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•第一节不等关系与不等式•1．实数的大小顺序与运算性质的关系•(1)a＞b⇔___________，•(2)a＝b⇔___________，•(3)a＜b⇔___________．•2．不等式的性质•(1)对称性：ab⇔________；(双向性)•(2)传递性：ab，bc⇒ac；(单向性)a－b＞0a－b＝0a－b＜0ba(3)可加性：ab⇔a＋c_____b＋c；(双向性)ab，cd⇒_____________；(单向性)(4)可乘性：ab，c0⇒ac____bc；ab，c0⇒ac_____bc；ab0，cd0⇒ac_____bd；(单向性)(5)乘方法则：ab0⇒an___bn(n∈N，n≥2)；(单向性)(6)开方法则：ab0⇒na____nb(n∈N，n≥2)；(单向性)(7)倒数性质：设ab＞0，则a＜b⇔1a＞1b.(双向性)a＋cb＋d【提示】(1)不一定成立，但a－db－c一定成立．(2)不一定成立，但adbc一定成立．•2．ab⇒anbn(n∈N，且n1)对吗？•【提示】不对，若n为奇数，成立，若n为偶数，则不一定成立．1．(1)ab，cd⇒a－cb－d成立吗？(2)ab0，cd0⇒acbd对吗？•1．(人教A版教材习题改编)对于实数a，b，c，“a＞b”是“ac2＞bc2”的()•A．充分不必要条件B．必要不充分条件•C．充要条件D．既不充分也不必要条件•【解析】a＞6D/⇒ac2＞bc2，如c＝0时，ac2＝bc2，•但ac2＞bc2⇒a＞b，•∴“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要不充分条件．•【答案】B•2．在城区限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是()•A．v＜40km/hB．v＞40km/h•C．v≠40km/hD．v≤40km/h•【答案】D3．(2012·湖南高考)设ab1，c0，给出下列三个结论：①cacb；②acbc；③logb(a－c)loga(b－c)．其中所有的正确结论的序号是()A．①B．①②C．②③D．①②③【解析】∵ab1，∴1a1b.又c0，∴cacb，故①正确．当c＜0时，y＝xc在(0，＋∞)上是减函数，又ab1，∴acbc，故②正确．•∵ab1，－c0，∴a－cb－c1.•∵ab1，∴logb(a－c)loga(a－c)loga(b－c)，•即logb(a－c)loga(b－c)，故③正确．•【答案】D4.12－1与3＋1的大小关系为________．【解析】12－1－(3＋1)＝(2＋1)－(3＋1)＝2－3＜0，∴12－1＜3＋1.【答案】12－1＜3＋1用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的1k(k∈N*)，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的47，请从这个实例中提炼出一个不等式组．•【思路点拨】由题意，找出题目中相应的不等式关系，特别是“一个铁钉受击3次后全部进入木板”，然后用不等式(组)将它们表示出来．【尝试解答】依题意得，第二次钉子没有全部进入木板；第三次全部进入木板，∴47＋47k＜1，47＋47k＋47k2≥1，(k∈N*)．1．本题常见的错误：(1)没能准确理解“一个铁钉受击3次后全部进入木板”的含义，导致遗漏不等式47＋47k＜1；(2)忽视变量k∈N*.2．求解此类问题一定要准确将题目中文字语言转化为数学符号语言(如不等式等)，特别是注意“不超过”、“至少”、“低于”表示的不等关系，同时还应考虑变量的实际意义．•某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车．根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．【解】设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，则x、y满足40x＋90y≤1000，x≥5，y≥6，x，y∈N*.•【思路点拨】利用不等式的性质说明正误或举反例说明真假．(2013·肇庆模拟)若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列命题：(1)ad＞bc；(2)ad＋bc＜0；(3)a－c＞b－d；(4)a·(d－c)＞b(d－c)中能成立的命题为________．•【答案】(2)(3)(4)【尝试解答】∵a＞0＞b，c＜d＜0，∴ad＜0，bc＞0，则ad＜bc，(1)错误．由a＞0＞b＞－a，知a＞－b＞0，又－c＞－d＞0，因此a·(－c)＞(－b)·(－d)，即ac＋bd＜0，∴ad＋bc＝ac＋bdcd＜0，故(2)正确．显然a－c＞b－d，∴(3)正确．∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)，∴(4)正确．•1．解题时，易忽视不等式性质成立的条件，或“无中生有”自造性质导致推理判定失误．•2．对于不等式的常用性质，要弄清其条件和结论，不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面，单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的依据，因为解不等式要求的是同解变形．•(2012·浙江高考)设a0，b0，()•A．若2a＋2a＝2b＋3b，则ab•B．若2a＋2a＝2b＋3b，则ab•C．若2a－2a＝2b－3b，则ab•D．若2a－2a＝2b－3b，则ab•【解析】当0＜a≤b时，显然2a≤2b，2a≤2b＜3b，•∴2a＋2a＜2b＋3b，•即2a＋2a≠2b＋3b.•∴它的逆否命题“若2a＋2a＝2b＋3b，则a＞b”成立，•因此A正确．•【答案】A•【思路点拨】(1)计算出f(a)与f(b)，用作差法或综合法比较大小；(2)幂式比较大小，用作商法比较大小．(1)已知m∈R，a＞b＞1，f(x)＝m2xx－1，试比较f(a)与f(b)的大小；(2)比较aabb与abba(a＞0且a≠1，b＞0且b≠1)的大小．【尝试解答】(1)∵f(a)＝m2aa－1，f(b)＝m2bb－1，∴f(a)－f(b)＝m2aa－1－m2bb－1＝m2(aa－1－bb－1)＝m2·a（b－1）－b（a－1）（a－1）（b－1）＝m2·b－a（a－1）（b－1），当m＝0时，f(a)＝f(b)；当m≠0时，m2＞0，又a＞b＞1，∴f(a)＜f(b)．综上可知f(a)≤f(b)．(2)根据同底数幂的运算法则，采用作商法，aabbabba＝aa－bbb－a＝(ab)a－b，当a＞b＞0时，ab＞1，a－b＞0，则(ab)a－b＞1，∴aabb＞abba；当b＞a＞0时，0＜ab＜1，a－b＜0，则(ab)a－b＞1，∴aabb＞abba；当a＝b＞0时，(ab)a－b＝1，∴aabb＝abba，综上知aabb≥abba(当且仅当a＝b时取等号)．1．第(1)中，若注意到m2≥0，亦可构造函数φ(x)＝xx－1(x＞1)，判断出φ(x)是减函数，f(a)≤f(b)．2．(1)“作差比较法”的过程可分为四步：①作差；②变形；③判断差的符号；④作出结论．其中关键一步是变形，手段可以有通分、因式分解、配方等．(2)“作商比较法”的依据是“ab＞1，b＞0⇒a＞b”，在数式结构含有幂或根式时，常采用比商法．若a＞b＞0，试比较aa＋bb与ab＋ba的大小．【解】(aa＋bb)－(ab＋ba)＝a(a－b)＋b(b－a)＝(a－b)(a－b)＝(a－b)2(a＋b)，∵a＋b＞0，(a－b)2＞0，∴(aa＋bb)－(ab＋ba)＞0，∴aa＋bb＞ab＋ba.•1.运用不等式性质，一定弄清性质成立的条件，切忌弱化或强化性质成立的条件．•2．求代数式的范围，应利用待定系数法或数形结合建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，避免扩大变量范围．•作差比较法与作商比较法是判定两个数或式大小的两种基本方法，其中变形是关键．1.倒数性质，若ab＞0，则a＞b⇔1a＜1b.2．真分数的性质，若m＞0，a＞b＞0，则ba＜b＋ma＋m.•从近两年的高考试题来看，不等关系、不等式的性质及应用是高考的热点，题型既有选择题，也有填空题，难度为中低档，客观题突出对不等式性质及应用的考查，主观题与其他知识交汇，考查不等式的性质及综合分析问题、解决问题的能力．在涉及求范围问题时，应特别注意不等式性质的应用，防止出错．易错辨析之十忽视不等式的隐含条件致误(2012·陕西高考改编)设函数f(x)＝xn＋bx＋c(n∈N*，b，c∈R)．(1)设n≥2，b＝1，c＝－1，证明f(x)在区间(12，1)内存在唯一零点；(2)设n为偶数，|f(－1)|≤1，|f(1)|≤1，求b＋3c的最大值和最小值．【错解】(1)当b＝1，c＝－1，n≥2时，f(x)＝xn＋x－1，∵f(12)f(1)＝(12n－12)×1＜0，∴f(x)在区间(12，1)内有零点，又当x∈(12，1)时，f′(x)＝n·xn－1＋1＞0，∴f(x)在(12，1)上是单调递增的，∴f(x)在(12，1)内存在唯一零点．(2)∵n为偶数，且|f(－1)|≤1，|f(1)|≤1，∴0≤b－c≤2，－2≤b＋c≤0.因此－1≤b≤1，且－2≤c≤0.∴－7≤b＋3c≤1，故b＋3c的最大值为1，最小值为－7.•错因分析：(1)忽视字母b、c相互制约的条件，片面将b，c分割开来导致字母范围发生变化．•(2)多次运用同向不等式相加这一性质，不是等价变形，扩大变量的取值范围，致使最值求解错误．•防范措施：(1)利用待定系数法先建立待求整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得待求整体的范围．•(2)运用线性规划，根据t＝b＋3c的几何意义，数形结合求t的最值．【正解】(1)同上述解法．(2)法一由n为偶数，且|f(－1)|≤1，|f(1)|≤1，∴－1≤f（－1）≤1，－1≤f（1）≤1.即0≤b－c≤2，－2≤b＋c≤0.作上述不等式组表示的可行域，如图所示．令t＝b＋3c，则c＝t3－b3.平移b＋3c＝0，知直线过原点O时截距最大，过点A时截距最小，∴t＝b＋3c的最大值为0＋3×0＝0；最小值为0＋3×(－2)＝－6.法二由题意知f（－1）＝1－b＋c，f（1）＝1＋b＋c，解得b＝f（1）－f（－1）2，c＝f（1）＋f（－1）－22，∴b＋3c＝2f(1)＋f(－1)－3.又∵－1≤f(－1)≤1，－1≤f(1)≤1，∴－6≤b＋3c≤0.当b＝0，c＝－2时，b＋3c＝－6；当b＝c＝0时，b＋3c＝0，∴b＋3c的最小值为－6，最大值为0.1．(2013·中山质检)设0＜x＜π2，则“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当0＜x＜π2时，0＜sinx＜1，∴xsinx＜1⇒xsin2x＜sinx＜1.如果xsin2x＜1⇒xsinx＜1sinx，•【答案】B因为1sinx＞1，则不能保证xsinx＜1，因此“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的必要不充分条件．2．(2013·西城区模拟)已知ab0，给出下列四个不等式：①a2b2；②2a2b－1；③a－ba－b；④a3＋b32a2b.其中一定成立的不等式为()A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【解析】对于①可直接利用不等式的性质求解，也可作差，即a2－b2＝(a＋b)(a－b)0，知①正确；对于②由条件知abb－1，结合指数函数f(x)＝2x的单调性知2a2b－1，②正确．也可作商，即2a2b－1＝2a－b＋1.•【答案】A∵ab0，∴a－b0，∴a－b＋10，∴2a－b＋11，故2a2b－1；对于③，∵ab0，∴a－b0，a－b0，原不等式⇔a－ba－2ab＋b⇔b－ab0⇔b(b