第一章、拓扑学基础

1第一章、拓扑学基础1.1拓扑空间概念拓扑空间是一个二元组(S,𝒪)，这里S是给定集合，𝒪是由S的一些子集构成的集类，其元素称为开集，并满足如下开集公理：T1∅,S𝒪（即，∅,S是开集）；T2若U1，U2𝒪，则U1U2𝒪（即，𝒪对有限交封闭）；T3开集的任意并集还是开集（即，𝒪对任意并封闭）。註记满足上述开集公理的𝒪，也称为集合S上的拓扑，（S,𝒪）为相应的拓扑空间，也记为S。例子实数集合ℝ上的标准拓扑：开集定义为若干个开区间的并集。不难验证：这里定义的开集满足开集公理。只需说明：两个开区间的交集为空集或开区间。例子离散拓扑与平凡拓扑对给定的集合S，定义下列两个拓扑：(S,𝒪1):𝒪1由S的所有子集构成，它是S上的拓扑（最大拓扑）。(S,𝒪2):𝒪2={∅，S}，它是S上的拓扑（最小拓扑）。练习给出实数集合ℝ上三种不同的拓扑空间结构。练习设S是一个集合，𝒪由∅，S及S的某个固定子集A的所有子集构成。验证𝒪是S上的拓扑。从而，(S，𝒪)是一个拓扑空间。概念设(S,𝒪)是拓扑空间，称AS是闭集，如果S\A是开集。拓扑空间S的所有闭集构成集合，记为𝒞。命题拓扑空间S中的闭集满足闭集公理C1∅,S𝒞；C2若A1，A2𝒞，则A1A2𝒞（即，𝒞对有限并封闭）；C3闭集的任意交集还是闭集（即，𝒞对任意交封闭）。证明：利用下列等式可证。S\(A1A2)=(S\A1)(S\A2)，S\(Bii)=(S\Bi)i。註记开集公理与闭集公理是等价的：若S中的某些子集指定为闭集，并满足闭集公理。则S是拓扑空间，其开集由闭集的余集所构成。概念对拓扑空间S，点uS的开邻域是指包含u的开集U；子集AS的开邻域是指包含A的开子集；一个点（或子集）的邻域是一个子集，它包含该点（或该子集）的一个开邻域。例子对拓扑空间ℝ，U=(-1，1)是0的开邻域；W=[-1，1]是0的邻域。概念设S是一个拓扑空间。称S是第一可数空间，如果对uS，存在点u的邻域的序列{U1，„，Un，„}={Un}，使得对u的任意邻域U，必有n满足UnU（也称{Un}为点u处的邻域基）。子集ℬ𝒪称为S的拓扑基，如果任何开集可以表示成ℬ中若干个成员的并。称S是第二可数空间，如果S有可数拓扑基。例子ℝ是第二可数空间，它有可数拓扑基，由下列开区间构成：(a，b)，这里a，b是有理数。（註这里用到有理数在实数集中的稠密性）结论任何第二可数空间，也是第一可数空间。证明：设ℬ={Bn}是可数拓扑基，sS。令ℬ(s)={Bn；sBn}即可。引理（Lindelof引理）设S是第二可数空间，A是S的子集。2则A的任意开覆盖，都有可数子覆盖。证明：设ℬ={Bn}是S的可数拓扑基，A有开覆盖{U}。即，U是S的开集，且AU。对pA，存在，n使pBnU。此时，选定一个(n)使得pBnU(n)。于是所有这些U(n)构成A的一个可数开覆盖。概念设S是拓扑空间，AS是子集。A的闭包cl(A)是所有包含A的闭集的交；A的内部int(A)是所有包含于A中的开集的并；A的边界bd(A)定义为：bd(A)=cl(A)cl(S\A)。註记闭包cl(A)及边界bd(A)是闭子集；int(A)是开子集。概念称AS是S的稠密子集，如果cl(A)=S；称AS是S的无处稠密子集，如果S\cl(A)在S中稠密；称S是可分的拓扑空间，如果它有可数的稠密子集；称uS是A的聚点，如果u的任意邻域中包含A\{u}的点；称A的所有聚点的集合为A的导集，记为der(A)；称A的点a是孤立点，如果存在a的邻域U，使UA={a}。结论AS是无处稠密的int(cl(A))=∅。证明：反证。若V=int(cl(A))≠∅，它是S的开子集。从而有S=cl(S\cl(A))cl(S\V)=S\V，这与V≠∅相矛盾。利用等式S\int(cl(A))=cl(S\cl(A))(下面命题)推导如下：反证。若S≠cl(S\cl(A))，则V=S\cl(S\cl(A))是S的非空开集。但是，V=S\(S\int(cl(A)))=int(cl(A))，与假设矛盾。例子ℝ是可分的拓扑空间：有理数集合是ℝ的稠密子集。命题设S是拓扑空间，AS是子集，则有下列结论(1)ucl(A)对u的任意邻域U，有UA≠∅；(2)uint(A)存在u的邻域U，使得uUA；(3)ubd(A)对u的任意邻域U，有UA≠∅，且U(S\A)≠∅。证明：只证明(1)，(2)-(3)的证明是类似的。由定义，u∉cl(A)存在闭子集CA，使u∉C存在u的邻域U，使得UA=∅。从而结论(1)成立。命题设A，B是S的子集，则有下列结论(1)ABint(A)int(B)，cl(A)cl(B)，der(A)der(B)；(2)S\cl(A)=int(S\A)，S\int(A)=cl(S\A)，cl(A)=AderA=Abd(A)；(3)cl(∅)=int(∅)=∅，cl(S)=int(S)=S，cl(cl(A))=cl(A)，int(int(A))=int(A)；证明：由定义及上述命题不难直接验证，这些结论成立。命题设A，B，Ai（iI）是S的子集，则有下列结论(1)cl(AB)=cl(A)cl(B)，der(AB)=der(A)der(B)，int(AB)int(A)int(B)；(2)cl(AB)cl(A)cl(B)，der(AB)der(A)der(B),int(AB)=int(A)int(B)；(3)cl(AiiI)cl(Ai)i，cl(AiiI)cl(Ai)iI，int(AiiI)int(Ai)i，int(AiiI)int(Ai)iI。3证明：由定义不难直接验证，这些结论成立（反证(1)中第二式）。概念设S是拓扑空间，{un}是S中序列。称{un}是收敛序列，如果存在点uS，对u的任意邻域U，N，当n≥N时，unU。此时，称un收敛于u或u是un的极限点，记为unu或limnun=u。命题设S是第一可数空间，AS。则acl(A)存在A中的序列an，使得ana。证明：由定义不难直接验证，结论成立。取点a处的可数邻域基{Un}，使得Un+1Un。由条件UnA≠∅,取anUnA。对a的任意邻域U，存在N，使得UNU。从而，当n≥N时，UnUNU。即，当n≥N时，anU。例子实数序列{2，0，3/2，-1/2，4/3，-2/3，„}有聚点1，-1。例子设S是平凡空间，则S中的任意序列收敛到S中的任意点。概念称S是一个Hausdorff空间，如果任意不同的两点有不相交的邻域；称S是正则空间，如果它是Hausdorff空间，且对任意闭子集A及点x∉A，A与x有不相交的邻域。称S是一个正规空间，如果它是Hausdorff空间，且S的任意两个不相交的闭子集，有不相交的邻域。练习证明Hausdorff空间中的单点集都是闭子集。结论设S是第一可数空间，则S是Hausdorff空间S中的任何序列至多有一个极限点。证明：由定义不难直接验证，结论成立。设x≠y，且对x的任意邻域Un，y的任意邻域Vn，有UnVn≠∅。不妨设，Un是x处的可数邻域基，Vn是y处的可数邻域基。进一步，可以假定这两个邻域基满足前述命题中的序关系。取anUnVn，则anx，any。矛盾。命题设S是第二可数空间，且S是正则空间，则S是正规空间。证明：设A，B是S中不相交的闭子集，pA。由正则性条件，存在点p的开邻域Up，B的开邻域UB，使得UpUB=∅cl(Up)B=∅。由于{Up；pA}是A的一个开覆盖，利用Lindelof引理推出，存在可数个成员{Uk；k=0，1，2，„}，也构成A的开覆盖。即，AUkk≥0，cl(Uk)B=∅。类似地，有开集的序列{Vk}，使得BVkk≥0，cl(Vk)A=∅。令G0=U0，Gn+1=Un+1\cl(Vk)nk=0，Hn=Vn\cl(Uk)nk=0。Gn，Hn都是开集，且AGnn≥0=G，BHnn≥0=H，GH=∅。练习证明任何第二可数空间都是可分空间。提示：在拓扑基的每个成员中取一个元素，构成稠密可数子集。练习设S是一个Hausdorff空间。证明：S是正则空间对pS，p的任意邻域U，存在p的闭邻域V，使得VU。提示：可以假设U是开邻域，F=S\U是闭子集。1.2度量空间概念集合M上的度量是一个映射d:M×Mℝ，并满足M1非负性：d(m，m)=0,mM，d(m，n)0，m≠n；4M2对称性：d(m，n)=d(n，m)，m，nM；M3三角不等式：d(m，l)≤d(m，n)+d(n，l)，m，n，lM。带有度量d的集合M称为一个度量空间，记为(M，d)或M。例子ℝn是度量空间，这里ℝn={(x1,x2,„,xn)；xiℝ，i=1,2,„,n}。d((x1,x2,„,xn),(y1,y2,„,yn))=(xi−yi)2。可以验证：d满足M1-M3，称ℝn为由欧氏度量确定的度量空间。概念设(M，d)是度量空间，mM，0。令D(m)={m′M；d(m′，m)}：以m为中心、为半径的开球。令B(m)={m′M；d(m′，m)≤}：以m为中心、为半径的闭球。称UM是开集，如果U可以表示成若干个开球的并。命题(1)上述定义的开集满足开集公理。从而，(M，d)是拓扑空间。(2)UM是开集对mU，0，使得D(m)U。证明：开集公理T1，T3显然成立。关于T2，只需验证任何两个开球的交可以表示成一些开球的并。设pD(m)D(n)，0rmin(-d(p，m)，-d(p，n))。则pDr(p)D(m)D(n)：对xDr(p)，d(x，m)≤d(x，p)+d(p，m)r+d(p，m)。即，Dr(p)D(m)。类似有Dr(p)D(n)。即，结论(1)成立。关于结论(2)，设U是开集，mU，则有Dr(x)，使得mDr(x)U。令=r-d(x，m)，则D(m)Dr(x)U。反之，当条件满足时，U中的点都是内点，从而U=int(U)是开集。例子欧氏度量空间ℝn诱导的拓扑空间，称为ℝn上的欧氏拓扑空间，简称为欧氏空间。特别，实直线ℝ是一个拓扑空间，开集是若干开区间的并。例子集合M上的离散度量d：MMℝ，d(m，n)=1，m≠nM。此时，度量空间(M，d)确定M上的离散拓扑。概念伪度量空间(M，d)：这里d是一个映射d：MMℝ，它满足上述的M2，M3及PM1：d(m，m)=0，mM。註记类似于度量拓扑，对伪度量空间M，有相应的伪度量拓扑：开集是若干个开球的并。概念设(M，d)是度量空间，uM，AM（A≠∅）。令d(u，A)=inf{d(u，v)；vA}；令diam(A)=sup{d(u，v)；u，vA}，称其为A的直径。称子集AM是有界集，如果diam(A)∞。练习度量空间是第一可数空间，也是Hausdorff空间。命题任何度量空间M都是正规空间。证明：设A，B是M的不相交的闭子集。令U={uM；d(u，A)d(u，B)}，V={vM；d(v，A)d(v，B)}。首先，AU，BV：对uA，d(u，A)=0。只要说明：d(u，B)0。反证。若d(u，B)=0，对n，bnB，使得d(u，bn)1/n。即，bnD1/n(u)，bnu，ucl(B)=B，矛盾。类似有BV。其次，U，V是开集：对uU，d(u，A)d(u，B)。5由于d(x，A)≤d(u，A)+d(x，u)d(u，B)-d(x，u)≤d(x，B),取=(d(u，B)-d(u，A))/20，则D(u)U。类似有V是开集。最后，UV=∅：由定义这是显然的。概念设(M，d)是度量空间，{u