.三角晶系：[001][100][210]6.六角晶系：[001][100][210]7.立方晶系：[100][111][110]2/m（2在m上），表示具有垂直于镜面的2次旋转轴。[010]方向三斜晶系：[100]单斜晶系：[010]正交晶系：[100][010][001]四方晶系：[001][100][110]三角晶系：[001][100][210]六角晶系：[001][100][210]立方晶系：[100][111][110]1.1.2空间群晶格的周期性，也称平移对称性，是最基本的微观对称性。晶体的点对称元素和平移相结合能产生新的对称元素，即：•旋转轴+平移→螺旋轴•镜面+平移→滑移面，操作顺序并不重要1.晶体的微观对称性（1）螺旋轴国际符号用nm来表示。定义方向的nm次螺旋轴对称操作由2/n旋转和m/n平移组成。（2）滑移面滑移面是对镜面反映后再沿某一方向平移，平移量为点阵周期的一个分数距离。有三种类型的滑移面：•轴向滑移——沿a，b，c轴作滑移，轴向滑移的平移平行于镜面，平移量为该方向平移周期的一半；•n滑移——沿面对角线滑移到一半处；•d滑移——亦称“金刚石”滑移，沿体对角线滑移到1/4处。2.空间群及其国际符号空间群是指一个晶体结构中所有对称要素的集合。提供晶体的全部对称信息，涉及到一个给定的点群、Bravais点阵以及这个点群作用在这个点阵上的结果。晶体结构中所能出现的空间群总共230种。空间群有两种常用的表示符号，Schonflies和国际符号。材料学界常用国际符号。国际符号的第一位符列出Bravais点阵类型——P，A、B或C，I，F，R根据对称元素对于晶体学轴的位置列出他们的符号，符号的位置所代表的轴向对不同晶系并不同，空间群国际符号的顺序见下表。国际符号的表示：P（初基或简单）、I（体心）、F（面心）、R（三角或菱形）、C（A，B）（底心）1.三斜晶系：[100]2.单斜晶系：[010]3.正交晶系：[100][010][001]4.四方晶系：[001][100][110]5.三角晶系：[001][100][210]6.六角晶系：[001][100][210]7.立方晶系：[100][111][110]国际符号标注对称素参照方向的顺序举例：P2/m（2在m上），表示单斜初基点阵，具有垂直于镜面的2次旋转轴。[010]方向参考文献1.刘文西，黄孝瑛．材料结构电子显微分析，天津大学出版社，19892.张福学.现代压电学（上册），科学出版社，20013.冯端，师昌绪，刘治国.材料科学导论，化学工业出版社，20021.2.1倒易点阵概念的引入衍射是波动性的体现，是波的弹性相干散射。如光的狭缝衍射、X光对晶体的衍射。衍射条件：波长相近质点排列周期与入射波质点规则排列.2.1衍射花样1.2倒易点阵PlanewavesSinglesourceinterferenceSupposethataplanewaveisincidentonapanelwithaslotofwidthd(smalldistance)Topredicttheformofthewaveontheright-handsideofthepanetheHuygensprincipleisused.HuygensprincipleThemannerinwhichawavefrontofarbitraryshapewilladvancecanbedeterminedbyconsideringeverypointonagivenwavefrontofanyinstanttobethesourceofacircularwave.（媒质中波动传到的各点，都可以看成是发射子波的波源，在其后的任一时刻，这些子波的包迹就决定新的波阵面）Anywavemotioninwhichtheamplitudeoftwoormorewavescombinewillexhibitinterference.One-dimensionalwavemotion.Twokindsofinterferenceexist•Destructiveinterference:–Wavepulsesarecancelledwhentheypasseachotheriftheyareofoppositesign.•Constructiveinterference–Wavepulsesareaddedwhentheypasseachotheriftheyareofequalsign.Asinterferenceeffectsoccurinwavemotionsofallsorts,interferenceordiffractionpatternscanalsobeformedwithlight.X光对晶体的衍射花样电子衍射：电子衍射是晶体物质对单色电子波产生的衍射现象。下图分别是单晶体、多晶体和非晶体的电子衍射花样。单晶C-ZrO2准晶（quasicrystals）非晶多晶AuFIGURE2.13.SeveralkindsofDPsobtainedfromarangeofmaterialsinaconventional100-kVTEM:(A)amorphouscarbon,(B)anAlsinglecrystal,(C)polycrystallineAu,(D)Siilluminatedwithaconvergentbeamofelectrons.Inallcasesthedirectbeamofelectronsisresponsibleforthebrightintensityatthecenterofthepatternandthescatteredbeamsaccountforthespotsorringsthatappeararoundthedirectbeam.电子衍射原理与X射线衍射相似，是以满足或基本满足布拉格方程为产生衍射的必要条件。但因其电子波有其本身的特殊性，与X射线衍射相比具有下列特点：1)电子波的波长比X射线短得多，因此，在同样满足布拉格条件时，它的衍射角度很小，10-2rad，而X射线最大衍射角可达/2。如X射线的波长范围：10-3-10nm0.05-0.25nm范围适于结构分析0.005-0.1nm范围适于探伤分析200KV加速下电子波λ=0.00251nm2)电子衍射产生斑点大致分布在一个二维倒易截面内，晶体产生的衍射花样能比较直观地反映晶体内各晶面的位向。因为电子波长短，用Ewald图解时，反射球半径很大，在衍射角很小时的范围内，反射球的球面可近似为平面。3)电子衍射用薄晶体样品，其倒易点沿样品厚度方向扩展为倒易杆，增加了倒易点和Ewald球相交截面机会，结果使略偏离布拉格条件的电子束也能发生衍射。4)电子衍射束的强度较大，拍摄衍射花样时间短。因为原子对电子的散射能力远大于对X射线的散射能力。问题：1.这些规则排列的斑点是某晶面上的原子排列的直观影象？2.这些斑点代表什么？3.这些斑点与晶体的点阵结构有什么样的对应关系呢？4.这些斑点如何解释？正空间倒空间晶带正空间与倒空间对应关系图B衍射花样衍射花样分析思路实验发现，晶体点阵结构与其电子衍射斑点之间可以通过另外一个假想的点阵很好地联系起来，这就是倒易点阵。物理学家Bragg最早解释了衍射现象，提出了著名的Bragg公式：ndhklhklsin2显然，上述的讨论和表述都采用正空间习用的语言和处理方法，并没有直观地建立起衍射花样与晶体结构之间的联系。于是，是否有可能在数学上另辟蹊径，从几何上对Bragg公式加以诠释呢？实际上，对于X射线的衍射问题，Bragg通过实验现象，理解为是晶面的“选择性”反射，也就是说，衍射花样中的一个斑点与某个晶面相对应，这样，问题就变成了如何把正空间的晶面表达为另一空间（倒空间）的一个点。1.2.2Bragg方程及其几何图解方法-厄瓦尔德球方法1921年厄瓦尔德（Ewald）数学上另辟蹊径，从几何上对Bragg公式加以诠释，做了很好的尝试，并获得成功。第一，建立了Bragg公式的几何图解方法，后称为厄瓦尔德球方法；第二，提出了与正空间、正点阵相对应的倒易空间、倒易点阵全新概念，而且指出了在一定条